苏科版八年级数学上第一章《全等三角形》解答题培优训练

1、苏科版八上第一章全等三角形解答题培优训练（一） 班级：_姓名：_得分：_一、解答题 1. (本题满分8分)如图，平面内有线段AB和一点P.按照要求，用无刻度的直尺和圆规作图，请保留作图痕迹(1)在图1中求作ABC，使AC=AB，且使点P到AB和AC的距离相等；(2)在图2中求作ABC，使点P到点A、点C的距离相等，且使ACB=12APB2. 如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上将ABC向左平移1格，再向上平移3格(1)请在图中画出平移后的ABC(2)利用网格在图中画出ABC的高CD和中线AE(3)图中BC与BC的关系是：_；(4)在平移过程中线段AC所扫过的面积为_3. 已知四边形ABCD中，

2、ABAD，BCCD，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于E，F(1)当MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1)，求证：AE+CF=EF(2)当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明小明第(1)问的证明步骤是这样的：延长DC到Q使CQ=AE，连结BQ，证出BAEBCQ得到BE=BQ，ABE=CBQ；再证BEFBQF，得到EF=FQ，证出EF=CF+CQ，即EF=CF+AE请你仿照小明的证题步骤完成第(

3、2)问的证明4. 如图，在ABC中，点E和点F在边BC上，连接AE，AF，使得EAC=ECA，BAE=2CAF(1)如图1，求证：BAF=BFA；(2)如图2，在过点C且与AE平行的射线上取一点D，连接DE，若AED=B，求证：BE=CD；(3)如图3，在(2)的条件下，当AEBC时，连接AD，过点A作AGAE且AG=CD，连接CG.过点E作EHAD于点H，EH交CG于点Q，若EQ=16，QH=9，求CE的长5. (1)如图1中，ABC=90，AB=BC，点B在直线上L上，过A、C两点作直线L的连线段垂足分别为点D、点E，求证：ADBBEC；(2)如图2，ABC中，ACB=90，AC=6，BC

4、=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点，点P与Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PEl于E，QF垂直l于F.问：点P运动多少时间时，PEC与QFC全等？请说明理由6. 如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，AB=2，CGBA交BA的延长线于点G.一个直角三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上(1)如图1，该直角三角尺的另一条直角边恰好经过点B时，求证：BF=CG；(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与线段AC边在同

5、一直线上，另一条直角边交段线BC边于点D，过点D作DE丄BA于点E，DHCG于点H求证：DF=CH；猜想并写出DE、DF、CG三者之间满足的数量关系，并证明你的结论(3)当三角尺沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，求出点D到AB、AC边的距离之和(不要解答过程，直接写出结果)7. 如图1，ABC中，AB=AC，BAC=90，D在ABC外，连BD、CD、AD，ADC=45(1)求证：BDCD；(2)如图2，点P在AD上，连BP，BP平分CBD，求证：AP=AC；(3)如图3，在(2)的条件下，过C作AC的垂线交AD于T，点Q在AC上，BQA=PQC，TC

6、=PQ=3，求AT的长8. 【提出问题】我们已经知道了三角形全等的判定方法(SAS,ASA，AAS，SSS)和直角三角形全等的判定方法(HL)，请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形(SSA)”的情形进行探究【探索研究】已知：在ABC和DEF中，AB=DE，AC=DF，B=E(1)如图，当B=E=90时，根据_，可知RtABCRtDEF；(2)如图，当B=E90时，ABC与DEF是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例【归纳总结】(4)如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是_时，这两个三角形一定全等(填序号)锐角；直角；钝角9.

7、阅读下面材料，完成(1)-(3)题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正ABC边AC上一点以BE为边做正BDE，连接CD.探究线段AE与CD的数量关系，并证明同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现ABE与DBC相等”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分ACD.”老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD=DF(如图2)，如果BD=BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系”(1)求证：ABE=DBC；(2)求证：线段BC平分ACD；(3)探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明10. 已

8、知：如图，四边形ABCD中，AD/BC，ABC=90 (1)如图1，若ACBD，且AC=5，BD=3，求S四边形ABCD(2)如图2，若DEBC于E，BD=BC，F是CD的中点，求证：BAF=BCD11. 如图，已知在ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B点向C点运动，同时，点A在线段CA上由点C向点A运动 (1)如果点P、Q的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，BPD与CQP是否全等？请说明理由；(2)若点P的运动速度为2厘米/秒，点Q的运动速度为2.5厘米/秒，是否存在某一个时刻，使得BPD与CQP全等？如果存在请求出这一时刻并证明；如果不存在，请

9、说明理由答案和解析解：(1)满足AC=AB的点C的轨迹满足点P到AB、AC距离相等的点C1的轨迹满足点P到AB、AC距离相等的点C2的轨迹(2)满足点P到点A、C距离相等的点C的轨迹：满足ACB=12APB的点C的轨迹 2. 平行且相等 22 解：(1)如图所示，ABC即为所求(2)如图所示，高CD和中线AE即为所求(3)依据平移的性质可得，BC与BC平行且相等，故答案为：平行且相等；(4)在平移过程中线段AC所扫过的面积=14+36=22，故答案为：22 3. 解：图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在BAE与BCK中，AB=BCBAE=BCkAE=CK BA

10、EBCK(SAS)，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60，ABC=120，FBC+ABE=60，FBC+KBC=60，KBF=FBE=60，在KBF与EBF中BK=BEKBF=ABFBF=BF KBFEBF(SAS)，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，同理可证：AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF 4. (1)证明：如图1中，设CAF=x，则BAE=2x，设EAC=C=yBAF=BAE+EAF，EAF=y-x，BAE=2x，BAF=x+y，BFA=C+CAF=x+y，BAF=BFA(2)证明：如图2中，AEC=AED+DEC=B+BAE，AED=B，BAE=D

11、EC，AE/CD，AEB=ECD，EAC=ECA，AE=EC，AEBECD(ASA)，BE=CD(3)解：如图3中，延长CD交GA的延长线于M，延长EH交AM于J，连接DJAEBECD，AEB=ECD，BE=CD，AGAE，AEBC，EAM=AEC=ECM=90，四边形AECM是矩形，EA=EC，四边形AECM是正方形，AM=AE=CM=EC，EAJ=M=90，ADEH，AHE=90，AEJ+EAH=90，MAD+EAH=90，MAD=AEJ，EAJAMD(ASA)，AJ=DM，AD=EJ，AG=CD，GJ=CM=EC，GM/EC，GJQ=QEC，GQJ=CQE，GQJCQE(AAS)，EQ=

12、QJ=16，EJ=32，AD=EJ=32，S四边形AEDJ=12ADEJ=512，EH：HJ=25：7，SADE=2532S四边形AEDJ=400，12S正方形AECM=400，12EC2=400，EC=202 5. (1)证明：ADl，CEl，ADB=BEC=ABC=90，DAB+DBA=90，DBA+CBE=90，DAB=CBE，又AB=BC，ADBBEC，(2)解：设运动时间为t秒时，PEC与QFC全等，斜边CP=CQ，有四种情况：P在AC上，Q在BC上，如图2所示：CP=6-t，CQ=8-3t，6-t=8-3t，t=1；P、Q都在AC上，此时P、Q重合，如图3所示：CP=6-t=3t-

13、8，t=3.5；P在BC上，Q在AC时，此时不存在；如图4所示：理由是：8316，Q到AC上时，P应也在AC上；当Q到A点(和A重合)，P在BC上时，如图5所示：CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，t-6=6 t=12 t14 t=12符合题意即点P运动1或3.5或12秒时，PEC与QFC全等 6. 解：(1)如图1；证明：在ABF和ACG中F=G=90，FAB=GAC，AB=ACABFACG(AAS)BF=CG；(2)如图2，DHC=G=90，DH/BG，MDC=B，AB=AC，B=ACB，MDC=MCB，MD=MC，在FMD与HMC中F=MHC=90FMD=HMCMD=MC，FMDH

14、MC，FD=HC；DE+DF=CG；过点D作DHCG于点H(如图2)DEBA于点E，G=90，DHCG四边形EDHG为矩形DE=HG，DH/BGGBC=HDC AB=AC FCD=GBC=HDC 又F=DHC=90，CD=DCFDCHCD(AAS)DF=CH GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；(3)过点D作DHCG于点H(如图3)DEBA于点E，G=90，DHCG四边形EDHG为矩形，DE=HG，DH/BG，GBC=HDC，AB=AC，FCD=GBC=HDC，又F=DHC=90，CD=DC，FDCHCD(AAS)DF=CH，GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CGAB=

15、2，CG=3，即点D到AB、AC边的距离之和是3 7. 解：(1)如图，过点A作AHAD，交DC的延长线于点H，AHAD，ADC=45，H=ADC=45，AD=AH，BAC=DAH=90，DAB=CAH，且AD=AH，AB=AC，ABDACH(SAS)H=ADB=45，ADC=ADB+ADC=90，BDCD；(2)由(1)知，ADB=45，BP平分CBD，CBP=DBP，且ABC=ADB=45，ABC+CBP=ADB+PBD，ABP=APB，AB=AP，AC=AP，(3)如图3中，在TA上截取一点H，使得AH=AQ，连接CH，设BQ交AD于OAC=AP，CAH=PAQ，AH=AQ，AQHAHC

16、(SAS)，PQ=CH，AQH=AHC，CQH=CHP，PQ=CT，CH=CT，CHT=CTH=AQO，AQO+CQO=180，CQO+CTO=180，QOP+QCP=90，ACT=90，QOP=AOQ=90，QAO+AQO=90，ABQ+AQB=90，CAT=ABQ，BAQ=ACT=90，AB=AC，ABQCAT(ASA)，AQ=CT=PQ，QOAP，AQO=OQP=CQP=60，ATC=AQB=60，CAT=30，AT=2TC=6 8. HL 不一定 解：(1)在RtABC和RtDEF中，AB=DEAC=DF，RtABCRtDEF(HL)，故答案为HL(2)如图中，通过作图，可知ABC与D

17、EF不一定全等(3)结论：ABCDEF理由：如图中，作AGCB交CB的延长线于G，作DHFE交FE的延长线于HABC=DEF，ABG=DEH，G=H=90，AB=DE，ABGDEH，AG=DH，AC=DF，RtACGDFH，C=F，ABC=DEF，AB=DE，ABCDEF 9. (1)证明：ABC，DEB都是等边三角形，ABC=EBD=60，ABE+EBC=EBC+CBD，ABE=CBD(2)证明：ABC，DEB都是等边三角形，BA=BC，BE=BD，BAC=ACB=60，ABE=CBD，ABECBD(SAS)，BAE=BCD=60，ACB=BCD=60，CB平分ACD(3)解：结论：EC+1

18、2BE=BC理由：DA=DF，可以将DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到DMA，连接AMDA=DF，BD=BF，DAF=F=BDF，BCD=ABC=60，CD/AB，CDF=DAF，MDA=BDF=F=DAB，MDA=CDA，D，C，M共线，AMD=DBF=CDB，ACM=BCD=60，AM=DM=BD=BF，AMCBDC(AAS)，CM=DC=12BD=12BE，ABECBD，AE=CD，BC=AC=EC+AE=CE+CD=CE+12BE，EC+12BE=BC 10. 解：(1)如图1，记AC，BD的交点为O，ACBD，BD=3，AC=5，S四边形ABCD=SABD+SCBD =

19、12AOBD+12BDOC=12BD(OA+OC) =12BDAC =7.5；(2)连接BF、EF，可证：ADFBEF(SAS)，FA=FB，FAB=FBA，BD=BC，F是CD的中点，BFCD，AFE=DFB=90，在四边形ABFD中，ABF+ADF=180，又BCD+ADF=180，ABF=BCD=BAF 11. (1)解：BPD与CQP全等理由：当t=1秒时BP=CQ=3，CP=8-3=5，D为AB中点，BD=12AC=5=CP，AB=AC，B=C，在BDP和CPQ中BD=CPB=CBP=CQ，BDPCPQ(SAS)(2)解：假设存在时间t秒，使BDP和CPQ全等，则BP=2t，BD=5，CP=8-2t，CQ=2.5t，BDP和CPQ全等，B=C，2t=8-