高等数学教学课件02极限

1、,高等数学,精,金,财,第二讲 极限,数列的极限,函数极限,极限的性质,函数极限的存在性,四则运算定理,复合函数的极限定理,极限举例,无穷小量与无穷大量,示例,极限存在准则,引例,人口问题.,人口是一项重要经济指标人口决定着劳动力，加速资源消耗，增加消费促进生产,如果人口以固定增长率 k 增长，人口会如何？,k每单位人口在单位时间内可以增长的人数.,银行连续复利计算问题.,问 题,企业计算资产增值都要考虑与银行利率相比较. 连续复利计算就是任何时刻都以同样的利率 r 计算下一时刻的资产总值Y(t).,r一元钱每单位时间产生利息额；设 r 以年为时间单位(注意：并非一年后利息为 r).,要连续计

2、算复利，就要m不断增大.,高等数学研究函数的一个重要情形，就是要考察函数在自变量一个无限变化过程下的结果.,函数在自变量一个无限变化过程中，,什么叫无限趋向一个常数,如果函数值可以无限地趋向一个常数，就叫作函数在这个过程中有极限；,如果不能趋向一个常数，就叫作在这个过程中无极限(或极限不存在).,首先,与常数a越来越近,不是无限趋近a.,其次,与常数a一会近，一会远仍可无限趋向a.,无限(趋向)只能用有限来说明.,1数列的极限,(一) 数列,1. 数列就是整标函数（定义域为自然数集）,2. 子数列,例如,数列极限的概念,或,1. 定义：,注意1,注意2,注意3 数列极限定义是描述性的定义. 只

3、能用于验证某数是不是其极限,不能用于求极限.,注意4,极限是一个数,极限是什麽？,注意5 数列极限的几何意义,或,例1,（2）用定义证明,（1）猜加试算,（3）关键在解不等式,证毕,怎样克服这个困难？,技巧就在是不是要真的解这个不等式呢？,适当放大,更严格地说,例2,（2）用定义证明,（1）算算看,适当放大,证毕,例3 设,是给定的实数, 用定义证明,证明,证毕,例4 用定义证明,证明,注意到,故取,证毕,注意,函数的极限,自变量实数，无限变化方式复杂：,实数变量除趋向无穷大无限变化外,还可以趋向有限数x0 无限变化(这是因为稠密).称趋向x0 .,函数在无穷远的极限,定义1:,定义2,定义3

4、,定义1：,函数在一点的极限,注意,为什麽要考虑空心邻域？,考虑空心邻域，是什麽意思？,考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。,例,定义2：,（右极限）,怎样定义单侧极限？,定义3：,（左极限）,观察图形,因为,所以,定理,函数极限几何意义,( ),( ),按极限定义，要说明数A是函数某个过程的极限，就必须说明对任意给定的正数，存在变化过程中的一个“时刻” (通常与有关)，在此时刻后，有任意自变量对应的函数值与常数A的距离都小于正数.,例,观察知,证,证毕,例 用定义证明,证明,不妨设,证毕,例 用定义证明,证:,极限的性质,性质1

5、:（唯一性）,函数极限如果存在，则一定是唯一的.,性质2:（有界性）,函数极限如果存在，则函数一定有界 (局部).,性质3:（保号性）,注意:f(x)0推不出极限A0.,性质4: （函数极限与数列极限的关系）,证明 必要性,根据假设,证毕,观察图形,显然,从而,证明,证毕,性质5,无穷小的性质,性质1,性质2,四则运算定理,证:,复合函数的极限定理,要证什麽？,注,看证明，从理论上，非此不行！,看例子：,例,极限计算,解,例,解,解,例,(2) 遇到开方可以有理化分离趋向0因子.,解,例,解,例,解,例,两个极限的存在定理(准则),1.夹逼定理:,证：应用极限定义.,第一个重要极限,考虑能否找

6、到一个不等式？,即,由（1）式知,将（1）式与（2）式结合起来，得到,亦即,所以,2.单调有界定理:,证,只证在(a , x0上单调增加有上界情形.,证毕,证法2,证法1,证法3,猜想：an单调增加,再证有上界.,e 这个数是定义出来！,当n=100000时，由an计算 e 的近似值为：,2.718268237,e=2.70,综上所述，我们得到,例：银行连续复利计算问题.,企业计算资产增值都要考虑与银行利率相比较. 连续复利计算就是任何时刻都以同样的利率 r 计算下一时刻的资产总值Y(t).,r一元钱每单位时间产生利息额；设 r 以年为时间单位(注意：并非一年后利息为 r).,定义1：在某个变化过程中,极限为零的 变量,称之为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）。,无穷小量、无穷大量及其“阶”,（一）定义,例如：,注： 无穷小量是极限 为零的变量！ 即，绝对值无限变小 的变量。,无穷小量不是 绝对值很小的数！,定义2：在某个变化过程中,绝对值无限变 大的变量,称之为在此变化过程中 的无穷大量（无穷大）,记为。,例,无穷小与无穷大的关系,定理,无穷小量的比较(无穷小量的阶),定义：,等价无穷小量的性质,性质1：,性质2：,等价代换,几个常用的等价无穷小