小学奥数—同余问题

1、4 个量的关系。最新 料推荐数论之同余问题余数 是数 知 板 中另一个内容丰富， 目 度 大的知 体系，也是各大杯 小升初考 必考的奥数知 点，所以学好本 于学生来 非常重要。 多孩子都接触 余数的有关 ，并有不少孩子 “遇到余数的 就基本 菜了！”余数 主要包括了 余除法的定 ，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的 用。知 点 ：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b 0） , 若有 a b=q r ，也就是a b q r,0 r b；我 称上面的除法算式 一个 余除法算式。 里：(1) 当 r 0 ：我 称

2、a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完全商(2) 当 r 0 ：我 称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的 余除法 解模型 :如 ， 是一堆 ，共有a 本， 个a 就可以理解 被除数， 在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色， 打包后共打包了c 捆，那么 个c 就是商，最后 剩余d 本， 个d 就是余数。 个 能 学生清晰的明白 余除法算式中并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分 除以 c 的余数之和，或 个和除以c 的余数。例如： 23， 16 除

3、以 5 的余数分 是3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大 ，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如： 23， 19 除以 5 的余数分 是3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2.2. 余数的乘法定理a 与 b 的乘 除以 c 的余数，等于a,b 分 除以 c 的余数的 ，或者 个 除以c 所得的余数。例如： 23， 16 除以 5 的余数分 是3 和 1，所以 23 16 除以 5 的余数等于 3 1=3。当余数的和比除数大 ，所求的余数等于余数之 再除以c 的余数。例

4、如： 23，19 除以 5 的余数分 是3 和 4，所以 23 19除以 5 的余数等于3 4 除以 5 的余数，即 2.1最新 料推荐3. 同余定理若两个整数a、b 被自然数m除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m同余，用式子表示为：a b ( modm ) ，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a， b 除以同一个数m得到的余数相同，则a， b 的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a b ( mod m )，那么一定有a b mk,k 是整数，即m|(a b)三、弃九法原理：在公元前9 世纪，有个印度数学家名

5、叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式123418981789028899231234 除以 9 的余数为11898 除以 9 的余数为818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为7178902 除以 9 的余数为0这些余数的和除以9 的余数为2而等式右边和除以9 的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9 的

6、余数的和再除以9 的余数一定与等式右边和除以9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法” 。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确

7、。例如：检验算式9+9=9 时，等式两边的除以9 的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。2最新 料推荐四、中国剩余定理：1. 中国古代趣 ：中国数学名著 子算 里有 的 ：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二， 物几何？”答曰：“二十三。”此 我 可以称 “物不知其数” 型，又被称 “ 信点兵”。 信点兵又称 中国剩余定理，相 高祖刘邦 大将 信 御兵士多少， 信答 ，每3 人一列余 1 人、 5 人一列余 2 人、 7 人一列余 4 人

8、、 13 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。我 先考 下列的 ：假 兵不 一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人一列都剩 3 人， 兵有多少？首先我 先求 5、 9、 13、 17 之最小公倍数 9945（注：因 5、 9、 13、 17 两两互 的整数，故其最小公倍数 些数的 ） ，然后再加 3，得 9948（人）。 子算 的作者及确 著作年代均不可考，不 根据考 ，著作年代不会在晋朝之后，以 个考 来 上面 种 的解法，中国人 得比西方早，所以 个 的推广及其解法，被称 中国剩余定理。中国剩余定理（ Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象

9、代数学中占有一席非常重要的地位。2. 核心思想和方法： 于 一 ，我 有一套看似繁 但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我 就以 子算 中的 例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二， 物几何？ 目中我 可以知道，一个自然数分 除以3，5，7 后，得到三个余数分 2，3，2. 那么我 首先构造一个数字，使得 个数字除以3 余 1，并且 是5 和 7 的公倍数。先由 5735，即 5 和 7 的最小公倍数出 ，先看35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就 看5 和7 的“下一个”倍数35 270 是否可以，很 然70 除以 3 余 1 似的，我 再构造一

10、个除以5 余 1，同 又是3 和 7 的公倍数的数字， 然21 可以符合要求。最后再构造除以7 余 1，同 又是3， 5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以 算：270321245k3,5,7233k3,5,7 ，其中 k 是从 1 开始的自然数。也就是 足上述关系的数有无 多，如果根据 情况 数的范 加以限制，那么我 就能找到所求的数。例如 上面的 加上限制条件“ 足上面条件最小的自然数”，那么我 可以 算2703212452 3,5,723 得到所求如果加上限制条件“ 足上面条件最小的三位自然数”,3最新 料推荐我们只要对最小的23 加上 3,5,7即可，即23+105=1

11、28。例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1 】( 第五届小学数学报竞赛决赛) 用某自然数a 去除 1992 ，得到商是46，余数是 r ，求 a 和 r 【解析】因 为 1992 是 a 的 46 倍还多 r , 得到 19924643.14，得 1992464314 ，所以 a43 ，r14 【巩固】 (清华附中小升初分班考试 )甲、乙两数的和是 1088，甲数除以乙数商 11余 32 ，求甲、乙两数【解析】 ( 法 1) 因为 甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088；则乙(108832)1288 ，甲1088乙1000( 法 2) 将

12、余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088 中减掉 32 以后， 1056 就应当是乙数的 (11 1) 倍，所以得到乙数1056 1288，甲数1088881000【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题- 即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273 ，说明273 是所求余数的倍数，而273=37 13，所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有39，

13、91.【例 2】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、2003除数、商与余数之和为，则被除数是多少？2113【解析】被除数除数 商余数被除数除数 +17+13=2113，所以被除数除数 =2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（ 2083-13 ）（ 17+1） =115，所以被除数=2083-115=1968 【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这 2 个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ，可

14、以得到x40 y 16, 解方程组得x856856，21.xy40 16y，即这两个自然数分别是93321【例 3 】(2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题) 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_， _， _ 。【解析】设所得的商为a，除数为b (19a b) (23ab) (31ab)2001，73a3b，由b 19，2001可求得a27，b 10所以，这三个数分别是19a b523，23a b，31a b847。6314最新 料推荐【巩固】 ( 2004 年福州市“迎春杯”小学数学 )一个自然数，除以11 所得到的商

15、和余数是相等的，除以9 所得到的商是余数的3 倍， 个自然数是_【解析】 设 个自然数除以11 余 a (0a11) ，除以 9 余 b (0b9) ， 有 11aa93bb ，即 3a7b ，只有 a7， b3 ，所以 个自然数 12784。【例 4 】(1997 年我 数学少年数学夏令 ) 有 48 本 分 两 小朋友，已知第二 比第一 多5人如果把 全部分 第一 ，那么每人4 本，有剩余；每人 5 本， 不 如果把 全分 第二 ，那么每人3 本，有剩余；每人4 本， 不 ：第二 有多少人?【解析】由 48 4 12 ， 485 9.6 知，一 是10 或 11 人同理可知48 3 16

16、， 484 12 知，二 是13、 14 或 15 人，因 二 比一 多 5人，所以二 只能是15 人，一 10 人【巩固】一个两位数除以 13 的商是6，除以 11 所得的余数是 6，求 个两位数【解析】因 一个两位数除以13 的商是 6，所以 个两位数一定大于 13 678 ，并且小于 13 (6 1)91；又因 个两位数除以11余 6，而 78 除以 11 余 1， 个两位数 78 5 83 【模块二：三大余数定理的应用】【例 5 】有一个大于1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求 个数.【解析】这个 没有告 我 ， 三个数除以 个数的余数分 是多少，但是由于所得的余数相同

17、，根据同余定理，我 可以得到： 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意两数差的公 数 101 45 56 ， 59 45 14， (56,14) 14 ， 14 的 数有 1,2,7,14 ，所以 个数可能 2,7,14 。【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求 个数 .【解析】 ( 法 1) 39 336， 147 3144 ， (36,144)12 ， 12 的 数是 1,2,3,4,6,12，因 余数 3 要小于除数， 个数是4,6,12 ；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意两数差的公

18、数513912 ， 14739108 ， (12,108)12 ，所以 个数是4,6,12 【巩固】在小于 1000 的自然数中，分 除以18 及 33 所得余数相同的数有多少个?( 余数可以 0)【解析】 我 知道 18， 33 的最小公倍数 18 ， 33=198 ，所以每198 个数一次1 198 之 只有1， 2， 3， 17， 198( 余 O)这 18 个数除以18 及 33 所得的余数相同，5最新 料推荐而 999 198=5 9，所以共有5 18+9=99 个 的数【巩固】 ( 2008 年仁 考 ) 一个三位数除以17 和 19 都有余数，并且除以17 后所得的商与余数的和等

19、于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么 的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设 个三位数 s，它除以 17 和 19的商分 a 和 b ，余数分 m 和 n ， s17am 19b n 根据 意可知 ambn ，所以 samsbn，即 16a18b，得 8a9b所以 a 是 9的倍数， b 是 8 的倍数此 ，由ambn 知 nmaba81aa99由于 s 三位数，最小 100，最大 999，所以 10017am999 ，而 1m16，所以 17a 1 17a m999 ， 10017am17a16 ，得到 5a58，而 a 是 9 的倍数，所以 a最小 9，最大 54当 a5

20、4 ， nm16，而 n18 ，所以 m12 ，故此 s 最大 17 5412930 ；a9当 a9 ， n11 ，由于 m1，所以此 s最小 1791 154 ma9所以 的三位数中最大的是930，最小的是 154【例 6 】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除，即 (10ab) （10ba ) 9 （ab）能被7 整除所以只能有 a b 7 ，那么 ab可能 92 和 81， 算可得当 ab92 ， ba29 足 目要求，abba92292668【巩固】学校新 来118 个 球， 67 个 球拍和33 个 球网，

21、如果将 三种物品平分 每个班 ，那么 三种物品剩下的数量相同 学校共有多少个班？【解析】 所求班 数是除以 118,67,33余数相同的数那么可知 数 118 67 51和 67 33 34的公 数，所求答案 17【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克 ) 在除 13511，13903 及 14589 能剩下相同余数的最大整数是 _ 【解析】 因 为 13903 13511392 , 1458913903686 ，由于 13511， 13903，14589 要被同一个数除 ，余数相同，那么，它 两两之差必能被同一个数整除 (392,686)98 ，所以所求的最大整数是98【例 7 】

22、(2003 年南京市少年数学智力冬令 )220032的和除以 7 的余数是 _ 与 2003【解析】 找 律用7 除 2， 22 ， 23 ， 24 ， 25 ， 26 ， 的余数分 是2， 4，1， 2， 4，1，2，4，1， ,26最新 料推荐的个数是3 的倍数时，用7 除的余数为1； 2 的个数是3 的倍数多 1 时，用7 除的余数为 2；2 的个数是 3 的倍数多2 时，用 7 除的余数为4因为 2 2003236672 ，所以 22003 除以 7 余 4又两个数的积除以7 的余数，与两个数分别除以7 所得余数的积相同而2003 除以 7 余 1，所以 2003 2 除以 7 余 1

23、故 22003 与 20032 的和除以7 的余数是 4 15 【巩固】 ( 2004 年南京市少年数学智力冬令营试题) 在 1995，1998 ，2000，2001， 2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组【解析】1995， 1998， 2000 ，2001， 2003 除以 9 的余数依次是6，0， 2， 3， 5因为 2 52 5 0 7 ， 2 5 3 6 02 5 3 6 7 9 ，所以这样的数组共有下面4 个：2000,2003 ， 1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995， 1998,2000,2003,

24、2001,1995 【例 8 】(2005 年全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除70， 110， 160 所得到的3 个余数之和是 50，那么这个整数是 _【解析】(70110160)50 290， 503 16.2，除数应当是290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29 和 58， 110581.52， 5250，所以除数不是5870292，110293.，160295.，12231550，所以除数是29.122315【巩固】(2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为25，那么 n=_【解析】n 能整除

25、639112925258因为253 8.1，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然， n不能大于 63符合条件的只有43【巩固】号码分别为 101,126,173,193的 4 个运动员进行乒乓球比赛, 规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3除所得的余数 . 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126， 173， 193 除以 3 的余数分别为2， 0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2， 0， 2， 1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5 盘是最多的。【例 9 】(2002 年小学生数学报数学邀请赛试题

26、) 六名小学生分别带着14 元、 17 元、 18 元、 21 元、26 元、 37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5 个人带的钱不够，但是其中甲、 乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买1 本这7最新 料推荐种成语大词典的定价是_元【解析】 六名小学生共带钱133 元 133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3 本，所以他们五人带的钱数是3 的倍数，另一人带的钱除以3 余 1易知，这个钱数只能是37 元，所以每本成语大词典的定价是(1417182126)332 ( 元)【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克

27、试题) 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_ 千克【解析】 两个顾客买的货物重量是3 的倍数(151618192031)(12)119339.2 ，剩下的一箱货物重量除以3 应当余 2，只能是20千克【例 10 】求 2461 1356047 11的余数【解析】 因为 2461 11 223.8， 135 11 12.3， 6047 11 549.8，根据同余定理 ( 三 ) ， 2461 135 6047 11的余数等于 8 3 8 11的余数，而 8 3 8 1

28、92，192 11 17.5，所以 2461 135 6047 11的余数为 5【 巩固】 ( 华罗庚金杯赛模拟试题 ) 求 478 296 351除以 17 的余数【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351 除以 17 的余数分别为2， 7 和 11， (2711)179.1 【巩固】 求 31997 的最后两位数【解析】 即考虑 31997 除以 100 的余数由于1004 25，由于 3327 除以 25 余 2，所以 39 除以 25 余 8，10202除以 420203 除以 25 余 24，那么

29、3 除以 25余 1；又因为 3余 1，则 3 除以 4 余 1；即 31 能被 4和 25 整除，而4 与 25互质，所以202031 能被 100 整除，即 3 除以 100 余 1，由于199720 991997176729 除以 100 余17，所以 3 除以100 的余数即等于 3 除以100 的余数，而 329， 35243 除以 100余 43，317(36 )2 35 ，所以 317 除以100 的余数等于 2929 43 除以 100的余数，而 2929 433616319971997的最后两位数为除以 100 余 63，所以 3除以 100 余 63，即 363【巩固】 2

30、222 除以 13 所得余数是 _.2000个 2【解析】 我们发现 222222 整除 13， 2000 6 余 2，所以答案为22 13 余 9。8最新 料推荐【巩固】求 14389 除以 7 的余数【解析】 法一：由于 1433 mod 7(143被 7 除余 3) ，所以14389389 mod 7 (14389 被 7 除所得余数与389 被 7 除所得余数相等 )而 36729 ，7291 mod 7（ 729 除以 7 的余数为 1），所以3893636L3635355 mod 7 1 4 4 24 4314个故 14389 除以 7 的余数为 5.法二：计算 389 被 7 除

31、所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31323334353637Lmod73264513L于是余数以 6 为周期变化所以389355 mod7【巩固】（ 20072222L22002除以 7 的余数是多少？年实验中学考题） 1320012222220022003400510012003 1335 ，而 1001 是 7 的倍数，【解析】 由于 123 L200120026所以这个乘积也是7 的倍数，故222L22除以 7 的余数是0；12320012002【巩固】 31303031被 13 除所得的余数是多少？【解析】 31 被 13 除所得的余数为 5，当 n 取 1， 2， 3， L

32、时 5n 被 13 除所得余数分别是 5，12， 8，1， 5，12，8，1L以 4 为周期循环出现， 所以 530 被 13 除的余数与52 被 13 除的余数相同， 余 12，则 3130除以 13 的余数为12；30 被13 除所得的余数是 4，当 n 取 1，2，3， L时， 4n 被 13 除所得的余数分别是 4，3，12，9，10， 1， 4，3， 12， 9， 10， L L 以 6 为周期循环出现，所以431 被 13 除所得的余数等于 41 被 13除所得的余数，即4，故 3031 除以 13 的余数为4；所以31303031被 13 除所得的余数是 12 4133【巩固】

33、( 2008 年奥数网杯 ) 已知 a 20082008L 2008 ，问： a 除以 13 所得的余数是多少？ 1 4 44 2 4 4 432008 个 2008【解析】 2008 除以 13 余 6，10000 除以 13 余 3，注意到 200820082008 100002008；9最新 料推荐20082008200820082008 100002008；2008200820082008 200820082008 100002008 ；L L根据 的 推 律求出余数的 化 律：20082008 除以 13 余 6 3 61311，200820082008 除以 13 余 11 3 6

34、 390 ，即 200820082008是 13 的倍数而 2008除以 3 余 1，所以 a20082008L2008 除以 13 的余数与 2008除以 13 的余数相同， 6.1444 244432008 个 2008【巩固】除以 41 的余数是多少？147772 43771996 个 7【解析】 找 律： 741 7 ， 77 41 36， 777 41 39， 777741 28，77777 410，所以 77777 是 41 的倍数， 而 19965 399L177777 可以分，所以 14 2 431996 个 7成 399 段 77777 和1 个 7 成，那么它除以41 的余

35、数 7【巩固】 11223344L L20052005 除以 10 所得的余数 多少？【解析】 求 果除以 10的余数即求其个位数字从1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是10 个一循 的，而 一个数的 方的个位数，我 知道它 是4 个一循 的，因此把所有加数的个位数按每20个 (20是 4 和 10的最小公倍数 ) 一 ， 不同 中 的个位数字 是一 的首先 算 11223344L L2020 的个位数字，为 1476563690163 6 5 6 749 094 的个位数字， 4，由于2005 个加数共可分成 100 另 5个数， 100 的个位数字和是4100400 的个位数即

36、0，另 外 520012002200320042005， 它 们 和 的 个 位 数 字 是个 数 为 2001、2002、 2003、 2004、 20051 4 7 6 523的个位数3 ，所以原式的个位数字是3，即除以10 的余数是 3【例 11 】求所有的 数P，使得4 p21 与6 p 21也是 数【解析】 如果 p5 ， 4 p21101，6 p 21151 都是 数，所以5 符合 意如果P 不等于 5，那么 P除以 5 的余数 1、 2、3 或者22222除以 5 的余数，即4， p 除以 5 的余数即等于1 、 2 、 3或者41、4、9 或者 16 除以 5 的余数， 只有

37、1 和 4 两种情况 如果 p 2 除以 5 的余数 1，那么 4p 21 除以 5 的余数等于4 115 除以 5 的余数， 0，即此 4 p 21 被 5 整除，而4 p 2 1 大于 5，所以此 4 p21 不是 数； 如果 p2 除以 5 的余数 4，同理可知 6 p21 不是 数，所以 P 不等于 5，10最新 料推荐4 p 21 与 6 p21 至少有一个不是 数，所以只有p5 足条件【巩固】 在 表的第二行中，恰好填上8998 十个数，使得每一 列上下两个因数的乘 除以11所得的余数都是 3因数89909192939495969798【解析】因 两个数的乘 除以 11的余数，等于

38、因数两个数分 除以 11 的余数之 因此原 中的8998可以改 110 ， 上下两数的乘 除以11 余 3 就容易 算了我 得到下面的 果：因数89909192939495969798 而得到本 的答案是：因数37195621048因89909192939495969798数因91958997939490989296数【巩固】 ( 2000 年“ 杯 ” 试题 )3 个三位数乘 的算式abc bca cab234235286( 其中 abc ) ， 在校 ， 右 的 的数字 序出 ，但是知道最后一位6 是正确的， 原式中的abc 是多少？【解析】 由 于 23423528623 42 3528

39、68(mod9) ， abcbca cab(abc) 3 (mod9)，于是 (ab c)38(mod9)，从而 ( 用 abc0,1,2,.,8(mod9)代入上式 )a bc2,5,8(mod9) (1) ， a 行 ：如果 a9，那么 bc2,5,8(mod9) (2) ，又 ca b 的个位数字是6，所以 bc 的个位数字 4 ， bc 可能 41 、 72 、 83 、 64 ，其中只有 (b, c)(4,1),(8,3) 符合 (2) ， 只有983 839398328245326 符合 意如果a8，那么 bc3,6,0(mod9) (3) ，又bc的个位数字 2 或 7， bc可

40、能 2、3、1 46 2 、 76、 71，其中只有 (b, c)(2,1)符合 (3) ， ，abc821 不合 意如果 a7，那么 bc4,7,1(mod9) (4) ， bc 可能 42、63，其中没有符合 (4)的 (b, c) 如果 a6，那么 b5， c 4 ， abcbcacab700 600500210000000222334586 ，因此这时 abc 不可能符合 意 上所述，abc983 是本 唯一的解【例 12 】一个大于 1 的数去除290，235，200 ，得余数分 a ，a2，a 5 ， 个自然数是多少？【解析】 根据 意可知， 个自然数去除290，233， 195 ，得到相同的余数（都 a ）既然余数相同，我 可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以 个数肯定余0那么