中国石油大学概率论2011-2012期末试卷答案及评分标准

1、中国石油大学概率论 2 011 - 2012 期末试卷答案及评分标准-作者 : _-日期 : _卷2011 2012 学年第一学期概率论与数理统计试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2012年 1 月 3 号页 码一二三四五六七总 分满 分20151020121310100得 分阅卷人备注： 1本试卷正文共 7 页；2 封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3 答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4 最后附页不得私自撕下，否则作废 .第 0 页 共 7 页05可能用到的数值(1.645)0.95 ，(1.96)0.975第

2、1 页 共 7 页1一、填空题（每空 1 分，共 10 分）本页共 20 分设 p( a)0.4, p( a u b) 0.7，那么若a, b互不相容，则得1.p(b)0.3 ；若 a, b 相互独立，则 p( b)0.5 .分2.设事件 a, b 满足： p ( b | a)p ( b | a ) 13， p( a)1，则 p( b) =_5/9_.33.某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为0.6；第三次才取得正品的概率为0.1.4.设随机变量 x 与 y 相互独立 ,且都服从区间 0,3上的均匀分布 ,则pmax( x

3、, y )24/9.5.一批产品的次品率为0.1，从中任取 5 件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为0.5，均方差为0.45.6.设总体 x p(), x1 , x 2 ,l , xn 为来自 x 的一个简单随机样本，x 为样本均值，则 ex =， dx =.n二、选择题 ( 每题 2 分，共 10 分)1.设 p( a)a, p(b)b,p( ab) c ，则 p( ab ) 等于 (b ).(a) ab(b) c b(c) a(1b)(d) ba2.设随机变量 x 的概率密度为 f (x) ，且 f ( x)f (x) ， f (x) 是 x 的分布函数，则对任意实数 a 有 ( b)

4、.(a) f (a(b) f ( a)1aa)1f (x) dxf ( x)dx200(c) f (a)f (a)(d) f (a)2f (a)13.设 x n (2,9), y n (2,1),e( xy)6 ，则 d ( xy ) 之值为 ( b).(a) 14(b) 6(c) 12(d) 44.设随机变量 x 的方差为 25，则根据切比雪夫不等式，有 p(| xex | 10) ( c ).(a) 0.25(b) 0.75(c)0.75(d)0.25第 1 页 共 7 页5.维纳过程是 ( a).(a) 连续型随机过程(b)连续型随机序列(c)离散型随机过程(d)离散型随机序列三、计算题

5、 ( 共 6 个题目，共 45 分)1.(10 分) 设有相同的甲、乙两箱装有同类产品. 甲箱装 50只本页共 15 分得分其中 10 只正品；乙箱装20 只， 10 只正品 . 今随机选一箱，从中抽取 1 只产品，求： (1) 取到的产品是次品的概率； (2) 若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？解：设 a1 ; a2 分为来自甲乙箱；b 为正品（1） p( b)1 ( 41 )1325220（2） p( a111b)252 / 77/ 20（5 分）（ 10 分）2.(5 分) 已知某种电子元件的寿命x （以小时计）服从参数为1/1000 的指数分布 . 某台电子仪器内装有 5

6、 只这种元件，这 5 只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作 1000 小时以上的概率为多少？解： p x 1000100010001e 10001 x dx e 1（4 分）于是，由独立性仪器正常1000 小时以上的概率为e 5（5 分）第 2 页 共 7 页23.(5 分) 设粒子按平均率为每分钟 4 个的泊松过程到达某本页共 10 分计得数数器 , n (t ) 表示在 0, t 内到达计数器的粒子个数 ,试求：分(1)n (t ) 的均值、方差、自相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔 .解： en (t )4t; dn (t)4t; en ( s) n

7、(t)16st4min s,t（各一分，共三分）（2）平均间隔为 1/4 分钟（5 分）4.(5 分) 设总体 x n ( ,2 ) 的方差为 1，根据来自 x 的容量为 100 的样本，测得样本均值 x 为 5，求的置信度为 0.95 的置信区间 (写出过程 ).解：由题知x n (0,1)（2 分）/ n于是由 u 0.9751.96 知置信区间为（ 4.804,5.196 ）（5 分）第 3 页 共 7 页35.(10分) 一质点在 1、2、3 三个点上做随机游动，其中1、本页共 20 分3 是两个反射壁，当质点位于2 时，下一时刻处于1、 2、 3 是得等可能的 . 规定每个时刻质点只

8、走一步，用x n , n0 表示第分n个时刻质点所处的位置，初始分布为p x (0)i13,i1,2,3 .求： (1) 一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵；(2)px (0)1, x (1) 2, x (2)3 ；(3)px (2)2 .0101/ 31/ 31/ 3解：（ 1）一步转移阵 1/ 3 1/ 31/ 3；二步转移阵 1/ 97 / 91/1（4 分）0101/ 31/ 31/ 3（2）原式 = 1311319（ 7 分）117113分）（3）原式 = 3( 393 )（1027，a xb6.(10 分) 设随机变量 x 的概率密度为 f ( x)2x2，其他，且 ex1.0求：

9、 (1)a, b 的值； (2)p x1 .解：由 1b2xdxb2a2 ； 1ex 2b3dx21 (b4a4 )a2xa解得 a1; b3（ 6 分）22第 4 页 共 7 页41（ 10 分）（2）原式 =2xdx 1/ 21/2四、（ 12 分） 设随机向量 ( x , y ) 的概率密度为本页共 12 分ae (x 2 y) , x 0, y 0得f ( x, y)分0,其他求 : (1) 常数 a ；(2) 关于 x、y 的边缘概率密度，并判断 x 与 y 是否相互独立；(3) z x2y的概率密度 .解：（ 1） 1ae ( x2y )a / 2;a2（2 分）00f x ( x

10、) 2e ( x 2 y) dye xx 000x0（ 2）（7 分）2e 2 yf y ( y) 2e ( x 2y ) dxy 000y0显然，独立（ 8 分）fz ( z)2e ( x2 y) dxdy1e zze zz0（ 3）x2 yz0z0ze zz0（12 分）f z ( z)0z0第 5 页 共 7 页5五、（ 13 分） 已知分子运动的速度x 具有概率密度本页共 13 分4x2(x2)e,x0,0,得f ( x)3分0,x0.x1, x 2 , x 3 ,l , x n 为 x 的简单随机样本 ,求：(1) 未知参数 的矩估计和极大似然估计；(2) 验证所求得的矩估计是否为的

11、无偏估计 .解：（ 1） ex4x3( x )2203edxx? x2（5 分）1n12n23n2xil( )f ( xi , ) (42)ei 1xiln l3nln1n2ln( 不含 ）2i1x id ln l / d3n2n203i 1x i?2 nx2(10分)imle3n i 1第 6 页 共 7 页6（2） e ? ex2无偏 （13分）22六、（ 10 分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通本页共 10 分岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率得都分是 2/5. 设 x 为途中遇到红灯的次数 .求 x 的分布律、分布函数、数学期望和方差 .解： 由题知， x b(3, 25 )分布律