数学文化讲座

1、杨庆生,数学文化与数学教育,文化,广义地讲：是指人类在历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和 按照这样的理解就应把一切非自然的、也即由人类所创造的事物或对象都看成文化物，“文化性”即是明确肯定了相应事物或对象对于人类创造活动的直接依赖性。,数学文化,由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维事物的产物，因此，数学就是一种文化。 在亚里士多德：数学对象就只是一种抽象的存在也即是人类抽象思维的产物。 争论：数学对象看成一种不依赖于人类思维的独立存在（发现活动）还是人类抽象思维的产物（数学的发明创造）。 数学家哈代：我认为数学的实在存在于我们之外，我们的职责是发现它和遵循它，那些

2、被我们所证明并被我们夸大为是我们发明的定理，其实仅仅是我们观察的记录而已。,数学文化,诺贝尔奖活动者者物理学家布里奇曼认为：只要稍微观察一下就能明白，数学是人类的创造物这一最纯粹的自明之理。 卡纳斯与纽曼指出：非欧几何证明数学.是人亲手创造的，他仅仅服从思想法则所设定的限制。 任何一种文化成分都是人类思维的产物，其相对于个个体来说却是由具有相当大的独立性，以致对各个个体来说，文化就像自然界一样构成了一种生存环境。,数学文化,文化的独立性与群体性： 数学实在独立于个体意识而存在，却完全依赖于人类意识； 怀特：数学概念存在于文化之中，即存在于人类的行为和传统思想的主体之中。,数学文化,对数学文化的

3、认识归根到底对数学本质的认识。 对数学本质的认识是一个动态的认识过程,既随着数学的发展阶段而发展,也随着各个阶段人们的认识提高而深入。 作为数学观的“过去时态”,我们先回顾一下历史上几位数学家、哲学家的见解。,阿尔布斯纳特约翰,阿尔布斯纳特约翰(Arbuthnot John) 说:“数学是宗教的朋友,因为数学能唤起热情而抑制急躁,净化灵魂而使之杜绝偏见与错误。而且一个人如果要想超脱凡俗而与世隔绝,那么通过研究数学而去实现这一目的,显然是一条易获成效而又理想之途径。”1 (P31) 数学是人们求真、求善、求美的殿堂。柏拉图有句名言:“几何把我们的灵魂引导到真理面前。” 2 (P187),大哲学家

4、亚里士多德,大哲学家亚里士多德说:“新的思想家虽说是为了其他事物而研究数学,但他们却把数学和哲学看作是相同的。”数学和辩证法一样,都是人类高级理性的体现。,波尔达斯德莫林斯,波尔达斯德莫林斯(BordasDemoulins) 说:“没有数学,我们无法看透哲学的深度,没有哲学,人们也无法看透数学的深度, 而若没有两者, 人们就什么也看不透视。”1 (P80) 哲学在某种意义上说是望远镜,数学是显微镜,二者相得益彰。“哲学从一门学科中退出,那就意味着这门科学的建立,而数学进入一门学科就意味着这门学科的成熟。” 3 (P27),数学即逻辑,罗素说:“逻辑即数学的青年时代,数学即逻辑的壮年时代。”4

5、(P30) 数学的概念都可以借助逻辑概念给出,而数学定理都可以由逻辑公理原则推出,数学和逻辑是精密科学的两只眼睛。用两只眼睛去看世界,它比用一只看得更远、更清楚。数学无穷无尽的诱人之处在于它的最棘手的悖论能够开出美丽的理论之花。3 (P9),A波雷尔说,A波雷尔说:“数学是一门艺术,因为它主要是思维的创造,靠才智取得进展,很多进展出自人类脑海深处,只有美学标准才是最后的鉴定者。”3 (P15)数学与艺术只是人类思维的不同框架,数学的抽象与艺术的抽象是从不同侧面观察事物,数学强调定量分析,艺术则偏重于定性感知,可见,数学是智慧与创造的艺术。,流派,美学派认为数学是静谧、深奥和典雅的音乐,数学语言

6、和符号是理性的音符,数学追求美,也创造美,数学与艺术结合使美更加灿烂绚丽。 创新说认为数学是不断创新的、无止境的,每一步创新都是对前人的否定,例如发现无理数,建立分数积分,创立非欧几何,无一不是如此。,数学的若干观点,过程说认为,数学是实验思维过程+ 归纳抽象思维过程+ 逻辑论证思维过程。 除此而外,还可列举若干种观点: 数学是最精密的科学, 数学是模式的科学; 数学是一门高级语言; 数学是一种活动; 数学是一种关系; 数学是人类的一种理性精神等等。,数学的认识,数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。恩格斯 数学是研究数量关系和空间形式的科学 前苏联“数学的内容、方法、意义” 数学是研究模

7、式与秩序的科学。 “2061”计划,数学的认识,数学是科学， 数学是理论， 数学是语言， 数学是工具， 数学是技术， 数学是文化， 数学是伙伴，,数学文化的若干观点,从数学哲学史上对数学本质的争论看,可归纳出三种观点: “数学是一门演绎科学”; “数学是一门拟经验科学”; 数学是一门演算科学”5 。 以上对数学的种种认识,都未显偏颇,各自从不同侧面揭示了数学形式的丰富多彩和数学内容的博大精深。,数学文化,数学是一种文化的观点,可以说是数学观的“现在时态”。 美国数学家怀尔德(RLwilder) 1981年从数学人类学的角度明确提出了“数学-一种文化体系”的数学哲学观,他的代表作是作为一种文化体

8、系的数学。 6 (P247 - 248) ) 怀尔德学说,导致了数学家甚至数学哲学家对数学文化的关注超过了对数学哲学研究的趋势。,数学与文化曾有过三次结合紧密的鼎盛时期,考察人类文明史,数学与文化曾有过三次结合紧密的鼎盛时期, 第一次是毕达哥拉斯(Pythagoras) 学派为代表的古希腊时期; 第二次是以达芬奇(Da Vinci) 为代表的欧洲文艺复兴时期; 第三次是20 世纪中叶以来,随着科学一体化,系统化即大科学时代的到来和全球文化讨论热,数学与文化的关系受到人们相当的关注。 7 ,数学文化,如果据此把数学说成是一种文化,还未免有点牵强,我们必须从文化学和数学哲学等方面阐释论证。下面列举

9、中国当前对数学文化研究有代表性的几种认识:,数学家齐民友先生,数学家齐民友先生从非欧几何产生的历史阐述了数学文化价值,指出了数学思维的文化意义。他说:“数学作为文化的一部分,其最根本的特征是它表达了一种探索精神。” 8 “数学作为文化的一部分,其永恒的主题是认识宇宙,也认识人类自己,在这个探索过程中,数学把理性思维的力量发挥的淋漓尽致。它提供了一种思维的方法与模式,提供了一种最有力的工具,提供了一种思维合理性的标准,给人类思想解放打开了道路。”8 他深刻指出:“没有现代的数学就不会有现代的文化。没有现代数学的文化是注定要衰落的。”8 “一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。” 8

10、,张楚廷先生,张楚廷先生从广义文化学的角度阐释数学文化。一般地讲,“文化即人类创造的物质文明和精神文明。数学则既是人类精神文明又是物质文明的产物,尤其要关注到,数学是人类精神文明的硕果,数学不仅闪耀着人类智慧的光芒,而且数学也最充分地体现了人类为真理而孜孜以求乃至奋不顾身的精神,以及对美和善的追求。”9 他指出把数学作为一种文化的数学教育功能是多方面的,它“不仅可以使人变得更富有(知识) 、更聪明、而且还可以使人更高大、更高尚、变善、变美”。 9 ,郑毓信先生,文化的概念即是与群体、传统等概念密切相关的。” 10 郑毓信先生在他的论著数学文化学中阐述说:“由于在现代社会中数学家显然构成了一个特

11、殊的群体(可称为数学共同体) ,并有着相对稳定的数学传统。”10 因此,我们也就可以在所论意义上说,数学是一种文化。也即是指数学家的“行为方式”,或者说,即是指特定的数学传统。他还指出:“数学作为文化的特殊性在于数学对象的形式建构性与数学世界的无限丰富性和秩序性”。10 概括地说,历史性与整体性是文化体系的两个重要方面。,郑毓信先生,数学家的工作只是整个数学的一个部分，而且数学各部分之间的联系是十分重要的，数学的生命力就在于其各个部分的内在联系； 在数学定理的发现过程中，逻辑与直觉构成了数学研究的双翼； 数学家感受到数学的美，这种美感对其研究活动有着十分重要的影响；,数学文化,以上关于数学文化

12、的三种解释,前两种倾向于强调数学文化发展的历史性,最后一种则强调了数学活动的整体性,数学共同体和数学传统正是表现了数学文化的整体性。他们都从不同层面揭示了数学的文化本质。,数学文化,提出数学文化的概念,向人们昭示数学的文化本质,其意义在于数学具有广泛的社会意义和价值,诚如王梓坤先生所言:“数学的贡献对整个科学技术(尤其是高新技术) 水平的推动和提高,对于科技人才的培养和滋润,对于经济建设的繁荣,对于全体人民的科学思维与文化素质的哺育这四个方面的作用是极为巨大的,也是其他科学所不能比拟的。”3 ,数学文化,“认识和褒扬作为人类文化最重要部分的数学,以其在科学和社会中的运用,以其观念和推理方法所富

13、有的力和美,以其对人类精神的丰富”。11 ,由以上论述看出,人们对数学本质的认识,从作为一种科学的数学,到作为一种哲学的数学,再到作为一种文化的数学,是随着数学特点,价值、作用、意义理解的逐步广泛而深入,数学文化理念对于探讨新时期数学素质教育提供了新的视角。数学教育理应作为文化教育一个专业受到社会和人们的高度重视。,数学教育目标,数学教育目标应是理性思维训练、实用知识技能、文化素养三维结构。数学素质教育应是个体具有数学文化各个层次的整体素养。 培养学生的理性精神； 一个人,如果他不是以数学为终生职业, 那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题, 解题有多快, 数学能考多少分, 关键在于他是否

14、真正领会了数学的思想, 数学的精神, 是否将这些思想融会到他的日常生活和言行中去。,数学有三个层面,作为理论思维的数学; 作为技术应用的数学; 作为文化修养的数学. 这三个层次对不同的人有不同的含义和不同的用场. 从事数学研究的人,以理论层面为主, 强调归纳与演绎. 从事工程的人以技术层面为主, 强调应用与计算. 从事人文科学的人以文化层面为主, 强调数学与其他学科的联系,强调数学在人类文明中的作用.,理性的力量,在马尔萨斯1789 年的“人口论”中,我们可以找到例子. 马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型. 他把下面两个公设作为他的人口学的出发点: 人需要食品; 人需要繁衍后代. 他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型. 这个模型简洁, 有说服力, 对各国的人口政策有巨大影响.,理性的力量,令人惊奇的是, 欧几里得的模式还推广到了政治学. 美国的“独立宣言”是一个著名的例子.独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的. 美国第三任总统杰斐逊(