高二数学教案：8.1椭圆及其标准方程(三)

1、课题： 8 1 椭圆及其标准方程（三）教学目的：1. 使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系2. 使学生掌握转移法 （也称代换法， 中间变量法， 相关点法） 求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决教学重点： 运用中间变量法求动点的轨迹教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1椭圆定义 ：平面内与两个定点 f1 , f2 的距离之和等于常数（大于| f1 f2 |）的点的轨迹叫作椭圆 ，这两个定点叫做 椭圆 的焦点 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距注意 : 椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点 - 两点间距离

2、确定（2）绳长 - 轨迹上任意点到两定点距离和确定p在同样的绳长下， 两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短， 则所画出的椭圆较圆 （f1f2圆 ）椭圆的形状与两定点间距离、 绳长有关 ( 为下面 离心率 概念作铺垫 )2. 椭圆标准方程：y（ 1） x2y2p1a2b2f1of2它 所 表 示 的 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 ， 焦 点 是xf1 ( c,0) f2 (c,0) ，中心在坐标原点的椭圆方程其中a 2c 2b 2ypf2（ 2） y2x21oa2b 2f1它 所 表 示 的 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 ， 焦 点 是f1 (0,c), f2

3、 (0,c) , 中心在坐标原点的椭圆方程其x中 a2c 2b 2在 x 2y 21 与 y 2x21这两个标准方程中，都有a b 0 的要求，如方程a 2b 2a2b 2x2y21(m0, n 0, mn) 就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，mn第 1页共 6页可与直线截距式xy1 类比，如 x2y 21中，由于 ab ，所以在 x 轴上的 “截距”aba2b2更大，因而焦点在x 轴上 (即看 x2 , y 2 分母的大小 )二、讲解范例：例 1如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点p 向 x 轴作垂线段 pp，求线段 pp的中点 m的轨迹（若 m分

4、pp之比为1 ，求点 m的轨迹）m 的坐标为2解：（ 1）当 m是线段 pp的中点时，设动点y( x, y) ，则 p 的坐标为 ( x,2 y)p因为点 p 在圆心为坐标原点半径为2 的圆上，m所以有x2(2 y)24 ，即x 2y21-2op 2x4所以点 m 的轨迹是椭圆，方程是x 2y 214（2）当 m分 pp之比为 1时，设动点 m的坐标为 ( x, y) ，则 p 的坐标为 (x, 3 y)22因为点 p 在圆心为坐标原点半径为2 的圆上，p所以有x 2( 3 y)24 ，即x 29 y21m2416-2o p2x所以点 m 的轨迹是椭圆，方程是x 29 y21416例2已知x

5、轴上的一定点（1,0），q为椭圆 x2y21上的动点，求aq中点m的轨迹a4方程解：设动点 m的坐标为 (x, y) ，则 q 的坐标为 (2x1,2 y)因为点 q 为椭圆 x 2yy21上的点，qm4(2x1)21) 2-2oa2 x所以有( 2y) 21 ，即 (x4 y 2142所以点 m 的轨迹方程是 ( x1 ) 24y 212第 2页共 6页例 3长度为2 的线段 ab 的两个端点 a、b 分别在 x 轴、 y 轴上滑动， 点 m分 ab的比为2 ，3求点 m的轨迹方程解：设动点 m 的坐标为 (x, y) ，则 a 的坐标为 (5 x,0)b 的坐标为 (0, 5 y)32因为

6、 | ab |2，y所以有(5x) 2(5y)24 ，即25x 225y24bm3294oax25 x225 y24所以点 m 的轨迹方程是94例 4已知定圆 x2y 6x550 ，动圆 m和已知圆内切且过点p(-3 ， 0) ，求圆心 m的轨迹及其方程分析：由两圆内切， 圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：mq8mpy上式可以变形为 mqmp8，又因为r 8mpq68 ，所以圆心 m的轨迹是以 p， q 为焦po q点的椭圆解已知圆可化为： x3 2y 264x圆心 q(3， 0) ， r8 ，所以p 在定圆内设动圆圆心为 m (x, y) ，则 mp 为半径又圆 m和

7、圆 q内切，所以mq 8mp ，即mq mp8 ，故 m的轨迹是以 p，q为焦点的椭圆， 且 pq中点为原点， 所以 2a8 ，b27 ，故动圆圆心 m的轨迹方程是：x 2y 21167三、课堂练习 ：（1）已知椭圆 x 2y21上一点 p到椭圆的一个焦点的距离为3，则 p 到另一个焦点的距2516离是 （）a.2b.3c.5d.7答案： dx2y2（）（2）已知椭圆方程为1, 那么它的焦距是2011a.6b.3c.331 d.31答案： a第 3页共 6页（3）如果方程 x2ky 22 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是a. （ 0， +） b.(0,2)c.(1,+ )d.

8、(0,1)答案： d(4) 已知椭圆的两个焦点坐标是f1（ -2 ， 0）， f2（ 2， 0），并且经过点 p（ 5 ,3），则椭22圆标准方程是 _答案： x2y21106（5）过点 a（ -1 ，-2 ）且与椭圆 x2y 21的两个焦点相同的椭圆标准方程是_答69案： x 2y 2136（6）过点p（3 ， -2 ）， q（ -23 ， 1）两点的椭圆标准方程是_答案： x 2y 21255四、小结 ：用转移法求轨迹方程的方法转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系五、课后作业：

9、1已知圆 x2y 2，从这个圆上任意一点p 向 y 轴作垂线段 ，求线段 的中点 m的轨迹 .选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想 .解：设点 m的坐标为 ( x, y) ，则点 p 的坐标为 ( 2x, y) . p 在圆 x2y 21 上， (2x) 2y 21，即x2y 21.14点 m的轨迹是一个椭圆4x 2y 212abc的两个顶点坐标分别是b(0 ，6)和 c(0 ，-6)，另两边 ab、ac的斜率的乘积是 - 4 ，9求顶点 a 的轨迹方程 .选题意图： 巩固求曲线方程的一般方法， 建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，

10、 训练根据条件对一些点进行取舍 .解：设顶点a 的坐标为 ( x, y) .第 4页共 6页依题意得y 6y64 ，xx9顶点 a 的轨迹方程为x2y 26) .811( y36说明：方程x2y2y 轴有两个交点，而此两交点为（，）与811对应的椭圆与36(0 ， 6) 应舍去 .3已知椭圆的焦点是f1 (1,0), f2 (1,0) ， 为椭圆上一点，且f1 f2 是 pf1 和pf2 的等差中项 .(1) 求椭圆的方程；(2) 若点 p 在第三象限，且pf1 f2 120，求 tan f1pf2 .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题解： (1) 由题设 pf1 pf2 f1f2 4 2a 4 ， 2 c=2， 3yx 2y 2p椭圆的方程为1.fof2431（）设 f1 pf2，则 pf2 f1 60 由正弦定理得：f1f2pf2pf1sinsin120sin(60)由等比定理得：f1 f2pf1pf2sinsin120sin(60)24sin3sin(60)2整理得： 5 sin3(1cos )sin3 故 tan31 cos522235