动量传递过程选论.ppt

1、传递过程典型问题的解,动量传递过程选论,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题（1）,迄今为止，我们求解的流动问题都是一维问题，只包含一个非零速度分量。但大量实际流动问题涉及多维流动，需要运用特殊的数学方法和技巧求解。 求解不可压缩流体二维流动问题的一种广泛应用的数学技巧是流函数方法。 在此方法中，通过引进一个新的变量流函数，减少了控制方程组里的因变量数目，从而使数学模型比原有形式大大简化，更易于求解，尤其是更有利于用数值方法求解。,在直角坐标系下，常物性牛顿流体二维流动的变化方程组为：,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题 (2),包含了三个自变量(t, x, y)和三个因变量(vx, v

2、y, P )。,(b.1),(b.2),(b.3),在微分方程课程中，我们曾学习过一类称为全微分方程(exact differential equation)的变系数常微分方程:,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题 (3),则必然存在二元连续函数f(x, y)满足,其系数满足判别式,(b.4),(b.5),(b.6, 7),函数 f 的全微分为,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题 (4),回到常物性牛顿流体二维流动问题，令,由方程,定义的yx隐函数即是全微分方程的解。,则有,(b.8),(b.9),(b.10, 11),(b.12, 13),以及,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题

3、 (5),根据连续性方程，上式右侧的值等于零。于是必然存在二元连续函数(x, y)满足,如果我们得到了的表达式，通过求偏导数很容易得到vx和vy。函数被称为流函数。很显然，我们可以用求解来代替同时求解vx和vy。,(b.14),(b.15, 16),把与vx和vy的关系代入变化方程组,有,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题 (6),连续性方程自动满足，可以从方程组中删去。,(b.17),(b.18),(b.19),将式(b.18)对y求导和将式(b.19)对x求导，有,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题 (7),(b.20),(b.21),从式(b.21)中减去式(b.20) ，得到,

4、(b.22),由上可见：控制方程已经从包含三个因变量(vx , vy , P )的三个方程(b.1b.3)减少为只含一个因变量()的单个方程(b.22)。 这是一个巨大的简化！ 通过求解这个简化的数学模型得到流函数后，只需对流函数求导就能得到速度函数。 教材第123页的表4.2-1列出了不同坐标系下应用流函数得到的控制方程形式，我们可根据具体案例按需选用。,4.2 应用流函数方法求解二维流动问题 (8),三个坐标系下的流函数方程,问题描述: 一个球体在大空间中的牛顿流体中缓慢下落。求解当球体以恒定速度下落时流体和球体的运动状态。,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (1),1. 物理模型: 1)

5、由于球体运动引起的流体物性变化很小，因而可以有效地假设流体的密度和粘度为常数。,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (2),2) 当从固定在地球上的参考系观察时，这个过程是非稳态流动。但如果从固定在球体上的参考系观察，则表现为稳态流动。由于后者仍然是一个惯性参考系，因而前面所导出的运动方程在该参考系中依然成立。 通过选择固定在球体上的参考系，我们将问题转化成为环绕一个固定球体的稳态流动。,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (3),3)因为过程在大空间中进行，在有限的时间里，球体引起的流体扰动并没有到达空间的外边界，我们不妨把外边界延拓到无限远处。 4)因为流体流动的速度很小(即所谓爬流)，所以运动方

6、程中的惯性项(与速度平方有关的项)均可省略。 5)流动具有轴对称性。,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (4),2. 数学模型: 1) 选用右图所示的球坐标系。 2）根据物理模型中的第1)点和第5)点，可以从表4.2-1中的最后一,行得到此问题的控制方程：,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (5),根据物理模型中的第2)点，方程左侧的第一项等于零。根据物理模型中的第4)点，方程左侧色其它项均可省略，于是,(4.2-2),式中的微分算子 E 可以展开成表达式,(4.2-3),例 4.2-1 环绕球体的爬流 (6),式(4.2-3)的边界条件应该从边界处的速度导出：,根据关系式,我们得到球表面的边界条

7、件：,(4.2-4),(4.2-5),例 4.2-1 环绕球体的爬流 (7),(4.2-6),对B.C.3积分得到,比较两式，我们有,式中C是一个任意常数，不妨取为零。,对B.C.4积分得到,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (8)分离变量法,3. 数学模型求解,1) 分离变量 B.C.3 提示我们流函数可能具有以下形式：,(*),其中,将其代入式(4.2-3)，我们有,(4.2-7),例 4.2-1 环绕球体的爬流 (9)分离变量法,所以式(*)可以写作,(4.2-9),这是一个欧拉方程，其通解为,将其展开，我们有,(4.2-8),根据B.C.3,(4.2-10),及,然后,(4.2-11),

8、(4.2-12),根据B.C.1和B.C.2,及,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (10)分离变量法,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (11)分离变量法,(4.2-13),于是我们得到了速度场的表达式如下：,(4.2-14),以及相应的流线方程,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (12),(4.2-16),4. 过程参数,(4.2-15),1) 压力场 把速度表达式代入N-S方程，我们可以得到修正压力场的控制方程组,该方程组的解为,(4.2-17),即,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (13),(B.1-18),2) 剪切应力场 根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上的剪切应力（即沿r

9、 -方向的 -动量通量）为,把速度场的表达式(4.2-13, 14)代入上式，我们有,(*),例 4.2-1 环绕球体的爬流 (14),(B.1-16),3) 拉伸应力场 根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上的拉伸应力（即沿r -方向的r-动量通量）为,把速度场的表达式(4.2-13, 14)代入上式，我们有,(*),例 4.2-1 环绕球体的爬流 (15),4) 作用在球体上的曳力 流体施加在球体上的总作用力必然在z-方向，并且应该等于法向应力和切向应力在整个球体表面上的积分值。,其中法向应力的贡献为,(*),例 4.2-1 环绕球体的爬流 (16),总作用力包含浮力和动力学曳力

10、两部分：,而切向应力的贡献为,动力学曳力的表达式被称为Stokes定律,由于在物理模型中省略了惯性项，上述结果仅对非常缓慢的流动有效。 通过与实验数据进行比较，应用Stokes定律计算动力学曳力的适用场合局限于Re 0.1的情况。,例 4.2-1 环绕球体的爬流 (17),5. 结果分析,边界层理论,在1819世纪的航海时代，谁能拥有海洋控制权谁就能拥有世界贸易权和殖民地控制权。因此个发达国家都竞相发展海军舰队和商船队。而提高舰船的航速是首屈一指的关键技术。当人们顺里成章地增大发动机功率来提高船速时，却失望地发现速度的增加远未达到预期的幅度。速度的增加完全不是正比于发动机功率的提升。为什么呢？

11、直到Prandtl在1904年提出边界层概念后，才对此问题给出合理的解释。,边界层的概念 (1),当流体流经固体物体的前端时(参见右图)，由于粘性效应，紧靠壁面区域的流体的速度将显著减小，形成一个速度梯度较大的区域，流体的动量经由这一区域,传递给固体表面。随着流体沿壁面向前流动，这个区域的厚度沿流动方向逐渐增大。这个区域被称为流动边界层或速度边界层。,边界层的概念 (2),流动边界层具有以下特点：,1) 边界层的外边界 v=0.99v 理论上讲，边界层的外边界应该是流体速度未减小的临界点，此处速度在垂直于壁面方向上的变化率为零。但实际上在边界层外缘区速度变化很缓慢，很难判断何处v=v。因此人为

12、约定v=0.99v处为边界层的外边界，此处到壁面的垂直距离为边界层厚度。 2) 边界层很薄 x 距前沿x处的边界层厚度远小于x。,边界层的概念 (3),3) 边界层内的横向速度梯度dvx /dy很大，动量分子传递不能忽略；边界层外dvx /dy很小，粘性效应可忽略。 4) 边界层内的流态有层流湍流之分，判据是边界层雷诺数Rex。湍流边界层内的近壁区仍有一层流底层。 5) 在凸表面上可发生 边界层分离现象。,边界层的概念 (4),则紧靠壁面区域的流体的浓度将会受到影响而改变，形成一个厚度沿流动方向逐渐增大的浓度边界层。,与此类似，当流体流经固体表面时，如果从某一处开始，某个化学组分在固体表面处的

13、浓度与来流流体中的浓度不同，,边界层的概念 (5),则紧靠壁面区域的流体的浓度将会受到影响而改变，形成一个厚度沿流动方向逐渐增大的浓度边界层。,与此类似，当流体流经固体表面时，如果从某一处开始，某个化学组分在固体表面处的浓度与来流流体中的浓度不同，,边界层坐标系 (1),为了简单且不失普遍性，我们取二维边界层作为讨论对象。,参见右图，令x代表从固体物体前端开始沿固体表面的弧长，y代表距固体表面的距离，我们就在近壁区域建立起了一个正交曲线坐标系。,边界层坐标系 (2),令dS为从点a到点b的弧长微元，R为固体壁面在点( x , 0 )的曲率半径，我们有, 则在边界层内有 。,边界层坐标系 (3)

14、,在正交坐标系中，,对比前一公式，我们得到了尺度因子(Scale Factor，i A.7，p.115116) 的表达式：,如果,此结果表明，只要固体壁面的曲率半径远大于边界层的厚度，边界层坐标系就可以近似处理为直角坐标系。,边界层方程 (1),边界层方程是在 的条件下采用量阶分析法对变化方程组进行化简而得。 量阶分析法的要点是在评估各个物理量对某一现象影响的总体重要性时，主要依据各个物理量在所涉及区域中的平均值的相对大小，而并不关注这些物理量在该区域中少数空间点上的特定值的大小。,边界层方程 (2),二元体系的二维稳态过程的变化方程组可写为：,(a1),(a2),(a3),(a5),(a4)

15、,边界层方程 (3),选取以下五个物理量作为量阶分析中比较各类物理量相对大小的标尺,长度标尺的相对量阶大小为：,长度类：,速度类：,温度类：,浓度类：,边界层方程 (4),1) 速度分量vx及其各个偏导数的量阶,边界层方程 (5),2) 速度分量vy及其各个偏导数的量阶,根据连续性方程 式(a1) ,边界层方程 (6),边界层方程 (7),3) 修正压强P的偏导数的量阶,考虑边界层外部的无粘流动,在边界层的外边界处,边界层方程 (8),把上式代入式(a2)，得到,由于边界层很薄，在边界层内部压力梯度沿y方向的变化不可能很大。于是我们假设,(a6),边界层方程 (9),将其带入式(a3)中，我们

16、得到,此方程要成立就必然有：,这一结果表明式(a6)中的假设成立。,此方程要成立就必然有：,边界层方程 (10),由于压力及压力梯度可以根据边界层外部的流动求出，边界层内部的未知变量就可以减少一个，由式(a1) (a5) 组成的方程组中的方程式就可以消去一个。我们选择消去式(a3)并忽略式(a2)中的 ，就得到边界层运动方程,于是,以及,(4.4-11),边界层方程 (11),式(4.4-11)是在 =const.的条件下导出的。如果我们需要考虑由于温度差或浓度差引起密度变化所导致的自然对流现象，则必须在该方程中增加两项：,式中 代表热膨胀系数， 代表浓度膨胀系数，gx是重力加速度的x分量。,

17、(20.2-2),边界层方程 (12),对式(a4)(a5)应用量阶分析，我们有,式中T和C分别是温度边界层厚度和浓度边界层厚度。,边界层方程 (13),于是这两个方程可简化为,很显然，,；,(20.2-3),(20.2-4),边界层方程 (14),对于自然对流、粘性耗散、化学反应和偏摩尔焓差可忽略的系统，我们得到边界层方程组：,速度场方程,温度场方程,浓度场方程,(4.4-11),(20.2-22),(20.2-23),边界层方程 (15),边界层方程的基本边界条件,在外边界处还可以给出一系列附加边界条件,边界层方程 (16),小结: 运用量阶分析法，我们主要获得了两个结果： 1) 在平行于

18、固体表面方向上，三个边界层 中的所有分子传递项都可以忽略； 2) 在边界层内，横向压力梯度 的影 响可以忽略。 将此结果代入变化方程组，就得到三个边界层方程。,动量、能量 和质量同时传递的边界层 (1),考虑流经平板表面的边界层，采用以下物理简化：,1. 物理模型,稳态过程； 常物性； 沿一个方向均匀； 边界层外部流动的压力梯度为零；,动量、能量 和质量同时传递的边界层 (2),无化学反应； 重力是唯一的外力场； 粘性效应可以忽略； 混合热可以忽略； 热辐射可以忽略； 扩散焓通量可以忽略； 壁面处的法向速度远小于外流速度。,动量、能量 和质量同时传递的边界层 (3),2. 数学模型,(20.2

19、-20),(20.2-21),(20.2-22),(20.2-23),动量、能量 和质量同时传递的边界层 (4),(20.2-24),(20.2-26),(20.2-25),上述数学模型有一个明显的特点：式(20.2-21) (20.2-23)具有相似的数学结构和边界条件，因而可以采用共同的方法求解。,动量、能量 和质量同时传递的边界层 (5),(20.2-28),式(20.2-21)(20.2-23)可以表达成一个共同的形式。,3. 求解数学模型,定义以下无因次变量,和无因次传递系数,(20.2-29),动量、能量 和质量同时传递的边界层 (6),于是有,根据式 (20.2-20) ，,(2

20、0.2-27),(20.2-30),(20.2-31),(20.2-32),动量、能量 和质量同时传递的边界层 (7),代入式(20.2-30) ，有,在y趋近于无穷大处的边界条件提示我们可以运用变量组合法求解。通过类似于4.1的方法，以下无因次组合变量是一个有利的选择：,(20.2-33),(20.2-34),动量、能量 和质量同时传递的边界层 (8),考虑式.(20.2-37)能够被满足的情况。通过引入下列函数,很显然，式(20.2-34)的解可以表示成的一元函数的充分必要条件是壁面处的速度满足下式：,(20.2-37),(20.2-38),动量、能量 和质量同时传递的边界层 (9),式(20.2-34) 可写为,此式可以直接积分得到,动量、能量 和质量同时传递的边界层 (10),根据 B.C.1,代入前式，得到特解,根据 B.C.2,此特解是一个隐函数，因为被积函数f中包含有因变量函数v= ( ; 1, K) .,(20.2-43),动量、能量 和质量同时传递的边界层 (11),1) 无因次分布剖形 从式(20.2-43)可以看出，无因次速度、无因次温度和无因次浓度具有相同的分布剖形的充分必要条件是无因次传递系数相同,4. 结果分析