数学选修2-1圆锥曲线与方程复习小结

1、第二章圆锥曲线 【例例 1】1】已知椭圆的左、右焦点分别是 F1（c，0） 、F2（c，0） ，Q)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 是椭圆外的动点，满足点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点.2| 1 aQF T 在线段 F2Q 上，并且满足 求点 T 的轨迹 C 的 . 0 | , 0 22 TFTFPT 方程. 【解析】法一：设点 T 的坐标为 ).,(yx 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.0|PTaa 当|时，由，得.又，0|0| 2 TFPT且 2 0PT TF 2 TFPT | 2 PFPQ 所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在QF1F2中，aQFOT|

2、2 1 | 1 所以有. 222 ayx 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 . 222 ayx 法二：设点 T 的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.).,(yx0|PTaa 当|时，由，得.0|0| 2 TFPT且0 2 TFPT 2 TFPT 又，所以 T 为线段 F2Q 的中点. | 2 PFPQ 设点 Q 的坐标为（） ，则 因此 yx , . 2 , 2 y y cx x .2 ,2 yy cxx 由得 , 将代入，可得aQF2| 1 .4)( 222 aycx. 222 ayx 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是. 222 ayx 【评析】 （1）法一是直译法，

3、法二是相关点法，注意掌握求轨迹方程的常见方法； （2）注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两 个方面的描述. 【变式 1】已知是圆为圆心）BA), 0 , 2 1 (FyxF(4) 2 1 ( : 22 上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹 Q P F2 F1 O y x P C AF B 方程为 . 【解析】设线段 AB 的中点为 C，如图，则|PA|=|PB|， 故|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|FB|=2|AF|， 由椭圆定义知点 P 的轨迹是以 A、F 为焦点、长轴为 2 的椭圆， 所以轨迹方程为.1 3 4

4、 22 yx 2.2.圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程 【例 2】ABC中，固定底边 BC，让顶点 A 移动，已知4BC，且ABCsin 2 1 sinsin，求顶 点 A 的轨迹方程 【解析】取 BC 的中点 O 为原点，BC 所在直线为轴，BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标x 系， 因为4BC，所以 B(0 , 2)，)0 , 2(c 利用正弦定理，从条件得24 2 1 bc，即2 ACAB 由双曲线定义知，点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点，焦距为 4，实轴长为 2，虚轴长为 32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1 3 2 2 y x(1x) 【评析】 （

5、1）本题用定义法求轨迹方程，最后一个环节“查漏补缺”是画龙点睛之笔，注 意的范围限制；x （2）熟练掌握三种圆锥曲线的定义，加强应用意识.一般说来，涉及到曲线上的点与焦点 （定点）的距离，很有可能使用定义； （3）注意圆锥曲线的第二定义，它能很好的将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距 离进行转化，达到简化运算的目的.焦半径公式，会推导即可，不必死记硬背. 【变式 2】 （复习参考题 B 组第 2 题）如图，从椭圆上一点 P 向 x 22 22 1(0) a xy ab b 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴 的交点，点 B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB

6、/OP， ，求椭圆的方程. 1 |105F A 【解析】由题意轴，把代入椭圆方程，解得 1 PFxxc .所以，点的坐标是. 2 b y a 2 (,) b Pc a 直线的斜率,直线的斜率.OP 2 1 b k ac OP 2 b k a 由题意，得所以，. 2 bb aca ,2bc ac 由已知，得. 1 |F Aac105ac 所以解得,所以.(12)105.c5c 10,5ab 因此，椭圆的标准方程为 22 1. 105 xy 3.3.焦点三角形问题焦点三角形问题 【例 3】已知双曲线的焦点在轴上，离心率为 2，为左右焦点， P是双曲线上一点，x 12 ,F F 且 ，求双曲线的标准

7、方程. 12 60 ,FPF 1 2 12 3 PF F S 【解析】设双曲线方程为 22 22 10,0 xy ab ab 2,2eca 令，在中，由余弦定理， 1122 |,|PFrPFr 12 PFF 222 121 212 42coscrrrrFPF 22 121 2 rrrr 2 121 2 () +rrrr 222 1 21 2 44+12carrrra即 1 2 2 1 212 1 sin3 3=12 3 2 PF F SrrPFFa A A 所以，双曲线标准方程为. 222 4,16,12acb 22 1 412 xy 【评析】 （1）由两焦点和曲线上一点形成，我们把这种三角形

8、叫焦点三角形. 焦点 12 PFF 三角形问题的主要类型有：周长、面积、角度等，通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、 余弦定理、面积公式等. （2）焦点三角形的面积主要有两种求法：； 1 21 2 1 212 11 sin=2c | y | 22 PF FPF FP SrrFPFS AA AA A和 （3）涉及到焦点、顶点、曲线上点（顶点以外）等问题，抓住几个特征三角形，举一反 三.这是一个考察重点，容易出现离心率的值（或范围）的运算. 【变式 3】 （复习参考题 B 组第 1 题）已知点 P 是椭圆上一点，且在 22 16251600 xy 轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线 P

9、F2的斜率为，求的面积.x4 3 12 PF F 【解析】椭圆即，所以右焦点 22 1 10064 xy 2 6,0F 直线 PF2为，代入椭圆方程，消去得4 36yx x 2 1912 37680yy 因为，所以，即点的纵坐标，0y 4 3y P4 3 P y 所以. 1 2 1 224 3 2 PF FP Scy 4.4.圆锥曲线的简单性质圆锥曲线的简单性质 【例 4】已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为 5 5 x ，离心率5e （）求该双曲线的方程； （）如图，点A的坐标为(5,0)，B是圆 22 (5)1xy上的点，点M在双曲线 右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标.

10、 【解析】 （）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，设 22 cab，由准线方程为 5 5 x 得 2 5 5 a c ，由 5e 得5 c a 解得1,5ac 从而2b ，该双曲线的方程为 2 2 1 4 y x . （）设点 D 的坐标为( 5,0)，则点 A、D 为双曲线的焦点，| 22MAMDa 所以| 2 |2 |MAMBMBMDBD ，B是圆 22 (5)1xy上的点， 其圆心为(0, 5)C，半径为 1，故| | 1101BDCD A P Q F Ox y 从而|2 |101MAMBBD 当,M B在线段 CD 上

11、时取等号，此时|MAMB的最小值为101 直线 CD 的方程为5yx ，因点 M 在双曲线右支上，故0 x 由方程组 22 44 5 xy yx 解得 54 24 54 2 , 33 xy 所以M点的坐标为 54 2 4 54 2 (,) 33 . 【评析】 （1）熟练掌握圆锥曲线的简单性质，掌握研究性质过程中的数形结合思想； （2）提高运算能力，是圆锥曲线学习的另外一个目的，注意自己梳理汇总常见算法，包 括联立化简、复杂根式化简等. 【变式 4】设椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点为 F，上 顶点为 A，过点 A 作 垂直于 AF 的直线交椭圆 C 于另外一

12、点 P，交x轴正半轴于点 Q， 且PQAP 5 8 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 ： l 053yx相切，求椭圆 C 的方程. 解：设 Q（x0，0） ，由 F（-c，0） A（0，b）知 ),(),( 0 bxAQbcFA c b xbcxAQFA 2 0 2 0 , 0, 设PQAPyxP 5 8 ),( 11 由，得 2 11 85 , 1313 b xyb c 因为点 P 在椭圆上，所以1 ) 13 5 () 13 8 ( 2 2 2 2 2 b b a c b 整理得 2b2=3ac，即 2（a2c2）=3ac， 2 2320ee,故椭圆的

13、离心率 e 1 2 由知ac a c a c b acb 2 1 2 1 2 3 32 2 2 ，得又；，得， 于是 F（ a，0） ， Q) 0 , 2 3 (a 1 2 AQF 的外接圆圆心为（ 2 1 a，0） ，半径 r= |FQ|= a 1 2 所以a a 2 |5 2 1 | ，解得 a =2，c =1，b =3， 所求椭圆方程为1 34 22 yx 5.5.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 【例 5 】 经过点且与双曲线仅交于一点的直线有（ ）0,2P 22 41xy A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 【解析】 （代数方法）直线方程设为，代入双曲线方

14、程得2ykx 22 (4)450kxkx 当时，此时直线与双曲线仅有一个交点； 2 40k2k 当时，所以；2k 222 1620 48040kkk 2 5k 综上，有四个值，即由 4 条直线符合题意.k （几何方法）由图形观察知，当直线与渐近线平行或与双曲线相切时，直线与双曲线有 1 个焦点，故符合的直线有 4 条. 【评析】 （1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法； （2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行 于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线） ； （3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次

15、项系数 是否为 0 进行讨论； （4）若 P 在双曲线内部（含焦点的区域）时，过 P 只能作两条直线与双曲线仅有一个交 点，它们分别与渐近线平行； 若 P 在双曲线上时，过 P 能作 3 条直线与双曲线仅有一个交点，它们是 1 条切线，2 条与渐近线平行； 若 P 在双曲线外部（不含焦点的区域） ，且不在渐近线上时，过 P 能作 4 条直线与双 曲线仅有一个交点，它们是 2 条切线，2 条与渐近线平行； 若 P 在双曲线的渐近线上且不为原点时，过 P 能作 2 条直线与双曲线仅有一个交点， 它们是 1 条切线，1 条与渐近线平行； 若 P 为原点时，不能作与双曲线仅有一个交点的直线. 【变式

16、5】设抛物线的准线与轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 与抛物线有公共点， 2 8yxxl 则直线 的斜率的取值范围是（）l A， B2，2 C1，1D4，4 1 2 1 2 【解析】易知抛物线的准线与轴的交点为 Q (-2 , 0)， 2 8yx2x x 于是，可设过点 Q (-2 , 0)的直线 的方程为，l2yk x 联立 2 2222 8 , (48)40. (2), yx k xkxk yk x 当时，直线与抛物线有交点，0k 当时，0k 2 24 48160kk 11,0kk 且 综上，.故选 C.11k 6.6.中点弦问题中点弦问题 【例 6】已知双曲线方程. 22 22xy (1

17、) 求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点 B(1,1)能否作直线 ，使 与所给双曲线交于 Q1、Q2两点，且点 B 是弦 Q1Q2的中ll 点？这样的直线 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由l 【解析】(1)即设) 1 , 2(A的中点弦两端点为),(),( 222111 yxPyxP，则有关 系2, 4 2121 yyxx又据对称性知 21 xx ，所以 21 21 xx yy 是中点弦 21P P所在直线的斜率，由 1 P、 2 P在双曲线上，则有关系22 , 22 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx两式相减是： 0)()(2 21212121

18、yyyyxxxx 0)(2)(42 2121 yyxx 4 21 21 xx yy 所求中点弦所在直线为)2(41xy，即074 yx （法二）当直线斜率不存在时，A 不是弦的中点； 设直线斜率为，则直线方程为，代入曲线方程，得k12yk x ， （*） 222 22 (21)4430kxkkxkk 设) 1 , 2(A的中点弦两端点为),(),( 222111 yxPyxP，则 12 2 221 4 2 kk xx k 所以，.代入（*）式，知，4k 0 所以，所求中点弦所在直线为)2(41xy，即074 yx (2)可假定直线l存在，而求出l的方程为) 1(21xy，即012 yx 方法同

19、(1)，联立方程 012 22 22 yx yx ，消去 y,得0342 2 xx 然而方程的判别式08324)4( 2 ，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛 盾说明了满足条件的直线l不存在 【评析】 （1）通过将弦端点的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相 减这里，代点相减后，适当变形，出现弦的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差 法）的关键两种解法都要用到“设而不求” ，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解 决弦中点问题更简洁. （2）实际上，若给的定点 P 在椭圆内或抛物线内、双曲线内（含焦点的区域） ，则，0 即一定存在以 P 为中点的弦；若定点 P 在双曲线外，

20、则有可能不存在以 P 为中点的弦. 【变式 6】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围 2 4yx3ykxk 【解析】解法一：设B、C关于直线3 kxy对称，直线BC方程为mkyx，代入 xy4 2 得，044 2 mkyy，设),( 11 yxB、),( 22 yxC，BC中点),( 00 yxM，则 mkxk yy y 2 0 21 0 2,2 2 点),( 00 yxM在直线l上，3)2(2 2 mkkk k kk m 322 3 ，代入01616 2 mk，得0 32 3 k kk ，即0 )3)(1( 2 k kkk 解得01k 解法二：设),( 11 yxB，),( 22 y

21、xC关于l对称，中点),( 00 yxM，则 2 2 2 1 2 1 4 4 xy xy 相减得：)(4)( 212122 xxyyyy ky k y2, 4) 1 (2 00 ，则 k k x 32 0 ),( 00 yxM在抛物线xy4 2 内部， 0 2 0 4xy 化简而得0 32 3 k kk ，即0 )3)(1( 2 k kkk ，解得01k 7.7.求范围问题求范围问题 【例 7】已知椭圆与直线相交于两点 A、B当 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 10 xy 椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长O 32 32 e0OA OB O 的取值范围 【解

22、析】由 222222 10 b xa ya b xy ，得 222222 ()2(1)0abxa xab 因为 2222 2(1)0a b abA ，所以 22 1ab 此时 222 1212 2222 2(1) , aab xxx x abab 由 0OA OB ，得 1212 0 x xy y ， 1212 2() 10 x xxx 即 2222 20aba b ，故 2 2 2 21 a b a 由 222 2 22 cab e aa ，得 2222 baa e 2 2 1 21 1 a e 由 32 32 e 得 2 53 42 a ， 526a 所以椭圆长轴长的取值范围为 5, 6

23、【评析】求范围和最值的方法： 几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值 【变式 7】已知 P 是椭圆 C：的动点，点关于原点 O 的对称点是 B， 22 1 42 xy 1 ( ,0) 2 A 若|PB|的最小值为，求点 P 的横坐标的取值范围. 3 2 【解析】由，得，设 1 ( ,0) 2 A 1 (,0) 2 B ( , )P x y 4 7 ) 1( 2 1 2 2) 2 1 () 2 1 (| 2 2 2222 x x xyxPB ， 2 3 |PB ， 4 9 4 7 ) 1( 2 1 2 x ，解得 0 x 或 2x

24、 又 222xx 或 20 x 8.8.定点、定值问题定点、定值问题 【例 8】已知点 100 (,)P xy为双曲线 22 22 1 8 xy bb （b为正常数） 上任一点, 2 F为双曲线的右焦点,过 1 P作右准线的垂线,垂足为A, 连接 2 F A并延长交y轴于 2 P. (1) 求线段 1 P 2 P的中点P的轨迹E的方程; (2) 设轨迹E与x轴交于BD、两点,在E上任取一点 111 ,(0)Q x yy （）,直线QBQD，分别交y轴于MN，两点. 求证:以MN为直径的圆过两定点. 【解析】 （1）由已知得 20 8 3 0 3 FbAby（，），（，）,则直线 2 F A的方

25、程为: 0 3 (3 ) y yxb b , 令0 x 得 0 9yy,即 20 (0,9)Py, 设P xy（，）,则 0 00 0 2 9 5 2 x x yy yy ,即 0 0 2 5 xx y y 代入 22 00 22 1 8 xy bb 得: 22 22 4 1 825 xy bb , 即P的轨迹E的方程为 22 22 1 225 xy bb . (2)在 22 22 1 225 xy bb 中令0y 得 22 2xb,则不妨设-2 02 0BbDb（，），（，）, 2 F 1 FO y x A 2 P 1 P P 于是直线QB的方程为: 1 1 (2 ) 2 y yxb xb

26、, 直线QD的方程为: 1 1 ( - 2 ) - 2 y yxb xb , 则 11 11 2- 2 00 2-2 byby MN xbxb （，），（，）, 则以MN为直径的圆的方程为: 2 11 11 22 -0 2-2 byby xyy xbxb （）（）, 令0y 得: 22 2 1 22 1 2 2 b y x xb ,而 11 ,Q x y（）在 22 22 1 225 xy bb 上,则 222 11 2 2 25 xby, 于是5xb ,即以MN为直径的圆过两定点( 5 ,0),(5 ,0)bb. 【评析】定点与定值问题的处理一般有两种方法： （1）从特殊入手，求出定点和定值

27、，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值） 【变式 8】已知，椭圆 C 以过点 A（1， 3 2 ） ，两个焦点为（1，0） （1，0）. （1）求椭圆 C 的方程； （2）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值. （）由题意，c1,可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 因为A在椭圆上，所以 22 19 1 14bb ，解得 2 b3， 2 b 3 4 （舍去） 。 所以椭圆方程为 22 1 43 xy （）设直线方程：得 3 (1)

28、2 yk x，代入 22 1 43 xy 得 222 3 3+4+4 (32 )4()120 2 kxkk xk（） 设（ E x， E y） ，（ F x， F y） 因为点（1， 3 2 ）在椭圆上， 所以 2 2 3 4()12 2 34 E k x k ， 3 2 EE ykxk. 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得 2 2 3 4()12 2 34 F k x k ， 3 2 FF ykxk . 所以直线EF的斜率 ()21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx . 即直线EF的斜率为定值，其值为 1 2 . 9.9.解析几何中的向量

29、方法解析几何中的向量方法 【例 9】 设双曲线 C：1 2 2 2 y x 的左、右顶点分别为 A1、A2，垂直于轴的直线与xm 双曲线 C 交于不同的两点 P、Q. （1）若直线 m 与x轴正半轴的交点为 T，且1 21 QAPA，求点 T 的坐标； （2）求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程； （3）过点 F（1，0）作直线 与（）中的轨迹 E 交于不同的两点 A、B，设FBFA，l 若|,1, 2TBTA求（T 为（）中的点）的取值范围. 【解析】 （1）由题，得) 0 , 2(), 0 , 2( 21 AA ，设),(),( 0000 yxQyxP 则).,2

30、(),2( 002001 yxQAyxPA 由 . 3 , 121 2 0 2 0 2 0 2 021 yxyxQAPA 即 又),( 00 yxP在双曲线上，则 . 1 2 2 0 2 0 y x 联立、，解得 2 0 x 由题意， . 2 , 0 00 xx 点 T 的坐标为（2，0） （2）设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为（x，y） 由 A1、P、M 三点共线，得 )2()2( 00 xyyx 由 A2、Q、M 三点共线，得 )2()2( 00 xyyx 4 联立、，解得 . 2 , 2 00 x y y x x ),( 00 yxP在双曲线上， . 1 ) 2 (

31、2 ) 2 ( 2 2 x y x 轨迹 E 的方程为).0, 0( 1 2 2 2 yxy x （3）容易验证直线 的斜率不为 0.l 故可设直线 的方程为 1 2 1 2 2 y x kyx，代入中，得l . 0 24)2( 22 kyyk 设 00),(),( 212211 yyyxByxA且 则由根与系数的关系，得 2 2 2 21 k k yy . 2 2 2 21 k yy 有 . 0 2 1 ，且 y y ，FBFA 将式平方除以式，得 2 4 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 k k k k y y y y 由02 1 2 1 2 5 1, 2 . 7 2 0

32、 7 2 0 2 4 2 1 22 2 2 kk k k )., 4(), 2(), 2( 21212211 yyxxTBTAyxTByxTA 又. 2 ) 1(4 2)(4, 2 2 2 2 2121 2 21 k k yykxx k k yy 故 2 21 2 21 2 )()4(|yyxxTBTA 22 222 22 2 22 22 )2( 8)2(28)2(16 )2( 4 )2( ) 1(15 k kk k k k k 222 )2( 8 2 28 16 kk 令 7 2 0. 2 1 2 2 k k t 2 1 2 1 16 7 2 k ，即 . 2 1 , 16 7 t . 2

33、17 ) 4 7 (816288)(| 222 ttttfTBTA 而 2 1 , 16 7 t， . 32 169 , 4)(tf . 8 213 , 2|TBTA 【评析】向量是代数与几何的桥梁，在本章中承担着重要角色，主要注意掌握以下内容： （1）向量的坐标运算：加、减、数乘、数量积； （2）向量共线的充要条件； （3）向量垂直的充要条件.用向量处理垂直问题，有着相当明显的优越性，不用讨论斜率 是否存在，而且一般不会出现分式运算. 【变式 9】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件： ABC的周长为 22.记动点C的轨迹为曲线W. 2 (1)求

34、W的方程； (2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 2 求k的取值范围； （3）已知点M（，0） ，N（0, 1） ，在()的条件下，是否存在常数k，使得向量 2 OPOQ 与MN 共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：() 设C（x, y）, 22 2ACBCAB , 2AB , 2 22ACBC , 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为 2的椭圆除去与x轴的两个交 2 点. 2, =1ac. 222 1bac. W: 2 2 1 2 x y (0)y . (2) 设直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程，得 2 2 (2)1

35、 2 x kx . 整理，得 22 1 ()2 210 2 kxkx . 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 222 1 84()420 2 kkk ，解得 2 2 k 或 2 2 k . 满足条件的k的取值范围为 22 ,)(,) 22 k （ （3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OPOQ （x1+x2，y1+y2), 由得 12 2 4 2 12 k xx k . 又 1212 ()2 2yyk xx 因为( 2, 0)M，(0, 1)N， 所以(2, 1)MN . 所以OPOQ 与MN 共线等价于 1212 ()xxyy=-2. 将代入上式，解得 2 2 k . 所以

36、不存在常数k，使得向量OPOQ 与MN 共线. 【总结提升】 1.各类圆锥曲线的焦半径可系统归纳如下： 设设圆锥曲线 C 上任意一点，F 是其焦点， 是与 F 相应的准线.),( 00 yxPl 当 C 为椭圆时，若 F 是左焦点，那么|PF|=， （改为“；” ） 1 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 exa 若 F 是右焦点，那么那么|PF|=； 0 exa 当 C 为双曲线时，若 F 是左焦点，那么|PF|=;)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x | 0 exa 若 F 是右焦点，那么那么|PF|= ；| 0 exa 当 C 为抛物线时，|PF|=.

37、)0(2 2 ppxy 2 0 p x 特别地：若 AB 是圆锥曲线的焦点弦，且 A（） ，B（） ，那么： 11, y x 22, y x 当 AB 是椭圆的左焦点弦时，；)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )(2| 21 xxeaAB 当设 AB 是椭圆的右焦点弦时，.)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )(2| 21 xxeaAB 当 AB 为通径时,. a b AB 2 2 | 当 AB 是双曲线的左焦点弦时，；)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x | )(2| 21 xxeaAB 当设 AB 是双曲线的右焦点弦时，；)0, 0( 1 2

38、2 2 2 ba b y a x | )(2| 21 xxeaAB 当 AB 为通径时； a b AB 2 2 | 设 AB 是抛物线的过焦点的弦，那么|AB|=.pxy2 2 pxx 21 2.设而不求的应用 “设而不求”是解决直线和圆锥曲线位置关系的主要手段，代数结构恒等变形与转化 能力，驾驭方程组的基本能力. 设直线，圆锥曲线 C：，0:cbyaxl0),(yxf 联立 ，消去，总可以整理得到关于的一元二次方程： 0),( 0 yxf cbyax yx 其判别式0 2 tnxmxmtn4 2 （1）位置关系的判定 与 C 相离； 与 C 相交； 与 C 相切l0l0l0 （2）弦长问题

39、设 与 C 相交于 A（） ，B（） ，直线 的斜率为，则l 11, y x 22, y xlk 弦长|AB|=|1 21 2 xxk 21 2 21 2 4)(1xxxxk 这里必须注意隐藏了条件“”及韦达定理0 （3）中点问题 设与 C 相交于 A（） ，B（） ，线段 AB 的中点为 Clbkxy: 11, y x 22, y x),( 00 yx 那么 bkxbxxk bkxbkxyy y xx x 021 2121 0 21 0 )( 2 1 2 )()( 2 2 （4）解析几何问题中的向量结构注意两个应用方向,一是利用向量的几何性（中点、 定比分点等） ，二是将想了结构坐标化（即将

40、向量方程转化为代数方程组、将向量不 等式转化为代数不等式组） ，进而用设而不求方法求解.纵观近年高考试题，以后者 为主. 3.解析几何问题中常见的数学方法. （1）坐标法；（2）定义法；（3）配方法；（4）判别式法； （5）消元法；（6）换元法；（7）待定系数法；（8）点差法. 【自主评价】 【自主评价 1】 一、选择题(共 5 个小题，每小题只有一个正确答案) 1. 已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 1 sincos 2 22 sincos1xy （ ） （A）焦点在 x 轴上的椭圆 （B）焦点在 y 轴上的椭圆 （C）焦点在 x 轴上的双曲线 （D）焦点在 y 轴上的双曲线 【解析】

41、B. 由知. 1 sincos 2 7171 sin,cos 44 2.设的最小值是（ ）bababa且 , 62,R, 22 ABC3D22 3 35 2 7 【解析】)( sin3 cos6 1 36 62 22 22 且且且 b aba ba ，其中，故选 C.)sin(3sin3cos6ba2tan 3.已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B， 若3FAFB ,则|AF =( ) A. 2 B. 2 C.3 D. 3 【解析】过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 3FAFB ,故 2 |

42、3 BM .又由椭圆的第二定义,得 2 22 | 233 BF |2AF.故选 A . 4.设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离 心率为( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 【解析】双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y ,由方程组 2 1 b yx a yx ,消去 y,得 2 10 b xx a 有唯一解,所以= 2 ( )40 b a , 所以2 b a , 22 2 1 ( )5 cabb e aaa ,故选 D. 5.设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 (0)

43、yaxa的焦点 F,且和y轴交于点 A,若OAF(O 为 坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ). A. 2 4yx B. 2 8yx C. 2 4yx D. 2 8yx 【解析】抛物线 2 (0)yaxa的焦点 F 坐标为(,0) 4 a ,则直线l的方程为2() 4 a yx, 它与y轴的交点为 A(0,) 2 a ,所以OAF 的面积为 1 | | 4 2 42 aa ,解得8a .所以抛物线 方程为 2 8yx ,故选 B. 二、填空题(共 3 个小题) 6.已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值集合为 .(1)1yax 2 yaxa 【解析】联立方程为 axy xay 2

44、1) 1( (1) 当a0 时，此时方程组恰有一组解 0 1 y x (2) 当a0 时，消去x得 01 1 2 yy a a 若 a a1 0，即a1 方程变为一次方程，y10，方程组恰有一组解 1 1 y x 若 a a1 0，即a1，令0 得 10 ) 1(4 a a ，解得a 5 4 此时直线与曲线相切，恰有一个公共点， 综上所述知，直线与曲线只有一个公共点时实数的取值集合为a 4 0, 1, 5 7.已知直线与椭圆相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点1yx 22 22 1(0) xy ab ab 在直线上，则椭圆的离心率为 .:20l xy 【解析】 设),(),( 2211

45、yxByxA，AB 的中点为),( 00 yxM, 代入椭圆方程得 1 2 2 1 2 2 1 b y a x ， 1 2 2 2 2 2 2 b y a x , 两式相减,得 2 2121 2 2121 yyxxb xxayy . 因为 AB 的中点为),( 00 yxM在直线l上， 02 00 yx ， 2 2 2 0 0 21 21 y x yy xx ，而 1 12 2 1 AB k xx yy 2 2 2 1 2 2 e a b 8.已知动点P与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且 22 1 23 xy 12 ,F F 的最小值为则动点P的轨迹方程为 . 12 cosFPF 1 9

46、【解析】由条件知，动点P的轨迹为椭圆，其中半焦距为 5c ， 点 P 在 y 轴上时最大，由余弦定理得 3a ，动点P的轨迹方程 12 FPF 22 1 94 xy 三、解答题(共 2 个小题) 9.抛物线的焦点为 F，过点（0，）交抛物线于不同两点 A、B，以 AF、BF 为邻yx4 2 1 边作平行四边形 FARB.求顶点 R 的轨迹方程. 【解析】设直线 AB：，A（，B（） ，R，由已知 F（0，1）1 kxy), 11 yx 22, y x),(yx 联立 可得 yx kxy 4 1 2 044 2 kxxkxx4 21 又 AB 和 RF 是平行四边形 FARB 的对角线，故1, 2121 yyyxxx 而 242)( 2 2121 kxxkyy )3(4 241 42 2 yx ky kx 由于直线和抛物线交于不同两点，故1101616 2 kkkk或 由此得或4x4x 顶点 R 的轨迹方程为（）.)3(4 2 yx4|x 10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线 y2x2上， 是 AB 的垂直平分线l (1)当且仅当 x1x2取何值时，直线 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；l (2)当直线 的斜率为 2 时，求在轴上的