14一次不等式组应用 2换元法主元法 教师版初一自招进度1

1、第十四讲一次不等式（组）应用（2）&换元法主元法1.甲乙两人沿边长为60 米的等边三角形 ABC 的边边按 A B C A 的方向行走，甲每分钟走65 米，乙每分钟走50 米。设甲在顶点 A 时，乙在顶点C 。问：几分钟后甲、乙两人可第一次行走在同一条边上？5010 x解：设甲走了 x 条边后与乙同走一条边上，这段时间内乙走了 x =6513条边。因甲在乙后面追赶101313乙，故有( 2 +x ) - x 1 ，解得 x 4，因为 x 为整数，故 x = 5 ，甲走完5 条边所用的时间为：60 58= 4（分钟）。1365另解：设乙走了 x + a ( 0 a 1) 条边，则甲走了 ( x

2、+ 2 ) 条边，即 60 ( x + 2 ) 米，那么此时乙走了60 ( x + 2 )米，所以6 0 x 60 ( x + 2 )50 60 ( x + 2 ) = 60 ( x + 1) ，可得 72 0，因为求甲、乙 x 601313 33 5两人可第一次行走在同一条边上，取 x = 3 ，则 x + 2 = 5 ，甲走完5 条边所用的时间为：60=813465（分钟）。2.总重量为13 .5 吨的货物装在一批极轻的箱子里（箱子本身不计重量），已知每个箱子装货不超过350 千克。证明：这批货可用11 辆载重量至多为1 .5 吨的汽车一次运完。1 / 73.某地区举办初中数赛，有 A 、

3、B 、C 、D 四所中学参加，选手中， A 、B 两校共16 名，B 、C 两校共 20 名， C 、 D 两校共34 名，并且各校选手人数的多少是按 A 、 B 、C 、 D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数。解：设 A 、 B 、C 、 D 四校的选手人数分别为 x 、 y 、 z 、u 。 x +y = 16(1)( 2 )(3)依题意，有 y + z = 20 z + u = 34由（1）、（2）可知， x + y y + z ，所以 x z 。又由于人数的多少是按 A 、 B 、C 、D 四校的顺序由（1）与 x y 得16 - y = x 8 。由（2）与 y z ，选派的，

4、所以有 x y z 10，于是8 y 10=9 代入（1）、得 20y ，有 y，可得 y9 （因为人数是整数）。将 y（2）可知 x = 7 、 z = 11 ，再由（3）有u = 23 。故 A 校 7 人， B 校9 人， C 校11 人， D 校 23 人。4.某连队在一次执行任务中，将战士分成相同人数的8 个小组。如果分配每组人数比预定人数多1 名，那么战士总数将超过100 人。如果每组人数比预定人数少1 名，那么战士总数将不到90 人。求预定每组分配的战士数。5.6 个人围坐在一张圆形桌子的周围，已知他们的平均年收入为10000 元，并且每个人的年收入是坐在他两旁的人的平均收入，那

5、么坐在这张桌子边上的人中，年收入最少应是多少元？6.一个公寓住着若干户人家，每户人家有一对夫妇和他们未成年的孩子。各家孩子的人数都不相同。在这个公寓里，孩子的总数多于成人总数，成人的总数多于男孩总数，男孩总数多于女孩总数， 女孩总数多于户数，其中有一家孩子总数，比其他各家孩子总数还多，每个女孩至少有一个兄弟， 但至多只有一个姊妹。问这个公寓有几家住户？每户各有男、女孩几人？(1) ，再设孩子最多一家有 y1 个女孩，解：设共有 x 户，y 个女孩，z 个男孩，则0 x y z 2 xz1 个男孩，因为每户人家都有孩子，且每个女孩至少有一个兄弟，那么其余( x - 1) 家至少有( x - 1)

6、 个x + 1男孩，即 z - z1 x - 1 x z - z1 + 1( 2 ) ，又因为 z 2 x ，所以 2 x z + 1 x (3) ，22 / 7z + 1由、得 x z - z + 1 ， 即 z - 1 z - z( 4 ) 。由题意得1112( y - y1 ) + ( z - z1 ) y1 + z1 ( y - y1 ) + ( z - z1 ) ( 5 )y1 + z1 - 1，由、得y1 + z1 - 1 - ( z - z1 ) +y y1 2 y1 ，因为每个女孩至多只有一个姊妹，所以每家至多只有两个女孩，即 y1 2 ，则 y 4 ，由 x y x y -

7、1 4 - 1 = 3 ， z 2 x z 2 x - 1 2 3 - 1 = 5 ，由知 x和 2 x 之间至少有两个不同的整数，故 x 3 ，于是 x = 3 ，则y =4 ，z = 5（只能取等号成立时的值），z + 15 + 1由得 z1 = 3 ，所以 z = 3 且 y = 2 。因为各家孩子的人数都不相同，所以这个公寓有11223 家，分别有1 个男孩；1 个男孩和 2 个女孩； 3 个男孩和 2 个女孩。3 / 71、换元法：“换元”就是“字母代式”，即用新的“元”去代替原式中的式，使得原式变成含新“元”的式子，然后对含新“元”式子按要求求出结果，再将其所代替的式子代回，求出原

8、式的结果2、换元法的作用：换元法是数学中的一种重要方法，它可以使不熟悉的问题转化为熟悉的问题；使复杂的问题转化为简单的问题，从而用熟悉或较简单的方法来解决问题在解题或证明中换元法常常起着桥梁和杠杆的作用换元法又称设辅助未知数法，它是字母表示数这一数学思想的延续和发展以前在乘法公式的推导、整式化简、提取公因式法及运用公式法等常用方法分解因式时，已包括或运用这一重要数学思想， 只不过那时解题过程比较简单，层次比较清楚，虽然没有将引进的新的变元写出，也不会引起混乱，而对一些比较复杂的问题则必须将引进的新的变元写出，否则会引起混乱一、换元法（1）整体思想例 1分解因式：（ab2ab）（ab2）（1ab

9、）2解：令 abx，aby，则原式（x2y）（x2）（1y）2x22xy2x4y12yy2x22xyy22（xy）1（xy）22（xy）1（xy1）2（abab1）2（a1）2（b1）2练习 1分解因式：（x2xyy2）24xy（x2y2）解：令 xya，ayb，则原式（xy）2xy24xy（xy）22xy（a2b）24b（a22b）a46a2b9b2（a23b）2（x22xyy23xy）2（x2xyy2）2（2）平均值换元法例 2分解因式：（x1）4（x3）4272x + 1 + x + 3解：令 y = x + 2 ， 则2原式（y1）4（y1）42722（y46y21）2722（y46y

10、2135）2（y29）（y215）2（y3）（y3）（y215）2（x5）（x1）（x24x19）4 / 7练习 2分解因式：（x22x3）（x24x3）3x2解：令 ax23x3，则原式（ax）（ax）3x2a24x2（a2x）（a2x）（x2x3）（x25x3）（3）形如 Ax4Bx3cx2DxE（=AE，BD）的换元法例 3分解因式：x47x314x27x1x 2 x 2 +1 7 x + 14解：原式 x 2 x 2 + 7 x + 14 + = +71x 21x 2x x21 1 1 1 x 2 x + 7 x + + 12 = x 2 x + 3 x + 4 x x x x ( x

11、 2 + 3 x + 1) ( x 2 + 4 x + 1)对于形如 Ax4Bx3cx2DxE 的四次多项式，其中=在提取 x2 后，可构造AE， BD1x 的二次多项式x练习 3、分解因式：6x45x338x25x621 1 解：原式 x 2 6 x + 5 x + - 50 = ( x - 2 ) ( 2 x - 1) ( x + 3 ) ( 3 x + 1) x x 二、主元法例 4分解因式：y（y1）（x21）x（2y22y1）解：原式y（y1）x2（2y22y1）xy（y1）xy（y1）（y1）xy（xyy1）（xyxy）例 5分解因式：ab（x2y2）（a2b2）（xy1）（a2b

12、2）（xy）解：原式b2（xy1）（xy）ab（x2y2）a2（xy）（xy1）b2（x1）（y1）ab（x2y2）a2（x1）（y1）（x1）b（y1）a（y1）b（x1）a（bxbaya）（bybaxa）例 6分解因式：a3（bc）b3（ca）c3（ab） 解：原式a3（bc）（c3b3）abc（b2c2）（bc）a3（b2bcc2）abc（bc）（bc）a3（bc）2bc（abc）（bc）a（abc）（abc）bc（abc）（bc）（abc）（a2abacbc）（bc）（ab）（ac）（abc）5 / 7练习 5、分解因式：（12aa2）ba（a1）（2b21）解：原式2a（a1）b2（

13、12aa2）ba（a1）（2aba1）（a1）ba（2aba1）（abab）三、立方和（差）公式扩展例 7分解因式：x15x14x13x1( x - 1) ( x15 + x14 + x + 1)( x 8 + 1) ( x 4 + 1) ( x 2 + 1) ( x + 1) ( x - 1)x16 - 1解：原式=x - 1x - 1x - 1 ( x 8 + 1) ( x 4 + 1) ( x 2 + 1) ( x + 1)例 8分解因式：x12x9x6x31解：令 yx3，则( y - 1) ( y 4 + y 3 + y 2 + y + 1)( x 3 )5 - 1( x 5 )3

14、- 1y - 1 =5原式y4y3y2y1=y - 1y - 1x 3 - 1x 3 - 1( x 5 - 1) ( x 10 + x 5 + 1)( x - 1) ( x 2 + x + 1)x10x51x10x9x8x9x8x7x7x6x5x6x5x4x5x4x3x3x2xx2x1x8（x2x1）x7（x2x1）x5（x2x1）x4（x2x1）x3（x2x1）x（x2x1）（x2x1）（x2x1）（x8x7x5x4x3x1）x10 + x 5 + 1= x 8 - x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x + 1x 2 + x + 1x 5 - 1= x 4 + x 3 + x

15、2 + x + 1x - 1原式（x4x3x2x1）（x8x7x5x4x3x1）6 / 71.6x47x336x27x621 1 解：原式 x 2 6 x -+ 7 x - - 24 = ( 2 x + 1) ( x - 2 ) ( 3 x - 1) ( x + 3 )x x 2.分解因式：a2bab2a2cac23abcb2cbc2解：原式（bc）a2（b2c23bc）a（b2cbc2）a（bc）（bc）abc（abc）（abacbc）3.分解因式：a2bcac2acdabdcdd2 解：原式bca2（c2cdbd）acdd2（abdc）（acb）4.一堆彩色球，有红、黄两种颜色，首先数出的

16、50 个球中有 49 个红球，以后每数出的8 个球中都有7 个红球，一直数到最后8 个球，正好数完。如果已数出的球中红球不少于90 % ，那么这堆球的数目最多只能有多少个？解：设这堆球在数出50 个之后，每次8 个的数还数了 x 次，依题意，得 49 + 7 x (50 + 8 x ) 90 %，解得 x 20 ，这堆球的总数至多是50 + 8 20 = 210 。答：这堆球的树木最多只能有 210 个。某自行车厂今年生产销售一种新型自行车，现向你提供以下有关信息：该厂去年已备有这种自行车车轮10000 只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500 只，每辆自行车需装配2 只车轮； 厂装配车间（自行车最后一道工序的生产车间）每月至少可装配这种自行车1000 辆，但不超过1200 辆；该厂已收到各地客户今年订购这种自行车共14500 辆的订单；这种自行车出厂销售5.单价为500元/辆；该厂今年这种自行车的销售金额为 a 万元。请根据上述信息，求 a 的取值范围是多少？解： 600 a 700 提示：该厂今年至少生产自行车12000 辆，但不超过14000 辆。 2 x + 1000