《等差数列前n项和公式》教学设计

1、最新 料推荐等差数列的前n 项和教学设计一、设计理念 学生在具体的 情境中 知 的形成和 展， 学生利用自己的原有 知 构中相关的知 与 ，自主地在教 的引 下促 新知 的建构，因 建构主 学 理 ，学 是学生 极主 地建构知 的 程在教学 程中，根据教学内容，从介 高斯的算法开始，探究 种方法如何推广到一般等差数列的前n 和的求法通 一些从 到复 ，从特殊到一般的 ， ， 和启 学生 得公式的推 思路，并且充分引 学生展开自主、合作、探究学 ，通 生生互 和 生互 等形式， 学生在 解决中学会思考、学会学 同 根据我校的特点， 了促 成 秀学生的 展， 了 做 和探索 ， 一步培养 秀生用函

2、数 点分析、解决 的能力，达到了分 教学的目的二、背景分析本 教学内容是高中 程 准 教科 必修5（北 大）中第二章的第三 内容本 主要研究如何 用倒序相加法求等差数列的前n 和以及 求和公式的 用等差数列在 生活中比 常 ，因此等差数列求和就成 我 在 生活中 常遇到的一 同 ，求数列前n 和也是数列研究的基本 ，通 公式推 ，可以 学生 一步掌握从特殊到一般的研究 方法三、学情分析1、学生已掌握的理 知 角度：学生已 学 了等差数列的定 及通 公式，掌握了等差数列的基本性 ，有了一定的知 准 。2、学生了解数列求和 史角度：大部分学生 高斯算法有比 清晰的 ，并且知道此算法原理，但在高斯算

3、法中数列1，2，3， 100 只是一个特殊的等差数列， 于一般的等差数列的求和方法和公式学生 是一无所知。3、学生的 知 律角度：本 采取了循序 、 深入的教学方式，以 解答的形式，通 探索、 、分析、 而 得知 ， 学生 极思考、自主探究搭1最新 料推荐建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。四、教学目标1、类比高斯算法，探求等差数列前n 项和公式，理解公式的推导方法；2、能较熟练地应用等差数列前n 项和公式解决相关问题；3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；4、通过生动具体的现实问

4、题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；五、教学重点与难点1、教学重点： 等差数列前 n 项和公式的推导和应用2、教学难点： 公式推导的思路3、重难点解决的方法策略： 本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，通过教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。六、教学过程设计（一）创设情景，提出问题欣赏图片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世纪

5、莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建。它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100 层，奢靡之程度，可见一斑。问题 1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？教师活动： 利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。学生活动： 欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题1.2最新 料推荐活 ：（ 1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以 1 公差依次 增，构成等差数列。（ 2）需要解决的 ： 100 中究竟共有多少 宝石

6、？【 意 】（1）教 先用多媒体展示彩 呈 的 ，使学生 入 情境，激 学生的 趣，并使学生体会数学来源于生 生活。（2）以 的提出作 引入方式，使学生 着 学 新 ，更有目的性。（二）探究等差数列前n 和公式教 活 ： 指出此数列的求和方法在1787 年已被高斯解决， 学生 高斯故事。学生活 ： 学生根据 前的搜集 介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年 ，一次数学老 布置了一道数学 ：把从1 到 100 的自然数加起来，和是多少？年 10 的小高斯略一思索就得到答案：5050， 使老 非常吃惊。问题 1：高斯是采用了什么方法来巧妙地 算出答案的呢？教 活 ： 指 学生快速找出 律。学生

7、活 ： 高斯算法解决： 1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100=？活 ： 高斯算法： 1+100=101,2+99=101， 50+51=101，所以原式 =50（ 1+101）=5050问题 2：在高斯算法中 上利用了等差数列通 的哪种性 ？教 活 ： 引 学生思考高斯算法的技巧性及理 依据。学生活 ： 利用高斯算法 算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法 藏的等差数列 的何种性 。活 ： 构造数列：a11,a22, a9999, a100100 ， 有性 ：等差数列 an 中，若 mnpq ， aman apaq 。【 意 】 高斯算法首尾 合的思想

8、揭示了等差数列“角 和相等， 的 和相等”的特征， 等差数列前n 和公式的推 的“倒序相加法”做好 ，开启了更深入、更 致的研究大 。3最新 料推荐问题 3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？方法：倒序相加法（借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形， 由此引入倒序相加法 ）教师活动：S na 1a 2a 3a n 2a n 1a nS na na n 1a n 2a 3a 2a 12Sn(a1an ) (a2an 1 ) ( a3an 2 )(an 2a3 ) ( an 1 a2 ) (an a1 )由性质“若 mnpq ，则 am an apaq ”

9、可得：2 S nn ( a1a n)n ( a 1 a n)S n2（等差数列前 n 项和公式）【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；（ 2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；（三）公式理解和深化公式一、 Snn (a1 an )2问题 1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？教师活动： 引导学生找出变量学生活动： 观察公式，找出变量。活动预设： 此公式中，共有四个变量：Sn , n, a1 , an ，可知三求一。【设计意图】 让学生从变量上理解公式，从形

10、式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。问题 2：此公式还可进行怎样的变形？教师活动： 引导学生从 an 下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。学生活动： 尝试对公式进行变形。4最新 料推荐活 ： 公式二、Snan(n 1)dn12【 意 】（1） 学生学会在旧知与新知之 搭建 梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；（ 2）体会知 之 的整体性和关 性，感受运用旧知推 新知的成功和喜悦。问题 3： 察、 比公式一、二，你能得出什么 有利于你解 公式 行 ？教 活 ： 引 学生从两个公式中的 量 行 。学生活 ： 出两公式的区 及适用情况。活 ：（ 1）在两个公式，五

11、个 量中：a1 , n, d ,an , Sn ，可知三求二（ 2）若已知 an ， 先 用公式一，若已知d ， 先 用公式二。【 意 】 通 两公式的 比研究，可 一步加深学生 公式的 ，公式一、二的区 可提高学生的做 速度和 量，再一次体 了数学的 美和精准性。（四）公式 用、反 价 堂 之“争分 秒”：例 1、在等差数列中：(1)已知 a114.5， d0.7， a n32，求 Sn ;(2) 已知 d3， an20， Sn65，求 a1 和 n；五个元素 a 1, a n, n, d, Sn ，知三 求 二你能自己构造一个 似的 目并自己解决 ？ 式 ：(1)a 20, an54, s

12、 999,求d , n1n例 2. 等差数列 10， 6， 2， 2，前多少 和是54?解： a1=-10,d=-6 (-10)=4 -10n+n(n-1) 2 4=54解得 n=9，n=-3( 舍)前 9 的和是 54 式 ：求等差数列13，15，17， 81 的各 和5最新 料推荐例 3 已知一个等差数列的前10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？Snna1n(n1) d又 S10310, S20 1220210a145d310a1420a1190d1220d6S4nn(n 1)6 3n2nn2教师活动： 分析解决问题，组织学生交流、讨论，再进行公式的应用。【设计意图】 透过此题，培养学生熟练地选取恰当的公式进行求解。六、布置作业1. 课本 P46 习题 2.3 ，第 1 题（ 1）（ 3）七、板书设计3.3 等差数列前 n 项和一、等差数列前n 项和：四、课堂练习Sna1a2an二、公式的推导方法：倒序相加法三、深化公式公式 1、公式 2、变形：（主板书）八、教学反思（副板书）（辅助性板书）“等差数列前n 项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该