几何与代数课件：lec5-矩阵的代数运算

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,2,问题式预习、思考题,2. 矩阵的乘法与数的乘法之间有什么不同性质？,1. 矩阵的乘法除定义外还有其他运算方法吗？,2x y = 0 x +2y = 3,思考题：(1) 的矩阵形式(2),向量形式(3),请在平面上分别作图描述(1)和(3)的几何含义。,(1)和(3)中哪种形式的解更容易通过几何图形得到？,对任意向量b, 都有解吗？,3,思考题,2x y = 0 x +2y = 3,(1) 的矩阵形式(2),向量形式(3),请在平面上分别作图描述(1)和(3)的几何含义。,(1)和(3)中哪种形式的解更容易通过几何图形得到？,对任意向量b, 都有解吗？

2、,第一章 行列式和线性方程组的求解,4,问题1：2元线性方程组的Cramer法则能否推广到n元？,问题2：n阶行列式的定义和计算？,第二章 矩 阵,1. 矩阵的乘法与数的乘法之间有什么不同性质？,2. 方阵A可逆的充要条件有哪些？,3. 矩阵的秩反应了矩阵的什么本质特征？,4. 初等阵与初等变换有什么关系？,教学内容和学时分配,第二章 矩 阵,矩阵的基本概念,几种特殊的方阵,一. 矩阵的线性运算,三. 矩阵的转置,2.1 矩阵的代数运算,二. 矩阵的乘法,Amn = (aij)mn,1. 三角形矩阵,2. 对角矩阵, = diag(1, 2, , n),3.数量矩阵,4. 单位矩阵,En =

3、(ij), = (ij),= (i ij),5. 行阶梯矩阵,6. 行简化阶梯阵,主元全为1,主列为单位列向量.,0行最下方;主元列标随行标递增,1. 加法,注1: A, B同型.,C = A+B = (aij+bij)mn,注2: 负矩阵 A = (aij)mn,注3: 减法：,2. 数乘,kA = (kaij)mn =,向量: kl = (kailbi),(A, B是同型矩阵),kA lB = (kaij lbij)mn,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,2.1 矩阵的代数运算,一. 矩阵的线性运算,A B = A + (B),3. 性质,设A, B, C, O是同型矩阵, k, l是

4、数, 则,(1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB.,(9) kA = 0 k = 0 或 A=O.,(10) A + X = B X = B A.,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,20200 +50100 +30150 +25180,18000,二. 矩阵的乘法,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,C = AB

5、,18150,16750,10480,10240,9680,例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若aij表示从i市直达j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为,bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .,从 i 市经一次中转到达 j 市航线的条数 = ?,= A A,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,1. 设A = (aij)ms , B =(bij)sn , 则A与B的乘积是 C = AB = (cij)mn = ( Ai* B*j)= , 其中,注1: 时才有意义，且 .,计算C=AB.,例3. 设,解:,

6、第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,C = (A1 , A2),= A1+3A2,= (A1+3A2, 2A1, 3A1+A2),第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,2. 设A = (aij)ms , B =(bij)sn , 则A与B的乘积是 C = AB = (C1,C2,Cn) , 其中,A1,A2,As,Bj,Cj,计算C=AB.,例3. 设,解:,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,C =,C = (A1+3A2, 2A1, 3A1+A2),=,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,3. 设A = (aij)ms , B =(bij)sn , 则A与B的乘积是,C = AB ,

7、 其中,1. 设A = (aij)ms , B =(bij)sn , 则A与B的乘积是 C = AB = (cij)mn = ( Ai* B*j)=,(1) (kA)B = k(AB), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (3) (AB)C = A(BC).,注2:,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,2. C = AB = (C1,C2,Cn) , 其中,注1: 时才有意义，且 .,3. C = AB ,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算, 结合律的妙用之一,(还有“妙用之二”喔!),第二章 矩阵,2.1 矩

8、阵的代数运算,CB =？A = BC =？,A2011 =？,注3: 方阵的正整数幂：,A2=AA,Ak+1=AkA =AAk, 结合律的妙用之一,(还有“妙用之二”喔!),A2011 =,?,1,2,3,2,4,6,3,6,9,= 11 + 22 + 33,= 14.,A2011 = (BC)(BC)(BC)(BC)(BC)(BC),= B (CB)(BC)(CB)(CB) C,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,= 142010 BC,= 142010A,BC CB,AB = ( Ai* B*j)=,二. 矩阵的乘法,注4:,注5:,不一定都有意义,同型但不相等,当AB = BA时， 称

9、A,B可交换.,有意义但不同型,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,(AB)k,Ak Bk,(A+B)2,A2 + B2+2AB ,只有AB=BA时等式成立,(AB)k = AB AB AB,(A+B)2 = (A+B) (A+B) = A2 + B2+AB+BA,(A+B)(AB) = A2B2AB+BA A2B2,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,Ak Bk,注意!,注5:,注6：对角矩阵的性质, =,= (i ij),(ti ij),= (i ti ij),= (ti ij),(i ij),=,t1 0 0 0 t2 0 0 0 tn,1 0 0 0 2 0 0 0 n,1t1 0

10、 0 0 2t2 0 0 0 ntn,=,= (ti i ij),第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,注6：对角矩阵的性质, =,=,t1 0 0 0 t2 0 0 0 tn,1 0 0 0 2 0 0 0 n,1t1 0 0 0 2t2 0 0 0 ntn,=,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,Em Amn = Amn = Amn En,(a Em) Amn = a Amn = Amn (a En),设,则,注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.,例5,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,设,求 AB 及

11、AC.,解,注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C. 这说明消去律不成立!,例6,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,注7: 消去律一般不成立.,比如:,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,注意!,注意: (1)虽然A,B都是非零矩阵, 但AB = 0. (2)虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C. 这说明消去律不成立!,注8：方阵的多项式,设A为一个方阵, f(x)为一个多项式,称之为方阵A的一个多项式.,f(x) = asxs + as1xs1 + + a1x + a0,f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0E,例6：,

12、第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,第二章 矩 阵,2.1 矩阵的代数运算,一. 矩阵的线性运算,二. 矩阵的乘法,三. 矩阵的转置,kA lB = (kaij lbij)mn,AB = (Ai* B*j)=,矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行数列数,交换律一般不成立, =,消去律一般不成立,f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0E,(A+B)2,A2 + B2+2AB ,三. 矩阵的转置,1. 设矩阵A = (aij)mn,则矩阵A的转置 为,2. 性质：,(1) (AT)T = A,nm,(2) (A+B)T = AT + BT,(4) (AB)T = BTAT

13、.,(3) (kA)T = kAT,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,穿脱原理,3. 对称矩阵,满足 AT = A.,A = (aij)mn为对称矩阵 m = n且aij = aji (i, j = 1, 2, , n).,反对称矩阵A ：,满足 AT = A.,A = (aij)mn为反对称矩阵 A为方阵且aij = aji (i, j = 1, 2, , n).,比如：,为对称矩阵；,为反对称矩阵.,反对称矩阵对角线元素全为0,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,D =,= |A| |B|,= (1)mn |A| |B|,A,B为m,n阶矩阵,=,=,思考：能否利用这些结果证明 |A

14、B| = |A| |B|？ (其中A,B为n阶矩阵) (可先考虑 n=2的情况),第二章 矩阵,证. 设D =,分析：|AB| = |A| |B| (以A,B为2阶方阵为例证明),= |A| |B|,a11b11+a12b21,a11b12+a12b22,a21b11+a22b21,a21b12+a22b22,= |AB|,=(1)22|AB| |C|,第二章 矩阵,=,= |AB| (1)22 |C|,证. 设D =,分析： |AB| = |A| |B| (以A,B为2阶方阵为例证明),= |A| |B|,a11b11+a12b21,a11b12+a12b22,a21b11+a22b21,a

15、21b12+a22b22,= |AB|,=(1)22|AB| |C|,第二章 矩阵,=,= |AB| (1)22 |C|,1,0,0,1,1,0,0,1,=|AB| (1)nn(1)n,定理2.1(乘法定理) A,B为n阶方阵, |AB| = |A| |B|,|A| |B|=,=(1)n n,= (1)n(n+1)|AB|,= |AB|,第二章 矩阵,2.2 可逆矩阵,证：,注6：矩阵乘积的交换率一般不成立,A,B为n阶方阵, |AB| = |BA| ?,|AB| = |A| |B|,= |B| |A|,= |BA|,注7: 矩阵乘法的消去率一般不成立.,？,|AB| |E|,2. 矩阵的乘法与数的乘法之间有什么不同性质？,1. 矩阵的乘法除定义外还有其他运算方法吗？,2.1 矩阵的代数运算,C = AB = (cij)mn = ( Ai* B*j)=,C = AB = (C1,Cn) ,矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行数列数,交换律一般不成立, =,消去律一般不成立,(A+B)2,A2 + B2+2AB ,(A) 1(1-