概率第七章第七章习题课

1、数理统计概率统计习题课七数理统计一填空题：1）设总体XB(n, p),0 p 1, X, X, , X为12n其子样，n 及p 的矩估计分别是 解： 由m= E( X ) = np,1m= E( X 2 ) = D( X ) + E 2 ( X ) = np(1 - p) + (np)2 ,2m 2mn = mp = 1 + m-,1 2 ,得+ m- mm211121数理统计1nn X22Xin =故 p = 1 + X -,i=1, 1nnX2X + X-X2ii=1n - 1 S 2p = 1 - n ,2Xn = ,于是n - 1nXX -S 2数理统计一填空题：U 0,q ,( X1

2、 , X 2 , , Xn ) 是来自X 的样2）设总体Xmaxxi 本，则q 的极大似然估计量是1in 10 x q其它解： 由 f ( x) = q0 1 q , i = 1, 2,0 xnq ) =q似然函数 L(in0其它数理统计 10 minx maxx q ,L(q ) = q0即iin1in1in其它q = maxxi 1in数理统计一填空题：N (m ,0.92 ) 容量为93）设总体 X的简单随即变量，均值x = 5 ，则未知参数m 置信区间是( 4.412,5.588)的置信度为0.95 的sX 解：s= 0.92 已知z2置信区间a2n= z0.025= 1.96而x =

3、 5, n = 9,s = 0.9,a = 0.05za2故 sn置信区间为 (4.412,5.588)= 0.588za2数理统计二、选择题：1)设 X1 , X 2 , , Xn 是取自总体X 的一个简单样本，则E( X 2 )的矩估计是D11nn n ( X( XS=- X )S=- X )2222AB（）（）n - 11i2ii=1i =122S+ XS+ X22CD（）（）121nn解：由m故E( X 2 ) = A= E( X 2 )X2i22i =11nn2而 S 2 + X=X2i2i =1数理统计二、选择题：N (m ,s 2 )，s 2 已知，n B时，2）总体X才能使总体

4、均值m 于L的置信度为0.95 的置信区间长不大（A）15s（C）16s（B）15.3664s 2 /L2 ;（D）162 /L2 ;2 /L2 ;置信区间为 X s解z依题意，区间长度a2n2sn而由a = 0.05, z L= 1.96zaa22)2(za所以n 4s= 15.3664 s22L2L22数理统计二、选择题：3 ）设 X, X, , X为总体 X的一个随机样本，12nn-1= C ( X2E( X ) = m , D( X ) = s2 ，qs- X)22为的i+1ii=1 C无偏估计，则C（A） 1111（B）（C）（D）2(n - 1)n - 1n - 2n()n-1(

5、X)2解Eq2= EC- Xi +1ii =1n-1()= C- 2 XX+ XEX2i +12ii +1i= C (2(sni =-1+ m 2 ) - 2m 2 )2i =1= 2(n - 1)Cs1= s C =222(n - 1)数理统计三、解答题1）设X, X, , X为总体X的一个样本,X 的密度函12 b xb -1 ,n0 x 0 求参数,的矩估计0 ,其他量和极大似然估计量。b b= 1E ( X ) =1= mxb=b -1解10xdxb + 111 - m011矩估量b =1 - X数理统计三、解答题1）设X, X, , X为总体X的一个样本,X 的密度函12 b xb

6、-1 ,n0 x 0 求参数,的矩估计0 ,其他量和极大似然估计量。解20似然函数为nb -1b xi0 ,时0 x 1, i = 1, 2,i其他,n= nL(b ) =f ( x )i =1ii =10 x 1, i = 1, 2,in当数理统计nln( L(b ) = nln b + ( b - 1)ln xii =1求导数得 n + nln x= 0bii =1-nb =最大似然估计值为nln xii =1-nb =最大似然估计量为nln Xii =1数理统计三、解答题2）设X 服从参数为l 计与极大自然估计。的泊松分布，试求参数l的矩估E ( X ) = l = m110解 l =

7、X矩估计量为数理统计l xP X = x =X分布律为20x = 0,1, 2,- lex!nL(l ) = P X = xi 似然函数为ni =1 1 xi ! i =1xn i l=- nlex= 0,1, 2,ii =1ni =1ni =1dL(l )dlxi -11xinn x = -ne l l+ e- nl- nl = 0ix !i =1i =1il = xl = X最大似然估计值为最大似然估计量为数理统计三、解答题3）随机地从一批零件中抽取 16个，测得长度(cm)为 ：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10 2.15，2.12，2.14，

8、2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设零件长度分布为正态分布，试求总体m的 90的置信区间：（1）若s= 0.01(cm)，（2）若s 未知。置信区间为 X so= 0.01已知解(1)za2za2n而x = 2.125, n = 16,s= 0.01,a = 0.10= z0.05= 1.645故 sn置信区间为 (2.121, 2.129)= 0.004za2数理统计 X t(n - 1) Ss 未知解(2)置信区间为a2n而x = 2.125, n = 16, S 2 = 0.0044 ,a = 0.1015ta(n - 1) = t0.05 (15) = 1.75312S

9、t(n - 1) = 0.0075故an2(2.1175,2.1325)置信区间为数理统计三、解答题4）某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两, X, , X及Y ,Y , ,Y条流水线上抽取样本：X12121217算出X = 10.6( g),Y= 9.5( g), S 2= 2.4, S 2= 4.7 ，假设这12两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立， 其均值分别为m , m, （ 1 ）设两总体方差12o= s 2 ，求m- m2置信度为95 的置信区间；（2）求1212o 2 /s 2 的置信度为95 的置信区间。1解2置信区间为(1)X - Y S(n+ n

10、- 2) 1+ 1 twa12n1n22数理统计(n- 1)S 2 + (n- 1)S 2其中S= 1122 w(n+ n- 2)12X = 10.6( g),Y = 9.5( g), S 2 = 2.4, S 2= 4.7a = 0.0512n= 12, n= 17,n+ n- 2 = 27,1212ta(n1 + n2 - 2) = t0.025 (27) = 2.0518,211X - Y = 1.1,S+ t+ n- 2) = 1.501(nwa12n1n22(-0.401,2.601)置信区间为数理统计置信区间为解(1) S 21S 21 1 , 1 (n- 1, n- 1)(n-

11、1, n- 1)S2FS 2Fa21-a 2212212= 2.4, S 2 = 4.7a = 0.05S 212n= 12, n= 17,n- 1 = 11, n- 1 = 16,1212Fa(n1 - 1, n2 - 1) = F0.025 (11,16) = 2.942111(n- 1, n- 1) =F1-a 2(n- 1, n- 1)12FF(16,11)3.33a210.0252(0.1737,1.7004)置信区间为数理统计三、解答题N (m ,s5 ） 设S 2X2 )是 来 自的 随 机 样 本( X, X, , X) 的方差，m ,s是未知参数， 试问212na,b(0 a

12、 b)满足什么条件才能使s2 的95的置信(n - 1)S 2(n - 1)S 2,区间的长度最短？ba(n - 1)S 2解 c(n - 1),f ( x)2概率密度是s2(n - 1)S 2(n - 1)S 2(n - 1)S 2 =P a b s由P 2s2ba=bf(x)dx = 0.95a数理统计置信区间长度为b - a(n - 1 )S 2(n - 1 )S 2= (n - 1 )S 2L(a,b) =- ababbf(x)dx = 0.95只需求在条件下的最小值L(a,b)af(x)dx - 0.95)(- b ab+ lF = (n- 1)S 2设abaFa= 0f(a) = b2 f(b)a2由得F= 00数