线性代数习题课

1、二次型知识网络图,二次型,矩阵表示 f = x TAx,标准形,正定二次型,化标准形,正定二次型,正定二次型,惯性定律,定义,充要条件,必要条件,惯性指数R（A）=r; 正惯性指数p; 负惯性指数q.,一、用正交变换化二次型为标准形,（1）写出二次型的矩阵A； （2）求A的特征值、特征向量； （3）对于A的各不相同的特征值所对应的特征向量已经正交，只需单位化；对于A的k 重特征值所对应的特征向量是线性无关的，需用施密特正交化方法将这k个线性无关的特征向量化成两两正交的单位向量； （4）用所求得的n 个两两正交的单位向量构造正交矩阵 P = (P1,P2,Pn) （5）令x = Py，则得标准形

2、f =1y12+2y22+ nyn2.,二、正定的判别法,（1）用定义，x 0 ,总有xTAx 0,（2）用顺次主子式全大于零；,（3）用n个特征值全大于零；,（4）用正惯性指数p = n；,（5）存在可逆矩阵C，使A = CTC.,例1设f=x12+4x22+4x32+2x1x22x1x3+4x2x3为正定二 次型，则的取值范围是_,解二次型对应的正定矩阵为,三、典型例题,1.填空题、选择题,解得21，故应填21,由正定矩阵的有关定理可知,例2、设二次型,则其秩为 ；,例3,a=,b=,_,_.,解,据题意，可知A的特征值为0，1，4,3,1,例4 设三阶实对称阵,（ ）,C,例5已知矩阵,

3、正定，其相似的对角矩阵为,解由于A正定，所以特征值为正数，故(C),(D)不成 立又因trA8，而1+3+48，1+2+58，但|A|10， 而13412，12510，故选（B).,B,2、化二次型为标准形,例6设， 均为实3维的单位列向量， 且T = 0，令A= T+T，求一个正 交变换将f = xTAx化成标准形,解因为， 为单位向量，且T = 0，故 的秩为2从而有x0,使得即,Tx = 0, Tx = 0,于是有,Ax= (T+ T) x= Tx+ Tx=0.,A =(T+ T) = T + T= ,A = (T+ T) = T + T = ,因此，A的特征值为1，1，0，对应的特征向

4、量为， ，x.,显然， A为实对称矩阵，所以存在正交变换 xPy，将f = xTAx化成标准形,由于T = 0， Tx = 0, Tx = 0,所以， ，x 两两正交，将x单位化得,则可得正交矩阵P=(, , )，作正交变换 x=Py，故x=Py将f = xTAx化成标准形为,f = xTAxy12+y22.,3、二次型正定性的判定,例7 设A为mn矩阵，若Ax=0有唯一解，试证 ATA为正定矩阵,证明 因为(ATA)T= AT(AT)T= ATA,所以ATA实对称矩阵，又因为Ax=0有唯一解,即零解.因此对任给n维列向量 x0，恒有Ax0，于是,xT(ATA)x= (Ax)T(Ax)=| Ax|0.,所以xT(ATA)x为正定二次型，故ATA为正 定矩阵,注：设A为nn阶可逆矩阵，或A为mn阶列满秩矩阵，则ATA为正定矩阵,例8设A为3阶实对称矩阵,且满足A2+2A=0,R(A)=2， 求A的全部特征值，k为何值时，A+kE为正定矩阵,解 设是A的特征值，x是A的关于所对应的特 征向量，则,(A2+2A)x=0 (2+2)x=0 (+2)=0,所以A的特征值为0和2又因为R(A)=2，所以有1=0，232,由此得A+