第7章_二阶电路.ppt

1、第七章 二阶电路,7.1 LC电路中的正弦震荡 7.2 RLC串联电路的零输入响应 7.3 直流RLC串联电路的全响应 7.4 GLC并联电路的分析,7.1 LC电路中的正弦震荡,当电路中包含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程是二阶线性常系数微分方程。在二阶电路中，给定的初始条件有两个，它们由储能元件的初始值决定。,如果两个独立的动态元件是一个LC回路，储能将不断地在L和C（电场和磁场）之间往返，形成LC回路中的正弦等幅振荡。,7.2 RLC串联电路的零输入响应,7.2.1 电路和方程 7.2.2 过阻尼(over damped)情况 7.2.3 临界阻尼(critically dampe

2、d)情况 7.2.4 欠阻尼(under damped)情况 7.2.5 零阻尼情况 7.2.6 二阶电路的零输入响应,7.2.1 电路和方程,如图所示，电路中无电源，电路响应为零输入响应,有以下三种初始状态情况：,下面仅以第一种情况为例讨论该电路的零输入响应。 一. 定性分析,由KVL，有,二. 数学分析,初始条件为：,可求得特征根：,（1）式特征方程为,1、当 时，即 时，S1、S2 为两个不相等的负实根，其响应形式为：,根据两特征根的形式，响应可分为四种：,2、当 时, S1、S2 为两相等的负实根，其响应为：,称为临界阻尼,为临界电阻,3、当 时，即 时，S1、S2 为一对共轭复根：称

3、为欠阻尼。则响应形式为,式中： ； ;,4、当R=0时，即0时，S1、S2 为一对共轭虚根：称为无阻尼。则响应形式为,7.2.2 过阻尼(overdamped)情况,特征根为两个不相等的负实根，,令,其中,显然有,（1）式通解为：,上式求导，得：,初始条件代入（3）、（4）式，得：,由（5）式求得,代入（3）得方程（1）满足初始条件的解为：,进一步求得：,结果分析：,(2),(3) 令 diL / dt =0 , 求得 iL 的极值点,(4) 过渡过程的能量情况如下图所示：,(5) 过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。,电压和电流表达式中，特征根 s1= -1 对应项 在过渡过程中起主要作

4、用。,7.2.3 临界阻尼(critically damped)情况,特征根为两个相等的负实根：,（1）式通解为：,上式求导，得：,初始条件代入（6）、（7）式，求得：,代入（6）式得微分方程（1）满足初始条件的解为：,分析可知， uc 、iL 波形图与过阻尼情况类似。,7.2.4 欠阻尼(underdamped)情况,特征根为一对共轭复根：,其中,可设（1）式通解为：,上式求导，得：,初始条件代入（8）、（9）式，得：,由（10）式求得,其中,、d 、0及 的关系如下图所示：,方程（1）满足初始条件的解为：,进一步求得：,分析：,(1) uc 和 iL 均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。,(

5、2),(4) uc 的过零点即 iL的极值点。,结果分析,*过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能电阻的存在，总能量逐渐减少。,吸能 放能 耗能,*欠阻尼情况下，电路具有阻尼振荡(damped oscillation)或衰减振荡的过渡过程。由 可知uc(t) 和iL的包络线函数分别为,称 为衰减系数， 越大，则电压和电流衰减越快；称 d 为衰减振荡角频率， d 越大，则电压和电流振荡越剧烈。,7.2.5 零阻尼情况,特征根为一对共轭虚根：,（相当于欠阻尼情况下 =0、d = 0 、 = 0 。）,利用欠阻尼情况的分析结果，得：,零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数，0称为无阻尼振荡角

6、频率。电场和磁场不断进行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等于电路的初始储能。因振荡仅由电路的初始储能所产生，故称为自由振荡。,无阻尼,欠阻尼,临界阻尼,电路所示如图， t = 0 时打开开关。求 : 电容电压uC , 并画波形图。,解:,(1) uc(0-)=25V iL(0-)=5A,特征方程为 50s2+2500s+106=0,例:,(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A,例：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠 阻尼情况。,解：由KVL可知,由KCL知,则,其特征方程为,左图为有源RC振荡电路，讨论k取不同值时u2的零输入响应。,节点A列写KCL有

7、：,KVL有：,特征方程,特征根,（1）,整理得：,（2）,令,第七章 二阶电路,7.1 LC电路中的正弦震荡 7.2 RLC串联电路的零输入响应 7.3 直流RLC串联电路的全响应 7.4 GLC并联电路的分析,电路如图，电路响应由电源和电路的原始储能共同产生。,或：,（1）,二阶电路的全响应:,通解为：,其中 ucp 为方程的一个特解，可求得：,uch 为方程对应齐次方程的通解，它的形式决定于方程的特征根也有四种，讨论与零输入响应相同。,代入初始条件，即可确定2个待定的积分常数。,电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成,电路的固有频率为,当电路的固有频率s1s2时，对

8、应齐次微分方程的通解为,微分方程的特解为,全响应为,利用以下两个初始条件,可以得到,对uC(t)求导，再令t=0得到,求解这两个代数方程，得到常数K1和K2后就可得到uC(t)。,例: 电路如图所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS(t)= (t)V。求t0时电容电压的零状态响应。,解：t0时，(t)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算 电路的固有频率,根据这两个固有频率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以得到全响应的表达式为,利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程,求解以上两个方程得到常数K1-1和K2-0.75，得到电容电压

9、的零状态响应,可以画出电容电压和电感电流零状态响应的波形为：,注：图(c)和(d)表示当电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时的电 容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。,例:电路如图所示。已知 R =4，L =1H，C =1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0时， 电容电压和电感电流的响应。,解：先计算固有频率,这是两个不相等的负实根，其通解为,特解为,全响应为,利用初始条件得到,联立求解以上两个方程得到,最后得到电容电压和电感电流的全响应,求电流 i 的零状态响应。,i1= i 0.5 u1,= i 0.5(2 i)2 = 2i 2,由KVL：

10、,整理得：,首先写微分方程,解：,例：,特征根为： P1= 2 ，P2 = 6,解答形式为：,第三步求特解 i,由稳态模型有：i = 0.5 u1,u1=2(20.5u1),i=1A,第二步求通解,第四步定常数,由0+电路模型：,第七章 二阶电路,7.1 LC电路中的正弦震荡 7.2 RLC串联电路的零输入响应 7.3 直流RLC串联电路的全响应 7.4 GLC并联电路的分析,7.3 GCL并联电路分析,它是RLC串联电路的对偶电路,二阶微分方程为：,特征根：,响应形式：,2、G ，临界阻尼。,3、G ,为欠阻尼。,4、G0 ，为无阻尼。,1、G ,为过阻尼。,(1) 列微分方程,(2)求特解,解：,例：,应用结点法：,(3)求通解,特征根为： P= -100 j100,(4)定常数,特征方程为：,(5)求iR,或设解答形式为：,定常数,i1= i - 0.5 u1,=i - 0.5 2 (2 - i) = 2i - 2,由KVL,整理得：,二阶非齐次常微分方程,解：第一步列写微分方程