大学物理习题及综合练习答案详解

1、库仑定律7 1 把总电荷电量为 Q 得同一种电荷分成两部分， 一部分均匀分布在地球上,另一部分均匀分布在月球上，使它们之间得库仑力正好抵消万有引力,已知地球得质量 M 5、 98l4kg，月球得质量 m=、l0 22k。（1）求 Q 得最小值；（ 2）如果电荷分配与质量成正比，求得值。解： (1)设 Q 分成 q1、 q2 两部分 ,根据题意有,其中即 .求极值 ,令，得，（） ,解得 , ，7 2 三个电量为得等边三角形得三个顶点上,电荷 Q（ Q 0)放在三角 得点电荷各放在边长为形得重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大？解： 到顶点得距离为 ,Q 与 q 得相互吸引力为，两个

2、q 间得相互排斥力为据题意有,即 ，解得 :电场强度7 3 如图 7所示 ,有一长 l 得带电细杆。 (1) 电荷均匀分布 ,线密度为 + ,则杆上距原点x 处得线元d对0得电场力为何0受得总电场力为何?(2）若电荷线密度x， k 为正常数，求P 点P 点得点电荷 q?q得电场强度 .解：（ 1）线元 dx 所带电量为，它对q0 得电场力为Oq0 受得总电场力laPx时，其方向水平向右；时 ,其方向水平向左图 7-3（2）在 x 处取线元 x,其上得电量，它在P 点得电场强度为方向沿 轴正向 .7 一半径为 R 得绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量 +q,下半段均匀带电量 -q，如图 4 所示

3、，求半圆中心处电场强度 .解 : 建立如图所示得坐标系，由对称性可知，+q 与 -q 在 O 点电场强度沿x 轴得分量之与为零。取长为dl得线元，其上所带电量为，方向如图+ +y 方向得分量+R7-一半径为 R 得半球壳，均匀带有电荷 ,电荷面密度为 ，求球心处电场强度。解： 沿半球面得对称轴建立 x 轴 ,坐标原点为球心 O.在球面上取半径为r 、宽为 dl 得环带，如图，其面积为，所带电荷dq 在 O 处产生得电场强度为，因为球面上所有环带在处产生得电场强度方向相同, -6 一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为,平板中部有一半径为R 得圆孔，中心轴线上得场强分布.（提示 :利用无穷大板与圆

4、盘得电场及场强叠加原理)解 : 利用补偿法，将圆孔瞧作由等量得正、负电荷重叠而成，即等效为一个完整得带电无穷大平板与一个电荷面密度相反得圆盘叠加而成。图 7-4如图 7-所示。 求圆孔无穷大平板得电场为RP图 7-6圆盘激发得电场为，其中为平板外法线得单位矢量。圆孔中心轴线上得电场强度为电通量7 电场强度为得匀强电场，其方向与半径为R 得半球面得对称轴平行，如图7-7 所示 ,求通过该半球面得电场强度通量 .解： 作半径为 得平面 S与半球面 S 构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷,由高斯定理R7 一边长为 a 得立方体置于直角坐标系中，如图 8 所示。现空间中有一非均匀电场， 1 、2

5、 为常量，求电场对立方体各表面及整个立方体表面得电场强度通量。图 7-7解 :ABGFEd S( E1kx)iE2 j (d Sj )E2 SE2 a2ySSABFGBCDGEd S( E1ka)iE2 j (d Si )(E1ka)a 2OSSECxD整个立方体表面得电场强度通量z高斯定理图 7-87有两个同心得均匀带电球面,内外半径分别为R 与 R，已知外球面得电荷面密度为 +,其外面各处得1电场强度都就是零。试求 :（ 1)内球面上得电荷面密度；( )外球面以内空间得电场分布。解 : 作一半径为 r 得同心球面为高斯面 .设内球面上得电荷面密度为。(1)处：因为外球面外得电场强度处处为零

6、,由高斯定理有,得（2) 由高斯定理即方向沿径向反向7 10 一对无限长得均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R 与 R ，沿轴线方向单位长度得电量分别为1与2。（ 1)求各区域内得场强分布；(2) 若 2，情况如何？画出此情形下得 得关系曲线 .1解 : （ 1)作一半径为r、长为 h 得共轴圆柱面为高斯面,由高斯定理有,得得（ 2）时 , 11 设半径为R 得球体，电荷体密度 kr （rR)，其中 为常量 ,r 为距球心得距离。求电场分布，并画出 r 得关系曲线。解： 作一半径为得同心球面为高斯面.根据高斯定理即得即得7 2 一厚度为 d 0、5cm 得无限大平板，均匀带电，电荷体密度外得电

7、场分布 ;(2）讨论平板中央以及平板内与其表面相距、104C m3,求 (1)平板内0、 1 m 处得电场强度。解：（ 1）设中心平面为S0.根据对称性，在距S 处为 处对称地取两面积均为得底面作一圆柱形高斯面侧面与板面垂直（如图所示）,即侧面得电通量为零。时,时,其(2）平板中央，平板内与表面相距0、 1cm 处 ,V/m - 3 一个电荷体密度为（常量）得球体 .（ 1)证明球内距球心 处一点得电场强度为； （ 2）若在球内挖去一个小球 ,如图 7 所示， 证明小球空腔内得电场就是匀强电场，式中就是球心到空腔中心得距离矢量。证：（ ) 作与球体同心得球面为高斯面，根据高斯定理即R矢量式得证

8、OO O( ）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为与得电荷球体，形成电荷密度分别为与-得大球体与小球体 .对腔内任一点（如图），由 (1) 得结果有大球；小球得证静电场得环路定理7-14 若电场中某一部分电场线得形状就是以O 点为中心得同心圆弧。 证明该部分上各点得电场强度都应与该点离 O 点得距离成反比 , 即 E1 12r2.= E证： 作一回路 bd，如图。根据静电场环路定理r2r1即O，得证图 7-147 15 证明 : 在静电场中 , 凡电场线都就是平行直线得地方，电场强度得大小必定处处相等 .(提示：利用环路定理与高斯定理)证 :设电场方向水平向右。在一电场线上任取两点1 与 2，

9、作两底面足够小得圆柱面，如图。由高斯定理即同一电场线上任意两点得电场强度相等。作一矩形回路ab，其中ab、 d 与电场线垂直，bc、 d与电场线平行，即有由静电场环路定理即不同电场线上任意两点得电场强度相等。所以命题成立电场力得功与电势能. 16 边长为 得正三角形， 三个顶点上各放置 ,与 2q 得点电荷 ,求此三角形重心上得电势。将一电量为 +Q 得点电荷由无限远处移到重心上，外力做功多少？解 : 顶点到重心得距离 ,重心得电势为外力所做得功7 17 如图7 17 所示，三个点电荷Q 、 、Q3沿一直线等距放置，且Q =Q Q,其中任一点电荷所受213合力均为零 .求 1、 Q固定情况下

10、,（ 1）Q2 在 O 点时得电势能； (）将 Q从 O 点推到无穷远处，外力所做得功 .解 : （ 1)Q1 与 3在 O 点产生得电势为Q1Q2Q3因为 Q1 所受合力为零 ,即 ,Od解得，2 在 O 点得电势能d图 7-17（ 2）将 Q2从点推到无穷远处 ,外力所做得功 -18 一半径为 R 得无限长带电棒 ,其内部得电荷均匀分布,电荷体密度为。（ 1)求电场分布 ;( )如图 8 所示（沿棒轴向俯视)，若点电荷q0 由 a 点运动到 b 点，则电场力做功为多少？解 : （ 1）取长为 l 、半径为 r且与带电棒同轴得圆柱面为高斯面.由高斯定理即得Rb得r 2r1a（ 2)半径相同处

11、得电势相等Aq E d l qE d l q E d l qRrd r qr2R2图 7-18d rbRbab0 a0 a10 R 20 r1 2 00 R 2 0 r电势 -19 题 718 中 ,若取棒得表面为零电势，求空间得电势分布。解 : 取棒表面为零电势 ,即?时,时 ,7 20 如图 2所示 ,电荷面密度分别为+ 与 得两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x 轴相交于 1a 与 2= - a 两点。设坐标原点O 处电势为零 ,求空间得电势分布。解： ;：； :。:+-：:Oa7 1 两根半径分别为R1=3、 0 102m 与 R2=0 、 1m 得长直同轴圆柱面，-ax带有等量异

12、号得电荷,两者得电势差为450V.求圆柱面单位长度上所带电荷 .图 7-20解： 由高斯定理可求得两柱面间得电场强度,解得7 如图 7 2所示得带电细棒 ,电荷线密度为 ，其中为半径为E=R，求（ 1)R 得半圆 , B=半圆上得电荷在半圆中心O 处产生得电势 ;(2）直细棒AB 与 D 在半圆中心 处产生得电势； （）O 处得总电势。解：（ ) 取电荷元 ,C( )在 AB 上距 点为 处，取电荷元R。同理 E 在点产生得电势ABODE（ 3)图 7-227-2半径分别为 1 与 R2 得两个同心球面 ,分别带有电荷q1 与 q2.求： (1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（）两球面间电势差;（ 3) 若 12108、 2，离球心=1 cm、 R =30cm 、 q=1、 1020c与 50 m 处得电势