专题二第一讲-三角函数的图像与性质

1、专题二第一讲 - 三角函数的图像与性质-作者 : _-日期 : _第一讲三角函数的图像与性质例 1、已知函数 f(x)=tan(sinx)3（1）求 f(x) 的定义域和值域；（2）在（，）中，求 f(x) 的单调区间；（3）判定方程 f(x)=tan2 在区间（，）上解的个数。3解：（1） 1 sinx1 sinx。又函数 y=tanx 在 x=k333+ (k z)处无定义，且（，） , （, ），22233令sinx= ，则 sinx=3 解之得： x=k (kz)3223 f(x) 的定义域是 a=x|x r，且 xk ，kz3tanx 在（， ）内的值域为（， +），而当 x a 时

2、，函数22y=sinx 的值域 b 满足（ ，） b， f(x) 的值域是（， +）。1322和 x= 2（2）由 f(x) 的定义域知， f(x) 在0， 中的 x=处无定义。33设 t=sinx，则当 x0, )（， 2 ）（ 2，）时，t0,)333332 ( , ，且以 t 为自变量的函数y=tant 在区间（ 0，），（，3 上分2322别单调递增。又当 x0，时，函数 t=sinx 单调递增，且 t 0,)332当 x（3， 时，函数 t=sinx 单调递增，且 t（,2323当 x ， 2) 时，函数 t=sinx 单调递减，且 t（,23323当 x（ 2，）时，函数 t=si

3、nx 单调递减，且 t（ 0，）3322f(x)=tan(13sinx)在区间 0，) ,（, 上分别是单调递增函数；在332, 2 ), ( 2,) 上是单调递减函数。233又 f(x) 是奇函数，所以区间（， 0 ， ，3) 也是 f(x) 的单调递2232增区间 ,), (, 是 f(x) 的递减区间。332故在区间（，）中,f(x) 的单调递增区间为： 2， ) ，（，333），（， 单调递减区间为 , 2), (2, 2 ), ( 2, ) 。323333（3）由 f(x)=tan2 得：tan(sinx)=tan(2 )sinx=k +2 （k z）33333sinx=k3 +6

4、(k z) 又 1sinx 1，332k3233 k=0 或 k= 16当 k=0 时，从得方程 sinx=3当 k=1 时，从得方程 sinx= 3 + 66 ,sinx= 3 +3显然方程6 ，在（ ）上各有2个解，故sinx=,33f(x)=tan2 在区间（，）上共有4 个解。3说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求 f(x) 的定义域和值域，应当先搞清楚 y=sinx 的值域与 y=tanx 的定义域的交集；（ 2）求 f(x) 的单调区3间，必须先搞清f(x) 的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例 2、设 f ( x)a sinxbcosx(0) 的周期 t，

5、最大值 f ()4 ，12（ 1）求、 a 、 b 的值；3（ 2）若、为方程 f (x)0 的两个根，且、的终边不共线，求tan() 的值。解： (1) f (x )22) ，t，2 ， 又f (x ) 的最大值ab sin( xf ()4 ，4a2b2，且 4asin 2b cos 2，121212由 、解出 a=2 ,b=3.(2) f (x )2sin 2x23 cos2x4sin( 2x) ，f ( )f ( ) 0 ，34 sin(2)4sin(23) ，322k2， 或 22k(2) ，3333即k(、共线，故舍去 ) ， 或k，6tan()tan(k)3(kz) .63说明：方

6、程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例 3、已知函数 f ( x)sin(x)(0,0)是 r 上的偶函数，其图3,0) 对称，且在区间 0,象关于点 m (42上是单调函数 .求和的值。解：由 f (x) 是偶函数，得 f (x)f ( x) ，即 sin( x) sin( x) ，所以cos sinx cos sinx ,cos sinx0对任意 x 都成立，且0 ，所以得 cos0，依题设 0，所以解得.2由 f ( x) 的图象关于点 m对称，得 f ( 3x)f ( 3x) ，44取 x0, 得 f ( 3)f (3 ), 所以 f ( 3 )0,

7、444f ( 3) sin( 34) cos 3，4244cos30, 又0, 得 32k , k0,1,2 ，4421), k0,1,2, .(2k32 , f ( x)sin( 2 x当 k=0 ，)在0, 上是减函数；3322当 k=1 ，2, f ( x)sin(2x2)在 0, 上是减函数；10 , f ( x)2当 k2 ，sin(x)在 0, 上不是 函数 .322所以， 合得2 或2 .3例 4、已知函数 f ( x)cos2 x ， g(x) 11 sin 2x 122（ i） xx0 是函数 yf ( x) 象的一条 称 ，求 g(x0 ) 的 （ ii）求函数 h( x)

8、 f ( x) g (x) 的 增区 命 目的：本小 主要考 三角函数的 象和 性、奇偶性等基本知 ，以及分析 和推理 算能力.解：（ i）由 知 f ( x)11cos(2 x2)6因 xx0 是函数 yf ( x) 象的一条 称 ，所以2x0k，6即2x0kz ）k（6所以 g( x0 )1111sin 2x0sin( k) 226当 k 偶数 ， g( x0 )11sin113 ，2644当 k 奇数 ， g( x0 )11 sin 115 2644（ ii） h( x)f ( x) g(x)11cos 2x1sin 2x261251 cos2xsin 2x313 cos2x1 sin

9、2x326222221 sin 2x3 232z ）时，当 2k 2 x 2k2，即 k 5 x k （ k231212函数 h( x)1 sin2x3 是增函数，232故函数 h( x) 的单调递增区间是k5（ kz ）， k1212第一讲三角函数的图像与性质班级 _姓名 _一、填空题1. y=|sin（x+ ）|的单调增区间为 _.42.要得到 y3cos 2x的图象，可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象向左平移4_单位 .3.若动直线 x a 与函数 f ( x) sin x 和 g( x) cos x 的图像分别交于 m ，n 两点，则 mn 的最大值为 _.4.若 02 ,s

10、in3 cos ，则 的取值范围是 _.5.把函数 ysin x （ xr ）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再3把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变），得到的2图象所表示的函数是 _.66.设 a sin5 ， b cos2 ， c tan2，则它们的大小关系为 _.7777.函数 f(x)=sin x1( 0x2 ) 的值域是 _.3 2cos x2sin x8.已知 f ( x) sinx(0)， ff，且 f (x) 在区间，有最36363小值，无最大值，则_9.已知函数 f ( x)3 sinxcos x(0) ， yf ( x) 的图像与直线 y2 的两个

11、相邻交点的距离等于，则 f ( x) 的单调递增区间是 _.10.若函数 f ( x) (13 tan x) cos x ， 0 x，则2f (x) 的最大值为 _.11. 已知函数 f ( x)2sin(x) 的图像如图所示，则7。f1212、当 0 x 1时 ，不等式 sinxkx 成立，则实数 k 的取值范围是2_.13、已知 tan()1 , tan1 且 ,(0,) , 则 2的值为27_.14、给出下面的3 个命题：（ 1）函数 y| sin(2x) |的最小正周期是；3352（2）函数 ysin(x3 ) 在区间 ,) 上单调递增；（ 3） x是函数224y sin(2x5 )

12、的图象的一条对称轴 .其中正确命题的序号是2二、解答题7rr15、设函数 f (x)a b ，其中向量rr， xr ，且a (m cos 2 x) ，b (1 sin 2x，1)，的图象经过点y f ( x)， 。 （1）求实数 m 的值；（2）求函数 f ( x) 的最小值24及此时 x 值的集合16、如图，某市拟在长为8km 的道路 op 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y=asinx(a0,0) x0,4 的图象，且图象的最高点为s(3，23 )；赛道的后一部分为折线段mnp，为保证参赛运动员的安全，限定mnp=120 o（ 1）求 a , 的值和 m

13、 ，p 两点间的距离；（ 2）应如何设计，才能使折线段赛道 mnp最长？17、设函数 f (x) sin(x6) 2cos2 x148（ 1）求 f ( x) 的最小正周期8（ 2）若函数 yg(x) 与 yf (x) 的图像关于直线 x1 对称，求当 x0,4 时3y g( x) 的最大值18、设函数 f（x） =asinx+bcosx（0）的最小正周期为，并且当 x= 12时，有最大值 f（ ）=4.12（ 1）求 a、b、的值；（ 2）若角 、 的终边不共线， f（ ） =f（ ） =0 ，求 tan（ +）的值 .919、设函数f ( x)ab，其中向量a(m，cos2x)，b(1 s

14、in 2x 1) ，x r，且，的图象经过点y f ( x)， 24（ 1）求实数 m 的值； （2）求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合(3)求函数的单调区间；(4)函数图象沿向量 c 平移得到 y2 sin 2x的图象 ,求向量 c 。20、设函数 fxsin x0,，给出下列三个论断：22 fx的图象关于直线 x对称； f x 的周期为；6 fx的图象关于点,0 对称12以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明10第一讲三角函数的图像与性质答案1、 k+ ，k+ 3（ kz ）442、83、24、, 4335、 ysin(

15、2 x) ， xr36、 b ac7、-1,08、 1439、 k, k, k z3610、 211、012、k113、 3414、15、解：（ 1） f (x)agb m(1 sin 2x)cos2x ，得 m 1由已知 fm 1 sincos242211（ 2）由（）得 f ( x)1 sin 2xcos 2x12 sin 2 x ，4当 sin2x时， f (x) 的最小值为 12 ，14由 sin 2 x1，得 x 值的集合为 x xk3z4，k816、解法一（）依题意，有 a23 ， t3，又 t2，。 y 2 3 sin x466当 x 4 是，y 2 3 sin233m (4,3

16、)又p(8,3)mp42325（）在 mnp中 mnp=120 ，mp=5 ，设 pmn=，则 0 60由正弦定理得mpnpmnsin1200sinsin(600)np10 3 sin,mn103 sin(600)33故 npmn103sin10 3sin(600)103(1sin3cos )3332310 3sin(600 )3q 060， 当 =30时，折线段赛道 mnp 最长亦即，将 pmn 设计为 30时，折线段道mnp 最长解法二：（）同解法一12（）在 mnp中， mnp=120 ，mp=5 ，由余弦定理得 mn 2np22mn gnpgcos mnp= mp 2即 mn 2np2

17、mn gnp 25故 (mnnp )225mn gnp( mnnp )22从而3(mn np )225 ，即 mn1034np3当且仅当 mnnp 时，折线段道mnp 最长注：本题第（）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：点 n 在线段 mp 的垂直平分线上等123943）； n (123943）；n (，62，6217、解：（） f (x) = sin4x coscos4x sincos x664=3 sinx3 cosx2424=3 sin(x3)4故 f ( x) 的最小正周期为 t = 2=84( ) 解法一：在 yg (x) 的图象上任取一

18、点( x, g (x) ，它关于 x1 的对称点(2x, g(x) .由题设条件，点 (2x, g (x) 在 yf ( x) 的图象上，从而g(x)f (2x)3sin(2x)4313=3sin4x23=3 cos( x)43当 0 x3 时，4x2，因此 yg ( x) 在区间 0, 4 上的最大43333值为gmax3 cos323解法二：因区间 0,4 关于 x = 1 的对称区间为 2, 2 ，且 yg( x) 与 yf ( x) 的图33象关于x = 1 对称，故 yg( x) 在 0,4f (x) 在 2上的最大 上的最大值为 y,233值由（）知 f (x) 3sin( x3) 当 2x2 时，436436因此 yg( x) 在 0, 4 上的最大值