解三角形经典例题与解答

1、 正弦、余弦定理知识回顾：1、直角三角形中，角与边的等式关系：在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又，从而在直角三角形ABC中，2、当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则，同理可得， 从而3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即4、理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；（2）等价于 ，（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的

2、正弦值，如； （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形5、知识拓展，其中为外接圆直径.6、勾股定理： 7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即 ； ； 。8、余弦定理的推论： ； ； 。9、在典型例题：例1、在中，已知，cm，解三角形例2、（1）在ABC中，已知a=2, b=, c= 求cosB.（2）在ABC中，已知a=, c=2 、B=1500求b.（3）在ABC中，已知a=8, b=、B=300求c.例3、在解：例4、解：，例5、 在ABC中，求证：证明：将，代入右边 得右边左边， 例6、 在锐角ABC中，求证：证明：ABC是锐角三角形，即 ，即；

3、同理；例7、 在ABC中，求证：。证明： 例8、 在ABC中，若，则求证：。证明：要证，只要证，即 而原式成立。例9、在ABC中，若，则求证：证明： 即 即，例10、在ABC中，若，请判断三角形的形状。解： 等腰或直角三角形 例11、中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。例12、 在ABC内接于半径为的圆，且求ABC的面积的最大值。解： 例13、 ABC的三边且，求解：例14、C中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数

4、（2）AB的长度 （3）ABC的面积解：（1）cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120（2）由题设： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=（3）SABC=课后小结：1. 正弦定理：2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有 等积法，外接圆法，向量法.3应用正弦定理解三角形： 已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角课后练习：一、选择题1在ABC中，若，则等于（ ）A B C D2若为ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A B C D3在ABC中，角均为锐角，且则ABC的形状是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 4等

5、腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ）A B C D5在中，若，则等于（ ）A B C D 6边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A B C D 二、填空题1在ABC中，则的最大值是_。2在ABC中，若_。3在ABC中，若_。4在ABC中，若，则_。5在ABC中，则的最大值是_。三、解答题15在ABC中，已知，c=1，求a，A，C16在ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b17.在ABC中，求b.60021DCBA18.如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB，ABC=600，AC=7，AD=6， SADC=，求AB的长.19、BC中，AB5，AC

6、3，D为BC中点，且AD4，求BC边长解：设BC边为，则由D为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC解得，2, 所以，BC边长为2一、选择题 1.C 2.A 3.C 都是锐角，则4.D 作出图形5.D 或 6.B 设中间角为，则为所求二、填空题 1. 2. 3. 4. ，令 5. 第二讲 正弦、余弦定理的应用例1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定

7、理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4，= 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m ,

8、AD = CD =10m在RtACE中，sin2= 在RtADE中，sin4=, 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化简得32x-30x-27

9、=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为sinBAC =BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.例3、（07宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高解：在中，由正弦定理得所以 在 中例4、（08湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经

10、过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E

11、（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理得，=.从而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.课后练习：1、（07山东）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,

12、问乙船每小时航行多少海里?解：如图，连结，是等边三角形，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.2、某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A的俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 解： 3、人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到）（如图4）图4参考数据：分析：（1）由图可知是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函数的概念即求。解：设需要t小时才能追上。则（1）在中，则（负值舍去）故需要1小时才能追上。（2）在中 即巡逻艇沿北偏东方向追赶。 欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的