自动控制原理第2章连续控制系统的数学模型.ppt

1、1,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 系统数学模型的概念,2.2 微分方程描述,2.3 传递函数,2.4 结构图,2.5 信号流图,2,2.1 系统数学模型的概念,数学模型:根据系统运动过程的物理、化学等规律，描述系统运动规律、动态特性、输入输出各变量之间关系的数学表达式。,精确控制性能指标需要数学模型。（定量描述） 完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！,数学模型的特点 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理,3,2.1.1 数学模型主要类型,静态模型与动态模型 (静态模型是t时系统

2、的动态模型) 静态模型与时间无关，代数方程表示 动态模型依赖于时间，微分方程表示,输入输出描述模型（外部描述模型）与状态空间模型（内部描述模型，更深入）,连续时间模型与离散时间模型,参数模型与非参数模型（频率特性、阶跃响应、脉冲响应）,4,2.1.2 建立数学模型的方法,机理分析建模方法，称为分析法； 通过对系统内在机理的分析，运用各种物理，化学等定律，推导出描述系统运动的数学表达式，通常称为机理模型。 已知系统物理结构，又称“白箱”建模法,实验建模方法，通常称为系统辨识。 系统物理结构未知，利用系统输入输出的实验或运行数据，得到数学模型，即系统辨识的方法，又称黑箱建模法。,混合法：机理分析法

3、和系统辨识法相结合，又称灰箱建模法。,5,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 控制系统数学模型的概念,2.2 微分方程描述,2.3 传递函数,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的MATLAB表示,6,第2章 连续系统的数学模型,2.2 微分方程描述,系统输出量及其各阶导数和系统输入量及其各阶导数 之间的关系式，称为系统微分方程描述。 微分方程描述的是系统最基本的数学模型。是一种外 部描述的动态数学模型，适合于线性与非线性系统， 定常与时变系统等。,7,2.2 微分方程描述,系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: （1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分

4、方程描述的是线性系统; （3）时变系统的微分方程的系数与时间有关； （4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。,8,根据机理分析，列些微分方程的步骤：,1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。 3) 列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！ 4) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 5) 将方程式化成标准形。 与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。,例2.1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。 试列出以外力F(t)

5、为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式 机理分析：三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv 。,解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质 量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为 中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力 作用时，系统处于平衡状态。,2.2.2 机械运动系统举例,（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即,（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中 间变量,得,（6）整理方程得标准形,（4）写中间变量与输出量的关系式,11,例2.2

6、 一阶RC网络系统,1) 确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 列出各部分的原始方程式。 3) 列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！ 4) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 5) 将方程式化成标准形。,例2.3 电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出 以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。,（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。 由KVL写原始方程：,（3）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:,（4）将上式代入

7、原始方程，消去中间变量得,（5）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为,14,例2.4 二阶RC网络系统,15,思考： 能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？,串联,？,T12=0,直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia ，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程

8、中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与 激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua 相反。,2.4 他励直流电动机速度控制系统,例2.5,下面推导其微分方程式： （1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机 角速度为输出量； （2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系； （3）列写原始方程式 电枢回路方程：,电动机轴上机械运动方程：,J 电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩; ML 电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke ke 电势系数，由电动机结构参

9、数确定。 MD = km ia km 转矩系数，由电动机结构参数确定。 （5）消去中间变量，得,Ea = ke,令机电时间常数Tm :,令电磁时间常数Ta :,相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，即相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。,22,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 控制系统数学模型的概念,2.3 传递函数,2.2 微分方程描述,2.4 传递函数模型,2.5 结构框图模型,2.6 频率特性模型,23,2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义,定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之

10、比，称为该系统（环节）的传递函数。,系统微分方程与传递函数可以直接转换!,因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,我们就说这是物理不可实现的系统。,24,分母中S的最高阶次n即为系统的阶次。,25,下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出,单位脉冲输入信号的拉氏变换为1,单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为,单位脉冲输入信号下系统的输出为,系统传递函数的拉氏逆变换即为单位脉冲输入信号作用下系统的输出。系统在单位脉冲输入信号下的输出相应完全描述了系统的动态特性，所以是系统的数学模型。 在零初始条件下，线性定常系统在单位脉冲输入信号作用下的输出相

11、应，成为该系统的脉冲相应函数，记为g（t）,26,传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即nm； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。,27,2.3.2 传递函数的表示方式,1有理分式形式,2零极点形式,28,3时间常数形式,29,2.3.3 线性系统的基本环节,放大环节（比例

12、环节）：,积分环节：,微分环节：,惯性环节：,振荡环节：,一阶微分环节：,二阶微分环节：,滞后环节（纯时滞环节）：,一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不能单独存在的。,例2.3.1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ，,30,则微分方程为：,可用方框图表示,31,对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：,32,传递函数的一般形式 （考虑时间滞后情况）,不考虑时间滞后时（不存在输送带）：,考虑时间滞后时（存在输送带）：,33,惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近

13、所要求的输出值；,惯性环节与延迟环节的区别：,延迟环节从输入开始后在0时间内没有输出，在t =之后，才有输出。,34,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 系统数学模型的概念,2.3 传递函数,2.2 微分方程描述,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的MATLAB表示,35,2.4.1 结构图的概念和基本组成,控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式， 可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系 及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。 特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。,1 .概念,(3)比较点： 综合点，相加点 加号常省略，负号必须标出 (4)引出点：

14、一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。,36,2. 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。 （2）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数,37,例1利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,解：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：,3.结构图的绘制,绘图：ui(s)为输入，画在最左边。,38,这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。,若重新选择一组中间变量，会有什么结果

15、呢？ (刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2),39,从右到左列方程：,这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,40,绘图,4.结构图的等效变换 （1）串联,41,(2)并联,42,(3)反馈 这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负， 可能是正，我们用消去中间法来证明。,43,R(s),C(s),C(s),B(s),(s),44,以后我们均采用(s)表示闭环传递函数， 负反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子是前向通路传递函数。 正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子为前向通路传递函数。 单位负反馈时

16、，,45,（4）信号引出点的移动： 引出点从环节的输入端移到输出端,信号分支点的移动和互换,46,信号相加点和分支点的移动和互换,引出点从环节的输出端移到输入端：,注意： 相临的信号相加点位置可以互换；见下例,47,信号相加点和分支点的移动和互换,同一信号的取出点位置可以互换：见下例,相加点和分支点在一般情况下，不能互换。,常用的结构图等效变换见表2-1,所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。,48,例2利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,总的结构图如下：,49,为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：,50,51,解：结构图等

17、效变换如下：,例3系统结构图如下，求传递函数 。,52,结构图等效变换例子|例2-12,53,结构框图的化简 例2.9,54,结构图的化简 例2.10,55,结构图的化简 例2.11,56,2.4.4 反馈控制系统的传递函数,57,反馈控制系统的误差传递函数,R(s),E(s),E(s),N(s),2.5 信号流图,信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。,58,59,回路(闭通路)：起点和终点为同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。,互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回

18、路。,信号流图的术语,通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。,回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。,60,信号流图的等效变换,61,信号流图的等效变换,信号流图的性质,节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向支路的信号均用该节点的变量表示。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。 对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此

19、信号流图不是唯一的,62,信号流图的性质,63,信号流图的绘制,信号流图的绘制： 根据结构图 例1 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。,64,信号流图的绘制, 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制。如前例所对应的代数方程为,按方程可绘制信号流图,65,梅逊公式的推导,梅逊公式的推导,如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为,以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程,66,于是可求得该方程组的系数行列式,和,梅逊公式的推导,67,根据克莱姆法则得,于是传递函数为,分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，

20、而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。,梅逊公式的推导,68,图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和）,所有单独回路增益之和为,两两互不接触回路增益乘积之和为,而值恰好为,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征。,梅逊公式的推导,69,如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示,梅逊公式的推导,70,故用信号流

21、图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为,梅逊公式的推导,传递函数的分子等于系数行列式除以R(s)。而 恰好为,71,梅逊公式,用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数） 其表达式为：,式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：,梅逊公式,72,（正负号间隔）,式中： 流图中所有不同回路的回路传输之和； 所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和；,所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；,第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；,梅逊公式,73,梅逊公式|例2-13a,解：前向通道有一条； 有一个回路；,例1求速度控制系统的总传输 。