初三数学圆经典例题

1、.一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两

2、个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例1 在abc 中，acb=90,ac=2,bc=4，cm是ab边上的中线，以点c为圆心，以为半径作圆，试确定a,b,m三点分别与c有怎样的位置关系，并说明你的理由。mabc例2已知，如图，cd是直径，ae交o于b，且ab=oc，求

3、a的度数。doebac例3 o平面内一点p和o上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦abcd，ab=6cm，cd=8cm，则ab和cd的距离是多少？例5 如图,o的直径ab和弦cd相交于点e，已知ae=6cm，eb=2cm,，abdcoe求cd的长例6.已知：o的半径0a=1，弦ab、ac的长分别为，求的度数例7.如图，已知在中，ab=3cm，ac=4cm，以点a为圆心，ac长为半径画弧交cb的延长线于点d，求cd的长bdac例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度ab16cm，拱高cd4cm，那么拱形的半径是m。.思考题如图所示,已知o的半径

4、为10cm，p是直径ab上一点,弦cd过点p,cd=16cm,过点a和b分别向cd引垂线ae和bf,求ae-bf的值.abdcepfo二垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】

5、例1 如图ab、cd是o的弦，m、n分别是ab、cd的中点，且abdconm求证：ab=cd例2已知，不过圆心的直线交o于c、d两点，ab是o的直径，ae于e，bf于f。求证：ce=df 例3 如图所示，o的直径ab15cm，有一条定长为9cm的动弦cd在弧amb上滑动（点c与点a，点d与b不重合），且cecd交ab于e，dfcd交ab于f。（1）求证：aebfoabcdefm（2）在动弦cd滑动的过程中，四边形cdef的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例4 abcdpo。.如图，在o内，弦cd与直径ab交成角，若弦cd交直径ab于点p，且o半径为1，

6、试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.例5.如图所示，在o中，弦abac，弦bdba，ac、bd交直径mn于e、f.求证：me=nf.oabdcefmnabmncp例6.（思考题）如图，与交于点a，b，过a的直线分别交，于m,n，c为mn的中点，p为的中点，求证：pa=pc.三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周

7、角等于它所对的圆心角的一半eg: 如下三图，请证明。 13.如图，已知a、b、c、d是o上的四个点，abbc，bd交ac于点e，连接cd、ad（1）求证：db平分adc； （2）若be3，ed6，求ab的长 14.如图所示，已知ab为o的直径，cd是弦，且abcd于点e连接ac、oc、bcedbaoc（1）求证：aco=bcd （2）若eb=，cd=，求o的直径15.如图，在rtabc中，acb90，ac5，cb12，ad是abc的角平分线，过a、c、d三点的圆与斜边ab交于点e，连接de。（1）求证：acae；acbde（2）求acd外接圆的半径。16.已知：如图等边内接于o，点是劣弧上的一

8、点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如图，请你判断是什么三角形？并说明理由（2）若不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？aocdpb图aocdpb图四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）abefoopoco1o2odo例1如图所示，点o是epf的平分线上一点，以o为圆心的圆和角的两边分别交于a、b和c、d，求

9、证：ab=cd例2、已知：如图，ef为o的直径，过ef上一点p作弦ab、cd，且apf=cpf。求证：pa=pc。oabc例3如图所示，在中，a=，o截的三条边长所得的三条弦等长，求boc.例4如图，o的弦cb、ed的延长线交于点a，且bc=de求证：ac=ae ocaebd例5如图所示，已知在o中，弦ab=cb，abc=，odab于d，oebc于e求证：是等边三角形oadebc例6.如图所示，已知abc是等边三角形，以bc为直径的o分别交ab、ac于点d、e。（1）试说明ode的形状；（2）如图2，若a=60，abac，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。例7弦dfac，ef的延长线交bc的

10、延长线于点g.（1）求证：bef是等边三角形；aobedcgf（2）ba=4，cg=2，求bf的长.例8已知：如图，aob=90，c、d是弧ab的三等分点，ab分别交oc、od于点e、f。求证：ae=bf=cd。六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 oa l 于a， oa为半径 l 为o的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线

11、是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形abcd中，点o在对角线ac上，以oa的长为半径的圆o与ad、ac分别交于点e、f，且acb=dce(1)判断直线ce与o的位置关系，并证明你的结论；(2)若ab=3,bc=4,de=dc，求o的半径2.如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆 于点，交于点使（1）判断直线与圆的位置关系，并

12、证明你的结论；caobed3.如图，已知r tabc，abc90，以直角边ab为直径作o，交斜边ac于点d，连结bd（1）取bc的中点e，连结ed，试证明ed与o相切（2）在（1）的条件下，若ab3，ac5，求de的长；acbdeo4.如图，已知ab是o的直径，点c在o上，过点c的直线与ab的延长线交于点p，ac=pc，cob=2pcb. （1）求证：pc是o的切线； （2）求证：bc=ab；5.如图，在abc中，ab=ac，d是bc中点，ae平分bad交bc于点e，点o是ab上一点，o过a、e两点, 交ad于点g，交ab于点fbacdegof（1）求证：bc与o相切；（2）当bac=120时

13、，求efg的度数6.如图，四边形abcd是平行四边形，以ab为直径的o经过点d，e是o上一点， （1）若aed45试判断cd与o的关系，并说明理由（2）若aed=60,ad=4，求o半径。abcdeo7.在rtacb中，c=90，ac=3cm，bc=4cm，以bc为直径作o交ab于点d.（1）求线段ad的长度；（2）点e是线段ac上的一点，试问当点e在什么位置时，直线ed与o相切？请说明理由.odcba8.如图，已知abc内接于o，ac是o的直径，d是的中点，过点d作直线bc的垂线，分别交cb、ca的延长线e、ffadebco（1）求证：ef是o的切线；（2）若ab8，eb2，求o的半径如图，

14、已知o是abc的外接圆，ab为直径，若paab，po过ac的中点m，求证：pc是o的切线。20. 已知：ab是o的弦，odab于m交o于点d，cbab交ad的延长线于c（1）求证：addc；（2）过d作o的切线交bc于e，若de2，ce=1，求o的半径20在rt中，f=90，点b、c分别在ad、fd上，以ab为直径的半圆o 过点c，联结ac，将afc 沿ac翻折得，且点e恰好落在直径ab上.（1）判断：直线fc与半圆o的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若ob=bd=2,求ce的长20如图所示，ab是o的直径，od弦bc于点f，且交o于点e，若aec=odb（1）判断直线bd和o的位置关系，

15、并给出证明；（2）当ab=10，bc=8时，求bd的长（20题图） 20已知：如图，在abc中，ab=ac，以ab为直径的o分别交bc、ac于点d、e，联结eb交od于点f（1）求证：odbe；（2）若de=，ab=5，求ae的长20. 如图，ab是的直径，m是oa上一点，过m作ab的垂线交ac于点n,交bc的延长线于点e,直线cf交en于点f,且（1）证明cf是的切线(2) 设o的半径为1且ac=ce,求mo的长. 21.如图，ab bc cd分别与圆o切于e f g且ab/cd，连接ob oc，延长co交圆o于点m，过点m作mn/ob交cd于n求证 mn是圆o切线当ob=6cm，oc=8c

16、m时，求圆o的半径及mn的长七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别aaoacadabapa 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，pa、pb切o于a、b两点，pa=pb po平分考点3 两个结论： 圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例1 已知pa、pb、de分别切o于a、b、c三点

17、，若po=13，的周长为24，aepdbco求：o的半径；若，的度数例2 如图，o分别切的三边ab、bc、ca于点d、e、f，若efdcoab（1）求ad、be、cf的长；（2）当，求内切圆半径refdcoab例3如图，一圆内切四边形abcd，且ab=16，cd=10，则四边形的周长为？例4 如图甲，直线与轴相交于点a，与y轴相交于点b，点c是第二象限内任意一点，以点c为圆心与圆与轴相切于点e，与直线ab相切于点f.（1）当四边形obce是矩形时，求点c的坐标；（2）如图乙，若c与轴相切于点d，求c的半径r；（3）求m与n之间的函数关系式；（4）在c的移动过程中，能否使是等边三角形（只回答“能

18、”或“不能”）？八三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）oa=ob=oc；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）oa、ob、oc分别平分bac、abc、acb；（3）内心在三角形内部考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形abc内切圆o的半径为.

19、2、一般三角形已知三边，求abc内切圆o的半径r. （海伦公式s ， 其中s=)例1如图，abc中，a=m （1）如图（1），当o是abc的内心时，求boc的度数； （2）如图（2），当o是abc的外心时，求boc的度数；（3）如图（3），当o是高线bd与ce的交点时，求boc的度数例2如图，rtabc中，ac=8，bc=6，c=90，i分别切ac，bc，ab于d，e，f，求rtabc的内心i与外心o之间的距离考点速练21如图，在半径为r的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）a（）nr b（）nr c（）n1r d

20、（）n1r 3如图，已知abc的内切圆o分别和边bc，ac，ab切于d，e，f，如果af=2，bd=7，ce=4 （1）求abc的三边长；（2）如果p为弧df上一点，过p作o的切线，交ab于m，交bc于n，求bmn的周长十圆与圆位置的关系考点速览：1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为r和r，圆心距为d）外离外切相交内切内含图形o1o2o1o2o1o2o1o2o1o2公共点0个1个2个1个0个d、r、r的关系外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2有关性质： （1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的

21、公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁外公切线内公切线3相交两圆的性质 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例1、如图，已知与相交于a、b两点，p是上一点，pb的延长线交于点c，pa交于点d，cd的延长线交于为n.（1）过点a作ae/cn交于点e.求证：pa=pe.pabcend（2）连接pn，若pb=4，bc=2，求pn的长.例2 如图，在中，圆a的半径为1，若点o在bc边上运动（与点b、c不重合），设的面积为y.（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（2）

22、以点o为圆心，bo长为半径作o，当圆o与a相切时，求的面积.obca课堂练习：1.已知o1与o2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 a外离 b外切 c相交 d内切2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）abc或d或3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） a外离 b外切相交 d内含 5.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）a内切 b相交 c外切 d外离6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是a11b7c4d3十一.圆的有关

23、计算考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用例1 如图，rtabc的斜边ab=35，ac=21，点o在ab边上，ob=20，一个以o为圆心的圆，分别切两直角边边bc、ac于d、e两点，求弧de的长度 有关阴影部分面积的求法coabde例2 如图所示，等腰直角三角形的斜边，是的中点，以为圆心的半圆分别与两腰相切于、求圆中阴影部分的面积求曲面上最短距离例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从a点出发，绕侧面一周又回到a点，它爬行的最短路线长是（ ） a2 b4 c4 d5求圆锥的侧面积例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”

24、一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径ab=12cm，高bc=8cm，求这个零件的表面积（结果保留根号）三、应用与探究：aocb1如图所示，a是半径为1的o外一点，oa=2，ab是o的切线，b为切点，弦bcoa，连结ac，求阴影部分的面积 2已知：如图，abc中，acbc，以bc为直径的o交ab于点d，过点d作deac于点e，交bc的延长线于点f 求证：（1）adbd； （2）df是o的切线3如图，在rtabc中，b90，a的平分线与bc相交于点d,点e在ab上，de=dc,以d为圆心，db长为半径作d（1）ac与d相切吗？并说明理由（2）你能找到ab、be、ac之间的数量关系吗？为什么

25、？4、如图，已知：内接于o，点 在的延长线上，（1）求证：是o的切线； （2）若，求的长圆的综合测试一：选择题1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（ ）a.4个 b.3个 c.2个 d.1个2下列判断中正确的是（ ）a.平分弦的直线垂直于弦 b.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧c.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧d.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3如上图，已知o的弦ab、cd相交于点e，的度数为60，的度数为100，则aec等于（ ）a.60 b.100 c.80 d.1304圆内接四边形ab

26、cd中，a、b、c的度数比是2:3:6，则d的度数是（ ）a.67.5 b.135 c.112.5 d.1105.过o内一点的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则的长为( ). a、b、c、d、6两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果p与这两个圆都相切，则p 的半径为( ) a.2 b.7 c.2或7 d.2或4.57abc的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则abc的面积为（ ）a.（abc）r b.2（abc） c.（abc）r d.（abc）r8已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）a.0d 3r b.r d 3r c.r d 3r d.r d 3r9.将一块弧长为p 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）cabdfoa b c d10.如图，圆 o中弦ab、cd相交于点f，ab=10，af=2，若cf:df=1:4，则cf的长等于（ ）。a b2 c3 d2dabcabcc11.有一张矩形纸片abcd，其中ad=4cm，上面有一个以ad为直径的 半圆，正好与对边bc相切，如图（甲），将它沿de折叠，使a点落在bc上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）a. bc d12.如图，两同心圆间