第8讲 矩形单元和6节点三角形单元

1、第4章平面问题高精度单元4.24.36节点三角形单元简介4.1提高有限元求解精度的途径矩形单元单元位移模式单元应力、应变单元刚度矩阵矩形单元讨论单元简介面积坐标单元位移模式简单三角形单元缺点提高有限元求解精度的途径高精度单元的原理第四章 平面问题高精度单元4.1提高有限元求解精度的途径一、简单三角形单元的缺点三节点三角形单元精度低，收敛慢，在单元内不能反映应力应变的变化。这是因为该单元只有3个节点，单元自由度少，单元位移模式只能是线性函数，描述单元内位移变化的能力差。二、提高有限元求解精度的途径第一个途径是对某一种特定类型的单元采用网格加密，依靠单元的收敛性提高求解精度；第二个途径是对一定的单

2、元网格和单元尺寸，采用高精度单元以提高求解精度。第四章 平面问题高精度单元4.1提高有限元求解精度的途径三、建立高精度单元的原理和途径原理：提高单元位移模式多项式的阶次，从而增强单元拟合局部区域位移、应力变化的能力。途径：主要是增加单元的节点数。对平面问题，先考虑采用4节点矩形单元和6节点三角形单元。第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元一、矩形单元及其位移模式矩形单元边长分别为2a、2b。取4个顶点为节点。不失一般性地假设矩形的2个对称轴分别为x，y轴。每节点2个位移分量，因此单元共8个自由度。单元节点编号为 k，l，m，n单元节点位移列阵为：d e = uTvuvuvuvkkllmmnn

3、第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元单元内位移多项式设4项，为双线性多项式：u = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy v = a5 + a6 x + a7 y + a8 xy通过节点坐标和节点位移代入，把广义坐标（多项式系数）a1代换为节点位移分量后得到插值形式的位移函数： a8+ Nnun = Niui+ Nnvn = Niviu = Nkuk + Nlul + Nmumv = Nkvk + Nlvl + Nmvm写成矩阵形式为：u = N d e其中 N 为形函数矩阵v第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元N = Nk0 0Nl00Nm00Nn0形函数矩阵 0NNNN

4、n klm各形函数为：N= 1 (1- x )(1- y )k4abN= 1 (1+ x )(1- y )l4abN= 1 (1+ x )(1+ y )m4abN= 1 (1- x )(1+ y )n4ab显然，上述形函数满足形函数性质。第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元由于边界平行于坐标轴，矩形单元位移模式沿单元边界（x，y方向）都是线性变化，沿其他方向则按2次函数变化。称为“双线性”位 移函数。由于单元位移在单元边界上线性变化，而单元之间的公共边界上有2个公共节点，所以单元边界间的位移是连续的，单元满足协调 性条件。和简单三角形单元一样，矩形单元位移模式中包含了完全一次多项式，所以满

5、足完备性条件。因此矩形单元的收敛性得到保证。第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元二、单元应变和应力 单元位移模式代入平面问题几何方程： 0 x e xe= e = 0N d e = Bd ey yg xyyx 形函数矩阵经过微分算子矩阵作用后得到38应变矩阵：- b + yb - y0- a - xb + y0a + x- b - y0a - x0- a + x- b + y0- a - x b - y0a + x b + y0a - x1B=04ab - a + x- b - y第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元由平面问题物理方程（应力应变关系）得到：s = DBd e = S d

6、 e对于矩形单元，其单元上应力、应变不再是常数，而是一定程度上呈线性变化，即：x方向正应变、正应力随y坐标线性变化；y 方向正应变和正应力随x坐标线性变化。因此，在一定条件下，精度会高一阶。- (b - y)- m(b - y)- m(a - x)- (a - x)(b - y)m(b - y)- m(a + x)- (a + x)(b + y)m(b + y)m(a + x)(a + x)- (b + y)- m(b + y)m(a - x)(a - x)ES=4ab(1- m2 ) 1- m1- m1- m1- m1- m1- m1- m1- m-(b + y)(a - x)-(b - y

7、)-(a + x)(b - y)(a + x)(b + y)(a - x)-22222222第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元三、矩形单元刚度矩阵矩形单元刚度矩阵导出的原理和方法同简单三角形单元。计算式如下：TB k eDab=B hdxdy-a-b可以通过积分计算出精确的刚度矩阵元素，见P51。第四章 平面问题高精度单元4.2矩形单元四、矩形单元讨论1.4节点矩形单元采用了双线性位移模式，应力分量沿特定坐标方向线性变化，因而精度比3节点三角形单元高。（优点）2.由于位移模式在单元边界上线性变化，并且根据单元公共边界上两个共同节点位移插值得到，单元的协调性得到满足，同时也满 足完备性，因

8、此单元是收敛的。单元几何上受限制，要求两对边平行于坐标轴，因而不能模拟复 杂几何边界，单元网格疏密不能过渡，这是矩形单元的固有缺点。 矩形单元可以与3节点三角形单元结合使用。3.4.如果突破几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元，便可成为实用的单元。第四章 平面问题高精度单元4.36节点三角形单元简介一、单元概述三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元位移模式 多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图示6节点三角形单元，单元每边中点设一个节点，则单元有12个自由度，因此位移模式恰好取完 全二次多项式：u = b1 + b2 x + b3 y + b4 xy + b5x+ by

9、226v = b7 + b8x + b9 y + b10xy + b11x2+ b12 y26节点三角形单元第四章 平面问题高精度单元4.36节点三角形单元简介显然单元满足完备性要求。由于该位移模式决定了单元边界上位移呈二次抛物线分布，相邻单元公共边界上有三个公共节点，正好能够保证相邻单元在边界上位移的连续性，因而是协调元，单元满足收敛条件。该单元应变、应力随坐标完全呈线性变化，属于高精度单元。进行广义坐标代换后位移模式仍可写成标准形式：u = Niuii=1v = Nivii=166但是，采取如前面3节点单元建立形函数的办法过于复杂，下面介绍用三角形单元的面积坐标描述单元位移模式和形函数的方

10、法。第四章 平面问题高精度单元4.36节点三角形单元简介二、面积坐标下6节点三角形单元分析面积坐标的定义如图所示。三角形单元中任意一点的位置用三个参数来表示，称为面积坐标。面积坐标（Li, Lj, Lm） 定义为三个子三角形面积Ai 、Aj 、Am与三角形单元面积A的比值：三角形单元上的面积坐标AiL=iAAjA为三角形面积L=由于：A + A+ A= AjAAjijmL=mA第四章 平面问题高精度单元4.36节点三角形单元简介因此，单元内任一点的面积坐标满足关系：Li+ Lj+ Lm=1即3个面积坐标只有2个面积坐标是独立的。面积坐标与直角坐标之间有确定的变换关系，因此，对三角形单元的描述完

11、全可以用面积坐标进行。直角坐标表示面积坐标不难导出下列变换关系：1L=(a + b x + c y)（i, j, m）iiii2 A显然，面积坐标与3节点三角形单元的形函数完全相同。第四章 平面问题高精度单元4.36节点三角形单元简介 Li ai1bici L =x1abc矩阵形式：2 A jjjjL yabcm m mm面积坐标表示直角坐标不难导出下列变换关系： x = xi Li + x j Lj + xm Lm y = yi Li + y j Lj + ym Lm 11 Li11x = x L矩阵形式：xyxm ijj yL yym m ij第四章 平面问题高精度单元4.36节点三角形单元简介利用上面变换式，三角形单元上的任何多项式函数可以方便地在两种坐标之间转换。面积坐标的各种形式幂函数在三角形上的积分有很简便的计算公式。面积坐标表示的6节点三角形单元形函数根据形函数性质直接构造出用面积坐标表示的形函数如下：Ni = (2Li -1)LiN4 = 4L1L2N5 = 4L2 L3N6 = 4L3 L1（i = 1,2,3）第四章 平面问题高精度单元4.36节点三角形单