线性代数教学资料线性代数5

1、,第 五 次 课,2.3 逆矩阵,目的要求： 1、了解逆矩阵的定义，掌握伴 随矩阵求逆法 2、讲解习题二,一、逆矩阵的定义,若方阵A、B满足等式AB=BA=I，则称矩 阵A（或B）可逆，B是A（或A是B）的逆矩阵。 记为A1B（或B1A） 显然AA1A1AI,1、定义：,注意：,（1）A、B、I必为同阶方阵。,（2）不是方阵必不可逆。,（3）A、B的地位对等，,即A、B互为逆矩阵。,例1：,因此，不能判断A、B是否可逆。,例2：,故A可逆。,例3：,单位矩阵可逆，且I-1=I,例4：,n阶零方阵不可逆。,二、逆矩阵的性质（用定义证）,性质1：,若A可逆，则A的逆阵是唯一的,这是因为对于任意n阶

2、方阵B有 OB=BO=0I,证明：,设-1,AB,则B,A的逆矩阵是唯一的,=BA,=I,=AC,=CA,=BI,=B(AC),=(BA)C,=IC,=C,又设-1 =C,性质2：,若A可逆，则A的逆阵也 可逆，且(-1 )-1A,性质3：,若A可逆，则A的转置T 也可逆，且 (T )-1= (-1 )T,证明：,T(-1 )T,(T )-1= (-1)T,= (-1)T,=IT,=I,性质4：,若A,B可逆，则AB也可逆， 且(A B )-1B -1 A -1,证明：,(AB)(B-1A-1),=AIA-1, (AB)-1= B -1 A -1,由性质可推广到：,若A1，A2，,Ak为同阶可

3、逆矩阵,= A(B B -1 ) A -1,=A A -1,=I,性质5：,性质6：,证明：,性质7：,证明：,两边左乘A-1,注意：,可逆矩阵的乘积、数量阵 乘积都可逆；,但可逆矩阵的和差不一 定可逆，即使可逆，在一 般情况下，,例5：,不可逆,可逆，但,例6：,解：,若不知道A是否可逆或不知道 A-1是什么？怎么办？,三、伴随矩阵求逆法,（一）我们来看一个实例,求：,解：,由矩阵乘法和相等定义， 可得三个线性方程组：,（2）,（1）,（3）,用克莱姆法则，得第一个方程组的解：,同理：,同理：,根据逆矩阵的定义，我们可以探讨矩阵A可逆的条件，以及可逆矩阵的求法。先引入下述定义。,（二）定义：

4、,例7：,解：,可得如下口决：,主对角元互换，副（次）对角反号（仅限于二阶方阵求伴随矩阵）,求二阶方阵A的伴随矩阵A的方法是把A的主对角元互换，不改变符号，次对角元改变符号，不改变位置,（三）定理：,证明：,同理：,由此得到两个重要结论：,例8：,判断下列矩阵是否可逆， 若可逆求出逆矩阵,解：,例9：,解：,问题：,一般对角矩阵 可逆的充分必要条件是什么？ 若A可逆，则A-1=?,例10：,解：,等式两端右乘A-1,等式两端左乘A-1,性质8：,证明：,两边左乘A-1：,两边右乘B-1：,性质9：,证明：,两边取行列式,性质10：若n阶方阵A可逆，则,两边取行列式,例11：,解：,两边取行列式

5、,求证：,证明：,对 两边取行列式可知：,例13 证明：,证明：,两边同时左乘A：,习 题 二,1、试证奇数阶反对称 矩阵必不可逆,证：,两边取行列式,2.设A、B均为n阶方阵,且AB=A+B,证明：,则AB=BA.,两边取行列式,3、,证明：,两边取行列式,同理：,成立,上式是关于X的n次多项式，有无穷 多个解，从而是恒等式，从而令X=0,4、设A、B、C为同阶方阵，且C 可逆，满足C-1AC=B,试证：,证明：,5、设A是n阶反对称矩阵，B是n阶 对称矩阵，试证：,（1）A2是对称矩阵,证：,（2）AB-BA是对称矩阵,证明：,(3) AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA,证明：(必要性

6、,即已知AB=BA,求证AB是反对称 矩阵) 由已知条件知AT=-A BT=B AB=BA (AB)T=BTAT=B(-A)=-BA=-AB AB是反对称矩阵 (充分性,由AB是反对称矩阵,求证AB=BA) 由已知条件知AT=-A BT=B (AB) T=-AB AB=-(AB) T=-BTAT=-B(-A)=BA,6.（2）设A，B是两个n阶反对称矩阵 证明：AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA 证明：“必要性” 由于已知AT=-A,BT=-BAB=BA (AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA=AB AB是对称矩阵 “充分性” 由已知AT=-A,BT=-B(AB)T=AB AB= (AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA AB=BA,（1） 任意一个