第二章 平面力系的平衡计算

1、第二章平面力系的平衡计算目录3力的平移性和滑移性的区别和应用2力矩和力偶矩的学习和训练1力投影的学习和训练平面力系的平衡计算1力投影的学习和训练力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23【知识要点学习】1.平面力的分解与投影力F沿x轴、y轴分解得两个分力Fx与 Fy ；反之，两个互相垂直的分力Fx与Fy可合成为合力F。分力是矢量，有大小有方向。力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23力F从两端点A和B分别向x轴作垂线，线段ab为力F在x轴上的投

2、影，用Fx表示；从力两端点A和B分别向y轴作垂线，线段cd称为力F在y轴上的投影，用Fy表示。力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23力在轴上的投影是代数量，有大小有正负，正负号规定如下：若ab（或cd） 与x轴（或y轴）的正向相同时，则投影Fx（或Fy）取正号，反之取负号。力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23若已知力F 与x轴的夹角为（ 取锐角），则力的投影计算：Fx= F cosaFy= F sina力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23已知力F 的两个投影Fx 和Fy，

3、则其大小F 及其与x 轴所夹的锐角 分别为 ：F 2+ F 2F =xyFya = tan-1Fx力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23【能力训练示范平面力投影分析计算示例】例1-1求图1-6中所示的各力在坐标轴上的投影。已知各力的大小为：F1= 300 N ，F2 =650 N，F3= 200 N ，F4=350 N ，F5=400 N，各力的方向及各力与坐标轴的夹角如图所示。力投影的学习和计算1力矩和力偶矩的学习和训练力的平移性和滑移性的区别和应用23平面力系的平衡计算2力矩和力偶矩的学习和训练力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用

4、力投影的学习和计算13【知识要点学习】1.对点力矩的实例和概念平面力对点力矩和空间力对点力矩，简称平面力矩和空间力矩。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力F 可通过扳手使螺母产生绕O点转动的效果，其转动效果取决于力F 的大小和力臂d 的长短，力F 越大，力臂d 越长，力矩m 就越大，所以力F 和力臂d 的乘积Fd称为力对O点的之矩，简称为对点力矩或力矩：mO(F) = Fd 力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力矩常用单位为牛顿米（Nm）、牛顿毫米（Nmm）或千牛米（kNm）。当力的作用线通过矩心O 时，力臂

5、d 为零，所以力矩为零。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13点O 称为力矩中心或简称矩心，矩心O 到力F 作用线的垂直距离d 称为力臂。平面力矩是代数量：逆时针转向取正号，顺时针转向取负号。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算132.平面力矩的分析计算力矩的计算是第二项基本技能，下面两种方法务求熟练掌握。（1）直接臂明显或容易计算的，可按定义式mO(F) = Fd ( 1-6 )直接进行计算。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的

6、区别和应用力投影的学习和计算13（2）分解法：将力F正交分解为两个互相垂直的分力F1 和F2，然后分别求F1 和F2 的力矩，最后再代数和，即：mO(F) = mO(F1) +mO(F2)合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和，称为合力矩定理。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13【能力训练示范平面力矩分析计算示例】例2.1电线杆OA的上端A有两根钢丝绳，其拉力分别为F1 = 120 N，F2= 100N，如图1-12所示。分别计算两拉力F1、F2对电线杆下端O 的力矩。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算1

7、3力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13解：解法一：直接法分别计算两拉力的力臂L1、L2（力线到电线杆下端O的垂直距离）：L1 = AOSin30 = 80.5 = 4 m ；L2 = AOSin= 80.6 = 4.8 m 。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13再分别计算两拉力F1 和F2 对O点的力矩：mO(F1) = F1L1= 1204 = 480 N m ；mO(F2) = -= -= -F2L21004.8 480 N m 力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13

8、解法二：分解法分别将两拉力F1 和F2 正交分解得两分力Fx、Fy，分别计算两分力Fx 、Fy对O点的力矩，之后再代数和：mO(F1) = mO(F1x) + mO(F1y) = F1Sin308 + 0 = 1200.58 = 480 N m ；力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13mO(F2) = mO (F2x ) + mO (F2y)= -F2Sin8 + 0 = -1000.68 = -480 N m 。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算133.力偶的实例和概念常可见到一些刚体受到大小相等，方向相反，作用

9、线平行而不重合的两个力的作用。如，汽车司机用双手转动方向盘， 工人用双手转动丝锥攻丝，人们用两个手指转动水龙头、转动螺口瓶盖、转动机械式钟表的旋钮等等。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13这样一对反向平行力不满足二力平衡条件，因而不能平衡，它能使刚体转动而不能使刚体移动。把等值、反向、不共线的两力称为力偶，记为（F ，F ）。力偶中两力线之间的垂直距离d 称为力偶臂，两力所在平面称为力偶作用面。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力F

10、的数值越大，或力偶臂d 的数值越大，力偶使刚体转动的效应就越强；反之就越弱。用乘积Fd度量力偶对刚体的转动效应，称为力偶矩，并用m表示m（F ，F）= m = Fd 通常规定：逆时针转向取正号，顺时针转向取负号。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算134.力偶的性质（1）力偶无合力力偶中的两力等值、反向、不共线，所以不能合成为一个力，即力偶无合力（并非合力为零）。它对刚体没有移动效应只有转动效应，成为最简非平衡力系。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的

11、学习和计算13对于刚体而言：力的三要素是力的大小、力的方向、力的作用线，可简述为：力值、力向、力线；力偶的三要素是力偶矩大小，力偶转向，力偶作用面，可简述为：偶值、偶向、偶面。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13（2）力偶中的两个力，对力偶作用面上任一点的力矩之代数和恒等于力偶矩。力偶矩的大小和转向与矩心位置无关；但力矩与矩心位置有关。这是力偶矩与力矩的一个重要区别。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13很多情况下无需单独关注两力的大小及力偶臂的长短，故力偶常简记为下图中所示的形式。mmmm力矩和力偶矩的学习和训

12、练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13（3）力偶可移转，即力偶可在其作用面上任意移动和转动，对刚体的作用效应不变。这表明力偶与它在作用面上位置无关。（4）力偶可改装，即保持力偶矩的大小及转向不变，可同时改变两力的大小及力偶臂的长短，对刚体的作用效应不变。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13如下图所示：力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13（5）在同一刚体上，力偶可平行移动，对刚体的作用效应不变。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力矩和力偶矩的学习和训练

13、2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算135.平面力偶系的合成与平衡作用在同一平面上的若干力偶组成平面力偶系，可以直接相加减，平面力偶系合成后的结果称为合力偶M：M= m1 + m2 + m3 +L+ mn= m力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13若合力偶矩为零，即：m = 0 ，则表明各力偶的转动效应互相抵销，刚体处于转动平衡状态（静止不动或匀速转动）。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13平面力偶系平衡的必要和充分条件是力偶系中各力偶矩的代数和为零，即：m = 0 上式称之为平面力偶系的平衡方程。

14、力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13【能力训练示范平面力偶系合成与平衡计算示例】例2.2 现用多轴钻床在工件上同时钻3个孔，所需要的切削力偶矩分别是： M1 = M2 = 25 Nm，M3 = 60 Nm。求该工件上受到的总切削力偶矩M。固定工件的两个螺栓A、B的间距l=200mm，求两个螺栓的受力。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13解：作用在工件上的3个切削力偶组成平面力偶系，可得总切削力偶矩：M = M1+ M2+ M3 =（25）2 60 = 110 Nm M为负号，所以合力偶矩为顺时针转向。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和滑移性的区别和应用力投影的学习和计算13由于两个螺栓与工件之间为光滑接触，所以两个螺栓对工件的作用力FA、FB分别垂直于接触面，且等值反向组成一个约束力偶，并与3个切削力偶组成一个平衡的平面力偶系。力矩和力偶矩的学习和训练2力的平移性和