2007年数一真题试题+答案

1、2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)当时,与等价的无穷小量是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (B).(2) 曲线渐近线的条数为( )(A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (D).(3)如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是( )(A) . (B) .(C) . (D) . 答案： (C).(4)设函数在处连续,则

2、下列命题错误的是( )(A) 若存在,则. (B) 若存在,则.(C) 若存在,则存在. (D) 若存在,则存在. 答案： (D).(5)设函数在上具有二阶导数,且,令 ,则下列结论正确的是( )(A) 若,则必收敛. (B) 若,则必发散.(C) 若,则必收敛. (D) 若,则必发散.答案： (D).(6)设曲线(具有一阶连续偏导数),过第象限内的点和第象限内的点,为上从点到点的一段弧,则下列积分小于零的是( )(A) . (B) .(C) . (D) .答案： (B).(7)设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是( )(A) . (B) .(C) . (D) .答案： (A).(8)设

3、矩阵,则与( )(A) 合同,且相似. (B) 合同,但不相似.(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同,也不相似. 答案： (B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )(A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (C).(10)设随机变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表示的概率密度,则在条件下,的条件概率密度为( )(A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (A).二、填空题：1116小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(11) .答案： .(12)设为二元可微函数,

4、则 .答案：.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 .答案：非齐次线性微分方程的通解为.(14)设曲面,则 .答案：.(15)设距阵则的秩为 .答案：(16)在区间中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于的概率为 .答案： 三、解答题：1724小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分11分) 求函数在区域上的最大值和最小值.答案：函数在上的最大值为,最小值为.(18) (本题满分10分)计算曲面积分 其中为曲面的上侧.答案： .(19) (本题满分11分)设函数,在上连续,在内二阶可导且存在相等的最大值,又,证明：存

5、在使得证明：设,由题设存在相等的最大值,设, 使.若,即与在同一点取得最大值,此时,取,有；若,不妨设,则,且在上连续,则由零点定理得存在使得,即；由题设,则,结合,且在上连续,在内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知：存在使得.在再由罗尔定理,存在使.即.(20) (本题满分10分)设幂级数在内收敛,其和函数满足.(I) 证明.(II) 求的表达式.答案： (I) 证明：对,求一阶和二阶导数,得代入,得.即 .于是从而(II).(21) (本题满分11分)设线性方程组 与 方程 有公共解,求得值及所有公共解.答案：当时,所以方程组的通解为,为任意常数,此即为方程组(1)与(2)的公共解.当时,此

6、时方程组有唯一解,此即为方程组(1)与(2)的公共解.(22) (本题满分11分)设阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量.记,其中为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵.答案： (I)由,可得 ,是正整数,则,于是是矩阵的属于特征值特征向量. 所以的所有的特征向量为：对应于的全体特征向量为,其中是非零任意常数,对应于的全体特征向量为,其中是不同时为零的任意常数.(II) .(23)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为 (I) 求；(II)求的概率密度.答案： (I).(II) (24)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中参数未知,是来