高一数学教案：抽象函数常见题型解法综述

1、抽象函数常见题型解法综述赵春祥抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例 1. 已知函数f (x 2 ) 的定义域是 1，2，求 f （x）的定义域。解：f(2 ) 的定义域是1， ，是指1 x 2，所以2中的x2满足 1 x 24x2f ( x )从而函数 f （ x）的定义域是 1， 4评析：一般地，已知函数 f (x) 的定义域是 a ，求 f（ x）的定义域问题， 相当于已知f ( ( x)中 x 的取值范围为a ，据此求( x)

2、 的值域问题。例 2. 已知函数 f (x) 的定义域是 1，2 ，求函数 f log 1 (3x) 的定义域。2解： f (x) 的定义域是1，2，意思是凡被f作用的对象都在 1， 2 中，由此可得1 log 1 (3 x) 2( 1) 23x(1 ) 11x112224所以函数flog(3x) 的定义域是111，124评析： 这类问题的一般形式是：已知函数f （ x）的定义域是a ，求函数f ( ( x) 的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知(x)的值域 b ，且 ba ，据此求 x 的取值范围。例2 和例 1 形式上正相反。第1页共 7

3、页二、求值问题例 3.已知定义域为 r 的函数 f （ x），同时满足下列条件：f (2) 1， f (6)1；5f ( x y)f ( x) f ( y) ，求 f（ 3）， f （ 9）的值。解： 取 x2， y3 ，得 f (6)f (2)f (3)因为 f (2)1， f (6)14，所以f (3)55又取 x y3得 f (9) f (3)8f (3)5评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x 2， y 3 ，这样便把已知条件f ( 2) 1， f (6)1与欲求的 f（ 3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。5三、值域问题例 4. 设函数f （x）定义于实数集上，对

4、于任意实数x、 y， f (xy)f ( x) f ( y) 总成立，且存在 x1x2 ，使得 f ( x1 )f (x2 ) ，求函数f (x) 的值域。解： 令 xy0 ，得 f (0) f (0) 2 ，即有f (0)0 或 f (0)1。若 f (0)0 ，则 f ( x)f (x 0)f (x) f (0)0 ，对任意 xr 均成立，这与存在实数x1 x2 ，使得 f (x1 )f ( x2 ) 成立矛盾，故 f (0)0 ，必有 f (0) 1 。由于 f (x y)f(x) f ( y) 对任意 x、 yr 均成立，因此，对任意x r ，有f ( x)f ( xx)f ( x )

5、 f ( x ) f ( x ) 2022222下面来证明，对任意xr，f (x)0第2页共 7页设存在 x0r ，使得 f ( x0 )0 ，则 f (0)f ( x0x0 )f (x0 ) f (x0 )0这与上面已证的f (0)0 矛盾，因此，对任意xr， f (x)0所以 f (x)0评析： 在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题设对满足 x0，x1 的所有实数 x，函数 f ( x) 满足f ( x) f ( x 1) 1x例 5.x，求 （fx）的解析式。解： 在 f (x)f ( x1)1x(1) 中以 x1 代换其

6、中 x，得：xxx1f (12x1( 2)f ()x)xx1再在（ 1）中以x1 代换 x，得1f (1f (x)x2(3)x1x 1(1)(2)(3)化简得：f ( x)x 3x 212x( x1)评析： 如果把 x 和 x1 分别看作两个变量， 怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关x键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例6. 设f （ x ）定义于实数集上，当x0 时， f ( x)1 ，且对于任意实数x 、 y ，有第3页共 7页f ( xy)f ( x)f ( y) ，求证：f ( x) 在 r 上为

7、增函数。证明： 在 f ( xy)f ( x) f ( y) 中取 xy0 ，得 f (0) f (0)2若 f (0)0，令 x0， y0 ，则 f ( x)0 ，与 f ( x)1矛盾所以 f (0)0，即有 f (0) 1当x时， f ( x) 10 ；当x0时，x 0， f ( x) 1 00而 f ( x) f ( x)f (0) 1所以 f (x)10f (x)又当 x0时， f (0) 10所以对任意 xr ，恒有f (x)0设x1x2，则 x2x10， f ( x2x1 )1所以 f (x2 )f x1( x2x1 )f ( x1 ) f ( x2x1 )f ( x1 )所以

8、yf ( x) 在 r 上为增函数。评析： 一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例7.已 知 函 数f ( x)( xr， x0) 对 任 意 不 等 于 零 的 实 数x1、 x2 都 有f ( x1x2 )f (x1 )f ( x2 ) ，试判断函数f（ x）的奇偶性。第4页共 7页解： 取 x11，x21得： f ( 1)f ( 1)f (1) ，所以 f (1)0又取 x1x21得： f (1)f ( 1)f ( 1) ，所以f ( 1)0再取 x1x，x21则 f (

9、x)f ( 1)f (x) ，即 f (x)f ( x)因为 f (x) 为非零函数，所以f (x) 为偶函数。七、对称性问题例 8. 已知函数 yf ( x) 满足 f ( x)f (x)2002，求 f 1 (x)f 1 (2002x) 的值。解： 已知式即在对称关系式f (ax)f (ax)2b 中取 a0，b 2002，所以函数y f (x) 的图象关于点（ 0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数图象关于点（ 2002， 0）对称。yf1 (x) 的所以 f 1 (x1001)f1 (1001x) 0将上式中的x 用 x1001代换，得f 1 (x)f1 (2002x)0评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b 均为常数， 函数 yf ( x) 对一切实数x 都满足f (ax)f (ax)2b，则函数 yf ( x) 的图象关于点（ a， b）成中心对称图形