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1、最新资料推荐立体几何基础题题库(六)(有详细答案)251. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点, PD 面 AC ,PD=AD= l,设点 C 到面 PAB 的距离为d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则()( A ) ld1 d2 ( B) d1 d2 l ( C) d1 l d2( D) d2d1 ld12 ld 23 l解析:2,3 ,故 d2d1 l ,选 D。252.如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。点M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN= a (0a2). ( 1)求 MN
2、 的长;C( 2)当 a 为何值时, MN 的长最小;( 3)当 MN 长最小时, 求面 MNA与面 MNB 所成的二面角的大小。DP解析:(1)作 MP AB 交 BC 于点 P,NQ AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,依题意可得 MP NQ,且 MP=NQ ,即 MNQP 是平行四边形。 MN=PQ,M由已知, CM=BN=a,CB=AB=BE=1,BQECPa , BQaCP BQa AC BF2 , 12 12 , 即2 ,NAFBQ 2(1a2a2221MN PQ(1 CP) 22)(2 )(a2)2 (0 a2)当 a22时, MN2, 即 M , N分别移动到 AC , BF
3、 的中点时,( 2)由( 1)知 :2MN 的长最小,最小值为22(3) 取 MN 的中点 G,连接 AG、 BG, AM=AN,BM=BN, AG MN,BG MN ,AGBG64 AGB 即为二面角 的平面角。又,所以由余弦定理有( 6 )2(6 )211cos4412663arccos()344。故所求二面角。253. 如图,边长均为 a 的正方形 ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为点 N 在 BF 上,若 AM=FN ,(1) 求证 :MN/ 面 BCE ; (2) 求证 :MNAB;(3) 求 MN 的最小值 .解析: (1)如图 ,作 MG/AB交 BC 于 G, NH/A
4、B交 BE 于 H, MP/BC 交于 P, 连 PN, GH , 易证 MG/NH, 且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形以 MN/GH , 故 MN/ 面 BCE ;( 0)2 。点 M 在 AC 上,CDGMABBPA,所HNEF(2) 易证 AB面 MNP, 故 MNAB ;- 1 -最新资料推荐(3)MPN 即为面 ABCD与 ABEF所成二面角的平面角,即 MPN x ,所以: MNx 2(ax)22x( a x) cos2(1 cos )( xa) 21 (1cos )a 222,a1cos ) ax(1故当2 时,有最小值2,设 AP=x, 则 BP=a x , P=a
5、254.如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=x ,BN=y,(0x, y2). ( 1)求 MN 的长 (用 x,y 表示 ) ;( 2)求 MN 长的最小值,该最小值是否是异面直线AC , BF 之间的距离。2x解析:在面 ABCD 中作 MPAB 于 P,连 PN,则 MP面 ABEF ,所以 MPPN,PB=1-AP=2在PBN2x)2y22xy cos450C(中,由余弦定理得:PN2=21D MBx 2y2xyRt PME2,在中,PNA2 x) 21 x2FMP
6、2PN 2(1y 2xyMN=22x 2y2xy2x 1 (0 x, y2). ;x232221222( 2)MNx 2y 2xy2x1( y2)4( x3)3 ,故当 x3 , y3时, MN3有最小值3。且该最小值是异面直线AC , BF 之间的距离。255.已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,点 P 是 DD1 的中点,且截面EAC 与底面 ABCD 成 450角,AA1=2a ,AB=a ,( 1)设 Q 是 BB1 上一点,且 BQ2 a,求证: DQ面 EAC ;( 2)判断 BP 与面 EAC是否平行,并说明理由?(3)若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动,并且总
7、保持AMBP,试确定动点 M 所在的位置。解析:( 1)证:首先易证ACDQ,再证 EODQ( O 为 AC 与 BD 的交DC点)在矩形 BDD1B1 中,可证EDO 与BDQ 都是直角三角形, 由此易证ABEODQ,故 DQ面 EAC 得证;PQN( 2)若 BP 与面 EAC 平行,则可得 BP/EO ,在三角形 BPD 中, O 是 BDE- 2 -DCAOB最新资料推荐1中点,则E 也应是 PD 中点,但PD= 2112DD1=a ,而 ED=DO= 2 BD= 2a,故 E 不是 PD 中点,因此BP与面 EAC 不平行;( 3)易知, BPAC ,要使 AMBP,则 M 一定在与
8、 BP 垂直的平面上,取BB1 中点 N ,易证 BP面NAC ,故 M 应在线段NC 上。256.如图,已知平行六面体ABCDA1 B1 C1D1 的底面 ABCD 是菱形,C1CBC1CDBCD600,( 1)证明:C1C BD ;CC132 ,记面 C1 BD 为 ,面 CBD 为 ,求二面角 -BD - ( II )假定 CD=2 ,的平面角的余弦值;CD( III )当CC1的值为多少时,能使A1C平面 C1 BD?请给出证明 .解析:( I )证明:连结A1C1 、AC ,AC和 BD 交于 .,连结 C1O , 四边形 ABCD是菱形, AC BD ,BC=CD ,BCC 1DC
9、C 1 , 可证C1 BCC1DC ,C1 BC1 D ,故 C1OBD ,但 AC BD ,所以 BD面 AC1 ,从而 CC 1BD ;( II )解:由( I )知 AC BD , C1OBD ,C1OC 是二面角 BD 的平面角,在C1BC 中,BC=2 , C1C360 02 ,BCC 1, OCB=60 ,OB1 BC 1C1 O 2C1 B 2OB 213193OC ,2,44 ,故 C1O= 2 ,即 C1O=C1C ,作 C1 HOH3cosOH3C1 OC3 ;垂足为 H,点 H 是 .C 的中点,且2 ,所以C1OCD1CC1A1C平面 C1 BD( III )当时,能使
10、CD1证明一: CC1,所以 BCCDC1C ,又 BCDC1CBC1CD ,由此可得 BDC1 BC1D ,三棱锥CC1BD 是正三棱锥 .257.设 A1C与C1 O 相交于 G.,A1C1/ AC ,且A C :OC:C1 O : 如图,已知正方体ABCD1 12 1 ,所以 A1B1C1D1的棱长为 a,求异面直线A1C1 与 BD1 的距离 .- 3 -最新资料推荐解析:本题的关键是画出 A1C1 与 BD1 的公垂线, 连 B1D1 交 A1C1 于 O,在平面 BB1D1 内作 OM BD1 ,则 OM 就是 A1C1 与 BD1 的公垂线,问题得到解决 .解连 B1D1 交 A
11、1C1 于 O,作 OM BD1 于 M. A1C1 B1D1 , BB1 A1C1 , BB1 B1D1 B1.A1C1 平面 BB1D1.A1C1 OM ,又 OM BD1. OM 是异面直线 A1C1 与 BD1 的公垂线 .在直角BB1D1 中作 B1N BD1 于 N.6 BB1 B1D1 B1N BD1 ,a2 a B1N 3 a,B1N 3 a,OM16 2 B1N 6 a.6故异面直线 A1C1 与 BD1 的距离为6 a.评析:作异面直线的公垂线一般是比较困难的,只有熟练地掌握线、线垂直,线、面垂直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时,主要运用中位线
12、和面积的等量关系.258.已知: A1 、B1、C1 和 A2 、B2 、C2 分别是两条异面直线l1 和 l2 上的任意三点,M 、N 、R、T 分别是 A1A2 、B1A2 、 B1B2 、C1C2 的中点 .求证: M 、N 、 R、 T 四点共面 .证明如图,连结MN 、NR ,则 MN l1,NR l2,且 M 、 N 、R 不在同一直线上(否则,根据三线平行公理,知 l1 l2 与条件矛盾 ). MN 、NR 可确定平面 ,连结 B1C2,取其中点 S.连 RS、 ST,则 RS l2,又 RN l2, N、 R、S 三点共线 .即有 S ,又 ST l1,MN l1, MN ST
13、,又 S , ST . M 、 N、 R、 T 四点共面 . GO =2: 1又C1O是正三角形C1 BD的 BD 边上的高和中线 ,点 G是正三角形C1BD的中心 .故CG面 C1BD,即A1C面 C1BD。证明二:由( I)知, BD面 AC1 ,BDA1C ,CD1CC1BDA1 C当时,平行六面体的六个面是全等的菱形.同的证法可得 BC1A1C ,又 BDBC1 ,所以 A1C面 C1 BD 。259. 如果把两条异面直线看成“一对” ,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有 ()A.12 对B.24 对C.36 对D.48 对解析:本题以六棱锥为依托,考查异面直线的概念及
14、判断,以及空间想象能力.解法一:如图,任何两条侧棱不成异面直线,任何两条底面上的棱也不成异面直线,所以,每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱,每条侧棱,可以且只有与4 条底面上的棱组成4 对异面直线,又由共6 条侧棱,所以异面直线共6 4 24 对 .解法二:六棱锥的棱所在12 条直线中,能成异面直线对的两条直线,必定一条在底面的平面内,另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共6 条,侧棱所在直线也有6 条,各取一条配成一对,共6 6 36 对,因为,每条侧棱所在的直线,与底面内的6 条直线有公共点的都是2 条,所以,- 4 -最新资料推荐在 36 对中不成异面直线的共有6 212
15、对 .所以,六棱锥棱所在的12 条直线中, 异面直线共有36-12 24对 .260.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A. 平行B. 异面C.平行或异面D.相交或异面解析:本题考查两条直线的位置关系,异面直线的概念,以及空间想象能力.解法一:设两条异面直线分别为l1,l2,则与它们分别相交的两条直线有可能相交,如图1,也可能异面,如图 2,它们不可能平行,这是由于:假设这两条直线平行,则它们确定一个平面 ,两条平行线与两条异面直线l1 与 l2 的四个交点均在 内,则两异面直线l1 与 l2 也在 内,这是不可能的.应选 D.解法二:利用排除法,容易发现,分别和两条异面直线都
16、相交的两条直线可以是相交的位置关系,由于这点可以排除选择选 A 、 B、 C.故选 D.261. 已知两平面 , 相交于直线 a,直线 b 在 内与直线 a 相交于 A 点,直线 c 在平面 内与直线 a 平行,请用反证法论证 b,c 为异面直线 .解析:这题规定用反证法,提出与结论相反的假定后,要注意分可能的几种情况讨论.证:用反证法.假设 b,c 共面,则bc 或 b,c 相交 .(1) 若 bc, c a, ab 这与 ba A 的已知条件矛盾;(2) 若 bc P,b ,P .又 c ,P . P 而 a. P a,这样 c,a 有了公共点 P,这与 a c 的已知条件矛盾 .综上所述
17、,假设不成立,所以b、 c 为异面直线 .说明本题如不指明用反证法,也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.262.如图,在棱长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1 中,异面直线AA1 和 BD1 的中点分别是E、 F.(1) 证明 EF 是 AA1 与 BD1 的公垂线段;(2) 求异面直线 AA1 和 BD1 间的距离 .解析: (1)连接 ED1、 EB ,5则显然 ED1 EB 2 a又 F 为 BD1 之中点 . EF BD1 ;连接 FA1, FA. F 为正方体的中心, FA FA1,又 E 为 AA1 之中点, EF A1A.故 EF 为 AA1 与 BD1 的公垂线段 .(
18、2) 在 Rt EFD1 中- 5 -最新资料推荐EFED12FD125a23a22a . 4422 a故 AA1 到 BD1 间的距离是2.评析:今后学习了线面的位置关系之后,可以利用“转化”的思想求距离.263.如图所示,正三棱锥S ABC 的侧棱与底面的边长相等,如果E、 F 分别为 SC、 AB 的中点,求异面直线 EF 与 SA 所成的角 .解析:计算EF、 SA 所成的角,可把SA 平移,使其角的顶点在EF 上 .为此取 SB 之中点 G,连 GE、GF、11BE 、AE ,由三角形中位线定理:GE 2 BC ,GF 2 SA,且 GF SA,所以 GFE 就是 EF 与 SA 所
19、成13EA21AB )22(的角 .若设此正三棱锥棱长为a,那么 GF GE 2 a,EA EB2 a,EF22 a,因为EGF 为等腰直角三角形. EFG45,所以 EF 与 SA 所成的角为 45.说明 异面直线所成角的求法:利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上,通过证明所作的角就是所求的角或者补角,解三角形,可求.AMCNAQCP264.在空间四边形ABCD 中, M、 N 、P、 Q 分别是四边上的点,且满足MB NB QD PD k.(1) 求证: M 、 N、 P、 Q 共面 .(2) 当对角线AC a,BD b,且 MNPQ 是
20、正方形时,求AC 、 BD 所成的角及k 的值 (用 a,b 表示 )解析: (1)AMAQMB QD kAMkMQ BD ,且 AMMB k1MQAMkBD AB k1kMQ k1 BDCNCP又 NB PD k- 6 -最新资料推荐CNk PN BD ,且 CNNB k 1NP CNkk BD CB k 1 从而 NP k 1 BD MQ NP, MQ , NP 共面,从而 M 、 N、 P、Q 四点共面 .BM1BN1(2) MA k , NC kBMBN1BM1MA NC k , BMMA k 1 MN AC ,又 NP BD. MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角
21、. MNPQ 是正方形, MNP 90 AC 与 BD 所成的角为 90,MNBM1又 AC a, BD b, AC BA k11MN k1 a1又 MQ k 1 b,且 MQ MN ,k1ak 1 b k1 a,即 k b .说明:公理 4是证明空间两直线平行的基本出发点.265.已知:直线a 和直线 b 是异面直线,直线ca,直线 b 与 c 不相交,求证:b、 c 是异面直线 .证:因为b,c 不相交, b、 c 的位置关系有b c 或 b、 c 异面两种可能.假设 b c, c a, a b,这与已知 a,b 是异面直线矛盾 . 所以 b 与 c 不能平行,又 b、 c 不相交所以 b
22、,c 是异面直线 .266.分别和两条异面直线 AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、 BD 一定是异面直线,为什么 ?证明:假设 AC 、 BD 不异面,则它们都在某个平面 内,这时 A 、 B 、C、 D 四点都在 上,由公理1 知A 、 B、 C、 D ,这与已知 AB 与 CD 异面矛盾,所以AC 、 BD 一定是异面直线 .A1B1267.如图,ABCD A1B1C1D1是正方体, B1E1 D1F14,则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是 ()15183A. 17B. 2C. 17D.2- 7 -最新资料推荐解析:过 A 点在平面 ABB1A1 内作 AF ,使 A1F D1
23、F1,则 ADF1F 是平行四边形,FA DF1 ,再过 E1A1 B1在平面 ABB1A1 内作 E1EFA,则 BE1E 即是 BE1 与 DF1 所成的角, 由已知 BE1 DF1 4,ABCD17 A1B1C1D1 是正方体, E1E 4 A1B1 ,又 DF1 AF E1E, DF1 BE1.171 E1E 4 A1B1 ,EB 2 A1B1E1 E 2BE12BE215在BE1E 中, cos BE1E 2 E1E BE1 17 .应选 A.268.在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中, M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线AM与 CN 所成角的
24、余弦值是()31032A. 2B. 10C. 5D. 5解析:由图所示, AM 与 CN 是异面直线, 过 N 作平行于AM 的平行线NP,交 AB 于 P,由定义可知 PNC11就是 AM 与 CN 所成的角 .因 PBC,PBN , CBN 皆为直角三角形,且BP 4 ,BN 2 ,BC 1,故11515117PN2 ( 4 )2+(2 )2 16, CN2 (2 )2+12 4, PC2 ( 4 )2+12 16 ,在PCN 中 cos PNC PN 2CN 2PC 222PN CN,所以 cos PNC 5 ,因此应选 D.269.已知异面直线a 与 b 所成的角为50, P 为空间一
25、定点,则过点P 且与 a、 b 所成的角都是 30的直线有且仅有 ()A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条解析:过 P 点分别作直线a a,b b,则 a与 b的夹角为 50,由异面直线所成的角的定义可知,- 8 -最新资料推荐过 P 点与 a ,b成 30角的条数,就是所求的条数.画图可知,过P 点与 a、 b成 30角的直线只有两条.应选 B.270. .若 a、b 为异面直线,P 为空间一点,过 P 且与 a、b 所成角均为3 的直线有 ()A. 二条B.二条或三条C.二条或四条D. 二条、三条或四条解析: D271. 已知空间四边形 ABCD , E、 H 分别是 AB 、 AD
26、的中点, F、 G 分别是边 BC、DC 的三等分点 . 求证:对角线 AC 、BD 是异面直线, EF 和 HG 必交于一点,且交点在AC 上 .解析:提示:用反证法,或者用判定定理.提示:先证EH FG, EH FG,设 FE GH 0又 0 GH.GH 平面 ADC. O平面 ADC. 同理 O平面 ABC. O 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上.272.如果直线a 垂直于直线b,那么直线a 与平行于直线b 的任意一条直线b互相垂直解析:在a 上任取一点A ,过 A 作 b1 b,则 a 与 b1 垂直 . b b, b b1 b1 b直线 a 与 b1 和 a 与 b所
27、成的角相等. a b273. 在一块长方形木块的面上有一点P,木匠师傅要用锯子从P 和 CD 将木块分成两块,问怎样画线.解析:过 P 作 C1D1 的平行线EF,连 DE、 CF.274.异面直线l1、l2,它们之间的距离为1,所成角是3 ,它们的公垂线是 AB ,A l1,B l2.E l1,F l2,AE BF 1,求 EF 的长 .解析:如图,用异面直线l1、 l2 作为长方体的上、下底面的对角线,公垂线AB 为高 . EF 的长即是正方形PEE F 的对角线长,为2 .侧面 EE F G 的对角线 F E ,用勾股定理得F E 2,即为所求 .- 9 -最新资料推荐275.试证:两两
28、相交且不全过同一点的四条直线共面.解析: (1)设 a、 b、c、 d 四条直线两两相交,且不过同一点,并且无三线共点.记 a bA,a c C,c b B, a bA, a、 b 确定平面 . B b,C a. B、 C .BC ,即 c ,同理 d 从而a、 b、 c、 d 共面(2) 若有三线共点,不妨设b、 c、 d 相交于 A ,a b B, a c C,a dD. a 与 A 可确定平面 . B a. B ,于是 b .同理, c ,d .从而 a、 b、 c、 d 共面 .276. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为_ 。解析:易知故两条体对角线相交,设交点为O(如图),则即为
29、所成的角。设正方体棱长为1,则,所以,而,故,即,- 10 -最新资料推荐277.长方体中,则所成角的大小为_。解析:如图所示,将平移到,则在中278. 根据叙述作图,指出二面角-l-的平面角,并证明( 1)已知=l , A l(图 9-39)在内作 PA l 于 A ,在内作 QA l 于 A - 11 -最新资料推荐图 9-39( 2)已知=l , A , Al (图 9-40)作 AP 于 P,在内作 AQ l 于 Q,连结 PQ图 9-40( 3)已知=l , A, A(图 9-41)作 AP于 P, AQ 于 Q, l平面PAQ=H ,连结 PH、 QH解析:( 1)PA, QA,
30、PA l, QA l , PAQ 为二面角的平面角( 2)AP ,PQ 为 AQ 在平面内的射影,AQ l,根据三垂线定理,有PQ l , AQP 为二面角的平面角(如图答9-35)( 3)AP,AP l ,AQ ,AQ l ,l 平面 PAQ,PHQH平面 PAQ,l PH , lQH ,PHQ 为二面角的平面角(如图答9-36)279. 如图 9-42,立体图形 A-BCD 中, AC=AD , BC=BD 求作二面角 A-CD-B 的平面角,并说明理由解析:取CD 中点 E,连结 AE 、 BE ,AC=AD ,AE CD BC=BD ,BE CD ,- 12 -最新资料推荐AEB 为二
31、面角A-CD-B 的平面角280. 若二面角-l-的一个半平面上有一个点A ,点 A 到棱 l 的距离是它到另一个平面的距离的 2 倍,则这个二面角的大小为()A 90B 60C 45D 30解析: D 作 AH 交于 H,作 HB l 于 B,连结 AB ,由三垂线定理,HB l , ABH 为二面角-l-的平面角,由已知在RtABH 中, AB=2AH ,ABH=30 281. 下列命题中正确的是()A 平面和分别过两条互相垂直的直线,则B 若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线,则C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则D 若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则解
32、析: C内的直线l 垂直内的相交直线a、 b,则 l l,282. 设两个平面互相垂直,则()A 一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面B 过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于另一个平面D 分别在两个平面内的两条直线互相垂直解析: B如图答 9-38,在正方体 ABCDA1 B1C1D1 中,平面 AA1D1D 平面 ABCD ,其中 A1D平面AA1 D1D ,但 A1D 不垂直平面 ABCD ,故 A 不正确点 D 在交线 AD 上, C1DAD ,但 C1D 不垂直平面 ABCD ,故 C 不正确 AD1平面 AA1 D1D ,AC
33、平面 ABCD ,但 AD1 与 AC 不垂直, 故 D 不正确283. 如图 9-43, AOB 是二面角 -CD- 的平面角, AE 是 AOB 的 OB 边上的高, 回答下列问题,并说明理由:( 1)CD 与平面 AOB 垂直吗 ?( 2)平面 AOB 与、垂直吗 ?( 3)AE 与平面垂直吗 ?- 13 -最新资料推荐解析:( 1) AOB 是二面角-CD-的平面角,OB CD,OA CD , CD 平面 AOB ( 2)CD 平面 AOB , CD,平面 AOB 同理平面 AOB ( 3)CD 平面 AOB ,AE平面AOB ,CO AE ,又AE OB, CD OB=O ,AE 平
34、面 BCD ,即 AE 284. 如图 9-44,以等腰直角三角形的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,使 ABD 和 ACD 折成相垂直的两个面求证: BD CD , BAC=60 图 9-44解析: AD 是等腰 ABC 底边 BC 上的高线, AD BD ,AD DC, BDC 是二面角 B-AD-C的平面角,平面 ABD 平面ACD , BDC=90 ,即 BD DC 连结BC ,设 AD=a ,则BD=DC=AD=a , AB2a , AC2a , BC2a , ABC 是正三角形, BAC=60 285. 直线 a、 b 是异面直线, a平面 ,b平面 , a b,求证: .证明过
35、b 上任意一点作直线a,使 a a . ab, a b.设相交直线a、 b 确定一个平面, c. b ,c , bc.在平面内, b c,b a , a c. a a c.又 a , c ,c , 286. 在三棱锥S ABC 中, ASB BSC60, ASC 90,且SA SB SC,求证:平面ASC平面 ABC.证明 取 AC 的中点 O,连 SO、BO ,由已知,得 SAB 、 SBC a,又 SO AC ,BO AC , SOB 就是二面角 S AC B 的平面角 ACS ACB.都是正三角形.BC AB a,SA SC.又 SA AB a,SCBC a,AC AC,2 SO BO 2 a.在 SOB 中, SB a,
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