第七章 第七节空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理

1、课时提升作业(四十八)一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()(A)y轴上(B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)yOz平面上2.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则|OB|等于()(A)(9,0,16)(B)25(C)5(D)133.以棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()(A)(0,12,12)(B)(12,0,12)(C)(12,12,0)(D)(12,12,12)4.点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影为M1,M1在坐

2、标平面yOz内的射影为M2,M2在坐标平面xOz内的射影为M3,则M3的坐标为()(A)(-x,-y,-z)(B)(x,y,z)(C)(0,0,0)(D)(x+y+z3,x+y+z3,x+y+z3)5.已知向量a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且ka-b与a-3b互相垂直,则k的值是()(A)1(B)15(C)35(D)-2096.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(3,152)平行,则=()(A)23(B)92(C)-92(D)-237.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为()(A)8(B)27(C)64(D)1288.有以

3、下命题:如果向量a,b与任何向量不能构成空间的一个基底,那么a,b的关系是不共线;O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;已知a,b,c是空间的一个基底,则a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是()(A)(B)(C)(D)9.(2013济宁模拟)设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()(A)(14,14,14)(B)(34,34,34)(C)(13,13,13)(D)(23,23,23)二、填空题10.(能力挑战题)正方体ABCD

4、 -ABCD的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,PMPN的取值范围是.11.给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为30,则该点的坐标为.12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三个向量共面,则实数=.13.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是.14.如图,直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D为BB1的中点, 则异面直线C

5、1D与A1C的夹角的余弦值为.三、解答题15.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(32,12,0),点D在平面yOz上,且BDC=90,DCB=30.(1)求向量OD的坐标.(2)设向量AD和BC的夹角为,求cos的值.答案解析1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.2.【解析】选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故|OB|=32+02+(-4)2=5.3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点,由于A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为(12,0,12).4.【解析】选C.依题意得,M1的坐标为(x,

6、y,0),M2的坐标为(0,y,0),M3的坐标为(0,0,0).【变式备选】在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M,则点M关于原点对称的点的坐标为()(A)(-2,0,-3)(B)(-3,0,-2)(C)(2,0,3)(D)(-2,0,3)【解析】选C.由题意得,点M的坐标为(-2,0,-3),故点M关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧(1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数.(2)关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变.(3)关于原点对称,三个坐标都变为原来的相反数

7、.(4)空间求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.5.【解析】选D.ka-b=(k+1,-k-2,k-1),a-3b=(4,-7,-2),(ka-b)(a-3b),4(k+1)-7(-k-2)-2(k-1)=0,k=-209.6.【解析】选C.由ab得,23=-3=5152,解得=-92.7.【解析】选C.设正方体的棱长为a,根据条件则有3a=42+(-4)2+42,解得a=4,所以体积为43=64.8.【解析】选C.对于,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以错误.正确.9.【解析】选A.OG1=OA+AG1=OA+

8、2312(AB+AC)=OA+13(OB-OA)+(OC-OA)=13(OA+OB+OC),由OG=3GG1知,OG=34OG1=14(OA+OB+OC),(x,y,z)=(14,14,14).10.【解析】因为MN是它的内切球的一条弦,所以当弦MN经过球心时,弦MN的长度最大,此时MN=2,以A为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性,不妨设M,N分别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为M(1,1,2),N(1,1,0),设P点坐标为P(x,y,z),则PM=(1-x,1-y,2-z),PN=(1-x,1-y,-z),所以PMPN=(1-x)2+(1-y)2-z(2-z),即PMPN=

9、(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1.因为点P为正方体表面上的动点,所以根据x,y,z的对称性可知,PMPN的取值范围与点P在哪个面上无关,不妨设点P在底面ABCD内,此时有0x2,0y2,z=0,所以此时PMPN=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1=(x-1)2+(y-1)2,所以当x=y=1时,PMPN=0,此时PMPN最小,但当P位于正方形的四个顶点时,PMPN最大,此时有PMPN=(x-1)2+(y-1)2=2,所以PMPN的最大值为2,所以0PMPN2,即PMPN的取值范围是0,2.答案:0,211.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,|P0P|=30,

10、即(x-4)2+(0-1)2+(0-2)2=30,(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).答案:(9,0,0)或(-1,0,0)【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为.【解析】设点C的坐标为(0,0,z),由条件得|AC|=|BC|,即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2,解得z=149.答案:(0,0,149)12.【解析】由题意设c=ta+b=(2t-,-t+4,3t-2),2t-=7,-t+4=5,3t-2=,t=337,=177,=657.答案:

11、65713.【解析】设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z),由AP=2PB知x=-13,y=83,z=3,故P(-13,83,3).由两点间距离公式可得|PD|=773.答案:77314.【解析】以A为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2).则C1D=(1,-1,-1),A1C=(0,1,-2),|C1D|=3,|A1C|=5,C1DA1C=1,cos=C1DA1C|C1D|A1C|=1515,故异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为1515.答案:151515.【解析】(1)如图所示,过D作DEBC,垂足为E,在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD=1,CD=3.DE=CDsin30=32,OE=OB-BDcos60=1-12=12.D点坐标为(0,-12