研究生课件应用数学基础2线性空间

1、1,第一章集合上的数学结构 2.线性空间 一、线性空间的概念 二、线性空间的基、坐标和维数 （一）线性表示与向量组的线性相关性 （二）线性空间的基、坐标、维数 （三）基变换与坐标变换 三、子空间,2,四、维数定理 五、子空间的直和 六、线性空间的线性同构,3,一、线性空间的概念,线性空间的定义 线性空间的例： R,Rn,Rnn,Rnx都是R上的线性空间. C,Cn,Cnn,Cnx都是C上向量空间. Ca,b,Cnx 线性空间的简单性质,4,在线性代数中，大家已熟悉了具体的线性空间Rn 和Cn。 这里要在一般集合上建立线性结构，即加法 运算和数乘运算，使集合上有了代数结构。 线性空间上首先有了向

2、量组的线性相关性的概 念，接着建立线性空间上基、坐标、维数的概念。 这样，可以象在Rn上那样研究一般的线性空间。,5,一、线性空间的概念 设C是复数集合，K是C的一个非空集合，它含有 0和1，且其中任意两数的和、差、积、商 （除数不为零）仍属于该集合，则称K是一个数 域。 显然，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域。 分别称为有理数域，实数域和复数域。 今后用F代表数域（实数域R或复数域C）。,6,定义2.1 设V是一个非空集合,F是一个数域 (实数域R或复数域C),在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x与y，在V中都有唯一的一个元素

3、z与它们对应，称为x与y的和，记为z=x+y。在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么称V为数域F上的线性空间。,7,(1) 加法满足下面四条规则：x,y,zV,有 x+y=y+x; x+(y+z)=(x+y)+z; 零元素V,使x+=x=+x; x的唯一负元素-xV,使x+(-x)=. (2) 数乘满足下面两条规则： x,yV,F,有 (x)=()x; 1x=x.,8,(3)数乘相对于V上加法和F上的加法相对于 数乘有分

4、配律: (+)x=x+x; (x+y)=x+y. 则称V为数域F上的线性空间, 其中元素称为向量, 所以线性空间也叫向量空间. R,Rn,Rnn,Rnx都是R上的线性空间. C,Cn,Cnn,Cnx都是C上向量空间.,9,例2.1 Rn=x=(x1,x2,xn)T|xiR,1in 是R上的线性空间。 证明：只要定义： x=(x1,x2, ,xn)T ， y=(y1,y2, ,yn)TRn,kR, x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)TRn kx=(kx1,kx2, ,kxn)TRn 满足：x=(x1,x2, ,xn)T,y=(y1,y2, ,yn)T, z=(z1,z2, ,zn

5、)TRn,k,lR （1）x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)T =(y1+x1,y2+x2, ,yn+xn)T =y+x,10,(2)(x+y)+z =(x1+y1)+z1,(x2+y2)+z2, ,(xn+yn)+zn)T =(x1+(y1+z1),x2+(y2+z2), ,xn+(yn+zn)T =x+(y+z) (3)存在零向量=（0，0，0）T，使 x+ = +x=x (4)-x= (-x1,-x2, ,-xn)T ,使 x+(-x)=(-x)+x= (5) k(lx)=k (lx1,lx2, ,lxn)T =(kl)(x1,x2, ,xn)T =(kl) x,11,(

6、6)1x=1 (x1,x2, ,xn)T = (1x1,1x2, ,1xn)T = (x1,x2, ,xn)T =x (7)(k+l)x=(k+l)x1,(k+l)x2, ,(k+l)xn)T =k(x1,x2, ,xn)T +l (x1,x2, ,xn)T =kx+lx (8)k(x+y)=k (x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)T =kx+ky,12,例2.2 考虑Ca,b,x,yCa,b,kR, 定义加法和数乘: (x+y)(t)=x(t)+y(t) (kx)(t)=kx(t) 由于两个连续函数之和仍为连续函数, 连续函数与常数相乘仍是连续函数, 由此易知,Ca,b是R上的线性空间

7、. 例2.3 次数不超过n的复系数多项式集合 Cnx=p(x)=a0 xn+a1xn-1+an|aiC,0in 按通常多项式加法和数与多项的乘法，构成复 数域C上的向量空间。,13,例2.4 元素属于复数域C的mn矩阵集合 Cmn=A=(aij)mn|aijC 按矩阵的加法和数乘构成C上向量空间。 例2.5 给定ACmn,记 R（A）=yCm|y=Ax,xCn N(A)=xCn|Ax=0 按向量的加法和数乘，是C上线性空间。 证明：设y1,y2R(A),则存在x1,x2Cn,使 y1=Ax1,y2=Ax2, y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2) R(A) kC,ky1=kAx1=A(k

8、x1) R(A) x1,x2N(A),则Ax1=0,Ax2=0,14,A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0 x1+x2N(A), kC,A(kx1)=kAx1=k0=0,所以，kx1N(A). 例2.6 设ACmn,V=xCn|Ax=b,b0按向 量的加法和数乘不是线性空间。 这是因为，x,yV,Ax=b,Ay=b, A(x+y)=Ax+Ay=b+bb 即x+yV,15,线性空间有以下简单性质： （1）线性空间V（F）有唯一的零元;xV(F), 有唯一的负元-x. 实际上，若有两个零向量和，则 += xV(F),若有两个负向量y1和y2,满足 x+y1=x+y2= 于是， y1-y2=

9、,即y1=y2 (2)设xV(F),kF,则有 0 x=,k=,(-1)x=-x,16,二、线性空间的基、坐标与维数,线性表示与向量组的线性相关性 线性空间的基与维数、向量的坐标 基变换与坐标变换公式,17,二、线性空间的基、坐标和维数 （一）线性表示与向量组的线性相关性 定义2.2 设V是数域F上的线性空间, x,x1,x2,xmV是V中一向量组, 如果存在一组数k1,k2,kmF,使 x=k1x1+k2x2+kmxm 则称x是x1,x2,xm的线性组合, 或称x可由x1,x2,xm线性表示. 例如， 1=（2,-1,3,1)T,2=(4,-2,5,4)T, 3=(2,-1,4,-1)T 3

10、=31-2 即3可由1,2线性表示.,18,又如,由于,19,定义2.3 设x1,x2,xmV是一组向量, 如果存在一组不全为零的数k1,k2,kmF使 k1x1+k2x2+kmxm=, 则称向量组x1,x2,xm线性相关; 否则称x1,x2,xm线性无关, 即若 k1x1+k2x2+kmxm=, 则k1=k2=km=0. 设EV,若E的任一有限向量组都是线性无关的 则称E是线性无关的. 定义2.4 设V是数域F上的线性空间,EV,令,20,称SpanE为E生成空间,或E张成的空间,21,例2.7 线性空间V（F）中的向量组x1,x2, ,xm (m1)线性相关的充分必要条件是 向量组x1,x

11、2, ,xm中至少有一个向量是其余向 量的线性组合。 证明：）设x1,x2, ,xm线性相关，则存在不全 为零的一组数k1,k2, ,kmF,使 k1x1+k2x2+kmxm= 不妨设k10,则,22,)设 x1=k2x2+k3x3+kmxm 则 (-1)x1+k2x2+k3x3+kmxm= 由于-1，k2, ,km不全为零，所以x1,x2, ,xm 线性相关。 例2.8 n维单位向量组e1=(1,0,0, ,0)T, e2=(0,1,0, ,0)T, ,en=(0,0,0, ,1)T线 性无关。 证明：若有数k1,k2, ,knR,使 k1e1+k2e2+knen=, 则 (k1,k2, ,

12、kn)T=, 即 k1=k2=kn=0 所以，e1,e2, ,en线性无关。,23,例2.9 试证：R22中的一组向量（矩阵）,线性无关。 证明：若有数k1,k2,k3,k4R,使,即,所以，k1=k2=k3=k4=0,E11,E12,E21,E22线性无关。,24,例2.10 试证R22中的向量（矩阵）组,线性相关。 证明：由于 1-2+ 3= 所以1，2， 3线性相关。,25,（二）线性空间的基、坐标、维数 定义2.5 设x1,x2, ,xnV是一组向量,如果满 足: (1)x1,x2, xn线性无关； （2）xV,x可由x1,x2, ,xn线性表示， 则称x1,x2, ,xn是V的一组基

13、。 设E是线性空间V的线性无关无限子集,如果 SpanE=V, 则称E是线性空间V的基. 例如,1,x,x2,xn是Rnx的一组基. xV,必有唯一的一组数k1,k2,knF,使 x=k1e1+k2e2+knen 则称(k1,k2,kn)是x的坐标.,26,证明：设x有两种表示： x=a1x1+a2x2+anxn = b1x1+b2x2+bnxn 则 (a1-b1) x1+(a2 b2) x2+(an bn) xn= 由于x1,x2, ,xn线性无关，所以 a1=b1,a2=b2, ,an=bn 例2.11 向量组e1=(1,0,0, ,0)T,e2=(0,1,0, ,0)T, ,en=(0,

14、0,0, ,1)T是Rn中一组基。称之为自然基。 实际上，前面已证它是组性无关的，而且 x=(x1,x2, ,xn)TRn,有 x=x1e1+x2e2+xnen,27,例2.12 设EijRmn(i=1,2, ,m;j=1,2, ,m)为 第ij元素为1其余元素均为0的矩阵，它是Rmn 的一组基，称之为自然基。实际上，它是线性 无关的。 若有数kijR,使,则得,即kij=0(i=1,2, ,m;j=1,2, ,m) 其次，A=（aij)mnRmn有,28,例2.13 R上次数不超过n的多项式集合Rnx是 线性空间，1,x,x2, ,xn是一组基。 定理2.1 设x1,x2, ,xn是线性空间

15、V（F）的一 组基，则当mn时，V（F）中任意m个向量的向 量组是线性相关的。 证明：设y1,y2, ,ym(mn)是V（F）中任一向量 组，由于x1,x2, ,xn是一组基，则有,29,yi=ai1x1+ai2x2+ainxn(i=1,2, ,m) 若有数c1,c2, ,cmF,使 c1y1+c2y2+cmym,则,由于方程个数n小于未知数个数m，上面的方程组必有非零解(1,2, ,m)T,30,1y1+2y2+mym= 即y1,y2, ,ym线性相关。 定理2.2 线性空间V（F）中任意两组基 所含 向量个数相等。 证明：设x1,x2, ,xn与y1,y2, ,ym分别为V（F） 的两组基

16、，由上面的定理，nm.若不然，则 mn,由于y1,y2, ,ym是基，所以， x1,x2, ,xn线 性相关，矛盾！ 同样可证：mn,从而，m=n。,31,定义2.7 线性空间V（F）的一组基所含向量 的个数称为V（F）的维数，记作dimV(F).n维的 线性空间V（F）可记作Vn（F）。 例如，dim Rn=n,dim Rnx=n+1 dim Rmn=mn 定理2.3 n维向量空间Vn(F)中任意n个线性无 关的向量组是Vn(F)的一组基。 证明：yV(F),由于y,x1,x2, ,xn线性相关， 则y可由x1,x2, ,xn线性表示，从而， x1,x2, ,xn是一组基。,32,（三）基变

17、换与坐标变换 设x1,x2, ,xn与y1,y2, ,yn是线性空间Vn(F) 的两组基，则有,或,其中,33,称P为基x1,x2, ,xn到基y1,y2, ,yn的过渡矩 阵。 过渡矩阵是可逆的。实际上，由于y1,y2, ,yn 线性无关，则若有数k1,k2, ,knF,使 k1y1+k2 y2+ +kn yn= 必须 k1=k2=kn=0 即,相当于,34,只有零解。,相当于,35,设x1,x2, ,xn与y1,y2, ,yn是线性空间Vn(F) 的两组基，xVn(F)在基x1,x2, ,xn与 y1,y2, ,yn下的坐标分别是,即,或,36,由于x1,x2, ,xn线性无关，得坐标变换

18、公式,37,例2.14 在R3中求向量x=(1,2,1)T在基 x1=(1,1,1)T,x2=(1,1,-1)T,x3=(1,-1,-1)T下的 坐标。 解：R3中自然基e1,e2,e3,则有,38,设x在基x1,x2,x3下的坐标 为(1, 2, 3)T,已 知x在e1,e2,e3下的坐标为（1，2，1）T，则,例2.15 在Rnx中，1,x,x2, ,xn与1, (x-a),(x-a)2, ,(x-a)n为两组基，求前一组 基到后一组基的过渡矩阵。 解：,39,1=11 x-a=-a1+1x (x-a)2=a21-2ax+1x2 (x-a)3=-a31+3a2x-3ax2+1x3 ,40,

19、由1,x,x2, ,xn到1,(x-a),(x-a)2, ,(x-a)n 的过渡矩阵是,41,例2.16 在R4中,求,其中,并求向量=(x1,x2,x3,x4)T在1, 2, 3, 4下的坐标。 解：已知 e1=(1,0,0,0)T,e2=(0,1,0,0)T,e3=(0,0,1,0)T,e4=(0,0,0,1)T是一组基，且,42,43,44,45,46,47,三、子空间,子空间的定义 验证子空间的充分必要条件 子空间的基与维数,48,三、子空间 定义2.7 设S是线性空间V（F）的非空子集。若 S中向量关于V（F）的加法和数乘也构成F上的 线性空间，则称S是V（F）的子空间。 例如，和V

20、（F）是线性空间V（F）的两个 子空间，称之为V（F）的平凡子空间。 定理2.1 设S是线性空间V（F）的非空子集。 S是V（F）的子空间的充分必要条件是： (1）x,yS,有x+yS;(2)kF,xV(F),有kxS。 证明：必要性显然。来证充分性。只要验证满足 线性空间的条件。,49,(1) x,yS,则x,yV(F),x+y=y+x (2) x,y,zS,则x,y,zV(F),(x+y)+z=x+(y+z) (3)取aS,=0aS (4)xS,-x=(-1) xS (5) kF,x,yS,则x,yV(F), k(x+y)=kx+ky (6) k,lF,xS,则xV(F), (k+l) x

21、=kx+lx (7) k,lF,xS,则xV(F) k (lx)=(kl) x (8) xS,则xV(F), 1x=x,50,例2.17 设S=x1,x2, ,xrV(F),S生成的空间 SpanS是V（F）的子空间。 证明：SpanS显然非空，而且 x,ySpanS,kF x=a1x1+a2x2+arxr y=b1x1+b2x2+brxr x+y=(a1+b1) x1+(a2+b2) x2+(ar+br) xrSpanS kx=(ka1)x1+(ka2)x2+(kar)xrSpanS 定义2.8 设T是线性空间V(F)中的一个向量组, (1)x1,x2, ,xr线性无关； （2）xT, x,

22、x1,x2, ,xr线性相关，,51,则称x1,x2, ,xr为T的一个极大线性无关组；T 的一个极大线性无关组的向量个数定义为T的维数。 定理2.2 n维线性空间Vn（F）的任一线性无关 的向量组x1,x2, ,xr必可扩充为Vn(F)的一组基。 证明：已知x1,x2, ,xr线性无关。当rn时， x1,x2, ,xr不可能是Vn(F)的基。至少存在一个 向量xr+1Vn(F),使x1,x2, ,xr，xr+1线性无 关。 若r+1=n,则x1,x2, ,xr，xr+1是Vn(F)的一组基. 否则,继续上述步骤,由于dimVn(F)=n,必有正整 数l,使r+l=n,即x1,x2, ,xr，

23、xr+1，xr+l是 Vn(F)的基。,52,例2.18 N(A)=xRn|Ax=,A=(aij)mn,A的秩 为r,则N（A）是n-r维子空间。 证明：kF,x,yN(A),Ax=,Ay=,有 A(x+y)=Ax+Ay=+= A(kx)=kAx=k= 所以，x+yN(A),kxN(A), 即N（A）是Rn的子空间， 由于A的秩为r,因此,齐次线性方程组Ax=有n-r 个线性无关的解向量，即N（A）是n-r维的。,53,例2.19 设V1,V2是线性空间V(F)的两个子空间, 则W=V1V2是V(F)的子空间. 证明:首先,V1,V2, V1V2,即V1V2 非空.其次, (1)x,yV1V2

24、,则x,yV1, x+yV1,x,yV2,x+yV2, x+yV1V2; (2)kF,xV1V2,则xV1,xV2, kxV1,kxV2, kxV1V2,54,例2.20 设V1,V2是线性空间V(F)的两个子空间, 则 W=V1+V2=x+y|xV1,yV2 是V(F)的子空间,称之为V1与V2的和空间. 证明:显然W=V1+V2非空. (1)x,yV1+V2,则存在x1,x2V1,y1,y2V2,满 足： x=x1+y1, y=x2+y2 于是 x+y=(x1+y1)+(x2+y2) =(x1+x2)+(y1+y2) V1+V2 (2) kF,xV1+V2,则存在x1V1,y1V2,使 x

25、 =x1+y1 于是， kx=k(x1+y1)=(kx1)+(ky1) V1+V2 其中kx1V1,ky1V2,55,例2.21 设1=(1,2,1,0)T, 2=(-1,1,1,1)T, 1=(2,1,0,1)T ,2=(1,-1,3,7)T 求V1=Span1, 2,V2=Span1,2的和与交的 维数和它们的基。 解：因为 V1+V2= Span1, 2+Span1,2 =Span1, 2 ,1,2 向量组1, 2 ,1,2的秩为3，且1, 2 ,1是一 个极大线性无关组，所以 dim(V1+V2)=3, 1, 2 ,1是V1+V2的一组基。,56,下面求V1V2的基。设V1V2，则有

26、k1,k2,l1,l2R,使 =k11+k22=l11+l22 即 k11+k22-l11-l22 =,其基础解系是(1,-4,3,-1)T,即 k1=1,k2=-4,l1=3,l2=-1, =1-42=31-2=(5,-2,-3,-4)T,57,故 dim(V1V2)=1, 而 =(5,-2,-3,-4)T 是V1V2的一个基。,定理2.3 向量空间V中两个向量组 1,2,s和1,2, ,t 张成相同子空间的充分必要条件是这两个向量 组和等价，即这两个向量组可相互线性表示。 证明：）设 Span1,2,s=Span1,2, ,t,58,则每一个i(i=1,2, ,s)作为Span1,2, ,

27、t 中向量，都可由1,2, ,t线性表示； 同样，每一个j(j=1,2, ,t)作为 Span1,2,s中向量,都可由1,2,s线性 表示；所以，这两个向量组等价。 ）设这两个向量组等价。 Span1,2,s中 每个向量都是1,2,s的线性组合，从而都可 由1,2, ,t线性表示；即 Span1,2,sSpan1,2, ,t 同理 Span1,2, ,t Span1,2,s 所以， Span1,2,s=Span1,2, ,t,59,定理2.4 线性空间V中向量组1,2,s张成的 子空间Span1,2,s的维数等于向量组 1,2,s的秩. 证明:设1,2,s的秩为r,并设,为它的一个极大线性无关

28、组，则1,2,s与,等价，因此Span1,2,s中每个向,量都可由,线性表示，即,Span1,2,s的维数为r。,60,四、维数定理,维数定理,61,四、维数定理 定理2.5 设S1和S2是线性空间Vn（F）的两个子 空间，则有 dim(S1+S2)=dimS1+dimS2-dim(S1S2) 证明：设dim S1=n1,dim S2=n2,dim(S1S2)=m, 要证： dim(S1+S2)=n1+n2-m. 取S1S2的一组基x1,x2, ,xm,并分别扩充为S1 和S2的基：,可以证明,62,现在证明：,线性无关，从而证明了本定理。 设有数,令,于是，xS1且xS2,从而xS1S2,于

29、是可令,63,所以，,由于,是基，得到,而且，x=,于是,由于,是基，得到,于是,线性无关。,64,五、子空间的直和,子空间的和空间与直和的定义 两个子空间的直和的等价条件,65,五、子空间的直和 定义2.9 设S1和S2是线性空间V（F）的两个子 空间，若和空间S1 +S2中每一个向量x的分解式 x=x1+x2(x1S1,x2S2)唯一，则称S1+S2为S1与S2 的直和，记作S1S2。 例2.22 设R4中的三个子空间 V1=(a,b,0,0)T|a,bR V2=(0,0,c,0)T|cR V3=(0,d,e,0)T|d,eR 则T=V1+V3不是直和，因为,66,(1,1,1,0)T=(1,2,0,0)T+(0,-1,1,0)T =(1,0,0,0)T