资料课件讲义冰山运输

1、冰山运输在以盛产石油著称的波斯弯地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏， 不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0.1英镑。有些专家提出从相距9600km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯弯，以取代淡水的办法。这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性。为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模必须的准备工作。模型准备 根据建模的需要搜集到以下数据。1.三种拖船的日租金和最大运量。2.燃料消耗（英镑/千米）。主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略。3 冰山运输过程中的

2、融化速率（ 即米/天）。指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度。融化速率除与船速有关外， 还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的原故。，建立模型的目的是选择拖船的船型和船速使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设。模型假设1.拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响.总航行距离9600km。水2. 冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同，这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地计算。3. 冰山到达目的

3、地后，1m3冰可融化0.85m3模型构成 首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消耗，由此可以计算出到达目的地后的冰山体积和运费。在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式。模型构成可分为以下几步。1.冰山融化规律根据假设2先确定冰山球面半径的减少， 就可以得到冰山体积的变化规律。 记冰山球面半径融化速率为r 米/ 天，船速为ukm / h，拖船与南极距离为d km。根据表5中融化速率的数据，可设 r 是船速u的线性函数，且当0 d 4000 km 时 r与 d 成正比，而当d 1000 km 时 r 与 d 无关，即设r = a1 d (1 + bu),0 d

4、 4000d 4000（1）a (1 + bu),2其中a1, a2 ,b为待定参数这可解释为 0 d 4000 km相当于从南极到赤道以南，海水温度随d 增加而上升，使融化速率 r 也随 d 的增大而变大，而d 4000km 后海水温度变化较小，可以忽略。利用表5所给数据确定出*a1 = 6.5 10-5a2= 0.2, b = 0.4,(2)当拖船从南极出发航行第t天时，与南极距离为d=24ut（3）记第t天冰山球面半径融化速率为r , 将(2), (3)代t入(1)式得1.56 10-3u(1 + 0.4u)t ,0 t 1000r= 6u(4)t10000.2(1 + 0.4u) ,t

5、 6u记第t天冰山半径为Rt，体积为Vt , 则R= R-tr(5)t0kk =1V= 4p R3,V= 4p R3(6)t3t030其中R0 ,V0为从南极启运时冰山的初始半径和体积由(4) (6)式可知冰山体积是船速u、初始体积V0和航天天数t的函数，记作V (u,V0 , t), 有34p 3VtV (u,V0 ,T ) = 04p- rk 3(7)3k =1其中rk由(4)式表示2.燃料消耗费用分析表4给出的数据可以看lg V均按线形关系变化，所以可设q = c (u + c )(lgV + c )(8)123其中c1, c2 , c3为待定参数利用表4所给数据可以确定*c1 = 0.

6、3 ,c2= 6 ,c3 = -1(9)由(7) (9)式可将拖船航行第t天的燃料消耗记作q(u,V0,T )(英镑/ 天)，且有q(u,V0 ,T ) = 24u c1(u + c2 )lgV (u,V0 , t) + c3 = 7.2u(u + 6)lg-134p 3Vtk =1- 3 04prk 33Vtk =1= 7.2u(u + 6)3lg 3-rk - 0.3780(10)4p3.运送冰山费用费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成，由表3知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积V0决定，记日租金为f (V0)显然有V 5 1054.0,0f (V ) = 6.2,5 105 V

7、 106(11)008.0106 V 1070又因为当船速为u(km / h)时冰山抵达目的地= 9600 = 400 ,所需天数为T24uu所以租金费用为 400 f (V0 )。而整个航程ur的燃料消耗为 q(u,V0 , t),由(10)式得运送t =1冰山的总费用为) = 400 f (V0 ) +S (u,V0u7.2u(u + 6) - 15133V04pTt3lg-r(12)kut=1k =14.冰山运抵目的地后可获得水的体积将t=T 代入（7）式知，冰山运抵目的地后的体积为34p 3VTV (u,V0 ,T ) = 04p- 3 rt (13)3k =1注意到假设（3），则得到水的体积为33.4p 3VT 04pW (u,V0 ) =- 3 rt (14)3k =15.每立方米水所需费用记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为y(u,V0 )，由(12), (14)式显然有S (u,V0 )y(u,V) =(15)0W (u,V0 )这个模型归结为选择船速u和模型求解冰山初始体积V0，使 (15)式表示的费用Y (u,V0 )最小，其中S = (u,V0 )由(12), (4)式给出，W (u,V0 )由(14), (4)式给出。由于f (V0 )是分段函数，只能固定一系列V0 值对u求解。又因为由调查数据(表4，表5) 得到的经验公式是非常粗糙的，对船速