01届 普通高等学校春季招生考试数学试卷（上海卷）(附解答)

1、绝密启用前2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分1函数的反函数_2若复数满足方程（是虚数单位），则=_3函数的最小正周期为_4二项式的展开式中常数项的值为_5若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_6圆心在直线上且与轴相切于点（1，0）的圆的方程为_7计算：=_8若向量，满足，则与所成角的大小为_9在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是_（结果用分数表示）10

2、若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选、都能成立的一个等式可以是_11关于的函数有以下命题： （1）对任意的，都是非奇非偶函数； （2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数； （3）存在，使是奇函数； （4）对任意的，都不是偶函数 其中一个假命题的序号是_因为当=_时，该命题的结论不成立12甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出

3、存款，则甲与乙所得本息之和的差为_元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13若、为实数，则是的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件14若直线的倾斜角为，则（ ）（A）等于0（B）等于（C）等于（D）不存在15若有平面与，且，则下列命题中的假命题为（ ）（A）过点且垂直于的直线平行于（B）过点且垂直于

4、的平面垂直于（C）过点且垂直于的直线在内（D）过点且垂直于的直线在内16若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（ ）（A）（B）（C）（D）三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（本题满分12分）已知为全集，求18（本题满分12分）已知，试用表示的值19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米（1）求关于的函数解析式；（2）设容器的容积为立方米，则当为何值时，最大？求出的最大值（求解本

5、题时，不计容器的厚度）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分 在长方体中，点、分别、上，且， （1）求证：；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试根据上述定理，在，时，求平面与平面所成的角的大小（用反三角函数值表示）21（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分已知椭圆的方程为，点的坐标满足过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求： （1）点的轨迹方程；（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数22（本题

6、满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和（1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立数学试卷答案要点及评分标准说明：1本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3给分或扣分均以1分为单位答案及评分

7、标准一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分123420567890910 11（1），；（1），；（4），等 （两个空格全填对时才能得分，其中也可以写成任何整数）12219.01二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分13A 14C 15D 16B三、（第17至22题）17解 由已知因为为减函数，所由解得所以由，解得所以于是故18解 因为 所以 因而 又，于是因此19解（1）设为正四棱锥的斜高 由已知 解得 （2） 易得 因为，所以 等式当且仅当，即时取得故当米时，有最大值，的最大值为立方米20证（1）因为，所在平面上的射影为由，得，同理可证因为所以 解（2）过

8、作的垂线交于，因为，所以设与所成的角为，则即为平面与平面所成的角由已知，计算得如图建立直角坐标系，则得点，因为与所成的角为所以 由定理知，平面与平面所成角的大小为21解（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为当时，设直线的斜率为，则的方程为由已知 （1） （2）由（1）得， （3）由（2）得， （4）由（3）、（4）及，得点Q的坐标满足方程 （5）当时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）显然点Q的坐标满足方程（5）综上所述，点Q的坐标满足方程设方程（5）所表示的曲线为L，则由得因为，由已知，所以当时，=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）

9、当时，0，曲线L与椭圆C没有交点因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内故点Q的轨迹方程为（2）由 解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）由 解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）22解（