数学建模.零件

1、零件参数设计的数学模型,武英涛 刘韶凤 廖磊,摘要:,本模型的建立是利用概率的理论，假设个零件的参数服从正态分布，推出粒子分离器某参数偏差的分布函数，进而得一批产品总费用的目标函数，最后运用网格搜索法求出目标函数的全局最优解。,问题重述,一件产品由若干零件组装成，产品性能取决于零件的参数。零件参数包括标定值和容差。标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。 将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望 值，容差常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值(xi)和容差(G)。这时应考虑当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成

2、质量损失，偏离越大，损失越大；零件容差 的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。这次建模的目标为设计离子分离器零件参数（记作y），y由7个零件参数确定（xi(I=1,2.7),经验公式为： y=174.42*(x1/x5)*(x3/(x2-x1)0.858*sqrt(1-2.628(1-0.36*(x4/x2)-0.56)3/2*(x4/x2)1.16/(x6*x7) 产品的信息为： 1.2 1.8 or y1.2: 产品为废品：损失9000元。 参数的标定植由容差决定：容差分为3个等级(G/xi)：A:%1,B:%5,C:%10,标定植变化范围及各容差对应的成本如下表：,现进行成批

3、生产，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。 要解决的问题是，设计零件参数（包括标定值和容差），使总费用最少。,问题分析,要求的问题是使总费用最低，而总费用包括各零件成本及次，废品损失费,综合考虑两种问题可归纳为总费用的非线形优化问题。 由于待优化的目标函数复杂,无法利用其解析性求最优解,故可考虑用直接全局搜索法或随机试验点法. 从生产实际考虑,本问题对解的精确度要求很高,但是对求解的实时性无明确要求,我们认为,只要求解时间不是太长,都是可以接受的.,模型的

4、假设及说明,假设各零件参数服从 ， 为的正态分布，且不同零件的参数相互独立。 假设各零件容差的等级与其标定值，分别为：A级 1% ，B级 5% ，C级 10% 。 由于批量生产数目N较大（实例中N=1000），造成一批产品质量的损失，则质量损失可近似看成为一连续的函数。,符号说明,y : 产品某参数 xi: 各零件参数 y0: y 的目标值（y0=1.5） : 各零件参数的标定值 : 各零件标定值确定 y: 产品的参数的偏差 的零件参数 : 各零件成本 yi: 各零件容量等级比 xi: 各零件参数的偏差 : xi表定值向量(I=1,27) pi: 各零件参数的均方差 : 的取值空间 p1: 次

5、品概率 : 等级取值向量 p2: 废品概率 : 产品参数的均方差,模型的建立,本模型的建立基于概率论与误差的有关理论。 各零件的偏差 xi相对于其标定植较小，根据题目给定的经验公司可得，y在 附近可以表示为： y + 由于 xi 较小，所以dxi xi 又由于 y=y- 所以 y=,引理一：xi服从参数为 ， 的正态分布，而且彼此相互独立，ai 为不全为零的常数，若x= ，则 x ( , ) 根据公式（3） 对应一组 xi为一定值，与 xi无关，则有引理一知道 yN(0, ) ( = * ) 有概率论知识可得到,由以上可知y由Xi的标定值和容差两方面决定，在此我们可估计yN( , ),为更确认

6、一些我们选取1000多个随机点来作出y的直方图，来观察y的分布：,产品总费用=零件总成本+次品损失费+ 废品损失费 即 min 即：W= + + + S.t,结合题意我们建立目标函数：,模型的 求解,（一）对原来设计数据的求解 我们用matlab和maple软件下，代入数据 =0.1，0.3，0.1，0.1，1.5，16，0.75,G=B,C,C,C,C,C,B，可以得到结果 （见程序1）. p1+p2=0.8745,表示大部分都是次废品，这是 偏离y0过大的结果。 由此可知：应该尽量先使 靠近y0,同时降低均方差。这也是本模型 降低算法复杂度的一个方向。 （二）对目标函数min W的求解以及

7、参数的重新设计,目标函数是一想当复杂的问题，y和 都是带有7个变量的函数，直接编程，难度较大；为此我们使用数学软件来求值和积分，可节省不少时间（这里我们用到了Matlab，Maple). 在数学软件的基础上，我们采用分布直接搜索法，由于容差等级只有12*22*33=108种，相对零件参数的标定值的数量较少， 可先固定一组容差，搜索使目标函数W最小的一组xi,再在此基础上 变换容差，经过比较得出最优值。 具体计算程序的流程图如下： 1：固定一组容差（Yi)等级，用7个for循环列出可行域内的xi; 2: 利用软件现成求导函数，求出y在这一组xi下，对xi求偏导的值g(xi)。,3： 偏导f(xi

8、)与三分之一容差1/3*Yi对应相乘，再求和，得到 4： 带入目标函数，求出W. 5: 重复循环，不断比较W,待循环完，得出一优W和xi; 6: 在较优xi基础上，改变Yi,经过循环迭代得出最优值。 当然，这样仍较复杂，我们可队程序作部分优化，如必要的判断语句提早提前，以减少循环次数和计算量。 经过计算得出下列一组最优值： p1=16.52%,p2=0.01% =(0.075,0,375,0.125,0.113,1.1716,20,0.5725) =B,B,B,C,C,B,B W=42.12万元,模型的检验以及误差的分析,（一）模型的检验 由于我们没有一个确定的标准进行对本模型进行检验，只能采取不同的方法，我们采用了最小二乘模拟法，直接搜索法，然后对结果进行比较。 在检验过程中，我们用随机取点法，得