(04)第4章+概率分布(1)

1、第4章 概率分布,统计笑话之一(统计学家),三个教授（一个物理学家、一个化学家和一个统计学家）被召到院长办公室，他们刚刚坐定就发现一个废纸篓着火了。物理学家说：“我知道怎么办，把材料温度降至可燃温度以下，火自然就灭了。” 化学家不同意，“不对，必须先切断氧气的供应，缺少了反应物，火才会灭。”正当物理学家和化学家争论不休的时候，他们惊讶得发现统计学家跑来跑去点燃一个又一个废纸篓。 “你在干什么？！”统计学家答道：“我正在做抽样检验！”,第 4 章 概率分布,4.1 度量事件发生的可能性 4.2 随机变量的概率分布 4.3 由正态分布导出的几个重要分布 4.4 样本统计量的概率分布 4.5 统计量

2、的标准误差,学习目标,概率、随机变量、总体分布、样本分布、抽样分布 计算随机变量的数学期望和方差 用Excel计算分布的概率 理解抽样分布与总体分布的关系 由正态导出的几个重要分布 标准误差的计算,4.1 度量事件发生的可能性,事件的概率 概率的统计定义和主观概率定义,事件的概率,事件的概率(probability),事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A),概率的统计定义,概率的统计定义, 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆

3、动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为,事件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右,概率的统计定义 (例题分析),【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有,主观概率定义,主观概率定义,对一些无法重复的试验，确定其结

4、果的概率只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如，我认为2003年的中国股市是一个盘整年,4.2 随机变量的概率分布,4.2.1 随机变量及其概括性度量 4.2.1离散型随机变量的概率分布 4.2.3连续型随机变量的概率分布,4.2.1 随机变量及其概括性度量,随机变量的概念,随机变量(random variables),一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量(discrete random variab

5、les),随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,连续型随机变量(continuous random variables),随机变量 X 取无限个值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子,4.2.2离散型随机变量的概率分布,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0,离散型随机变量的概率分布 (例题分析),【例1】如规定打靶中域得

6、3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为,离散型随机变量的概率分布(01分布),一个离散型随机变量X只取两个可能的值 例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1 表示，不合格品用0表示 列出随机变量取这两个值的概率,离散型随机变量的概率分布 (01分布),【例2】已知一批产品的次品率为p0.05，合格率为q=1-p=1-0.5=0.95。并指定废品用0表示，合格品用1表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为,离散型随机变量

7、的概率分布(均匀分布),一个离散型随机变量取各个值的概率相同 列出随机变量取值及其取值的概率 例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出现各点的概率,离散型随机变量的概率分布 (均匀分布),【例3】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为,离散型随机变量的数学期望和方差,离散型随机变量的数学期望(expected value),在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和 描述离散型随机变量取值的集中程度 计算公式为,离散型随机变量的方差(variance),随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X) 描述离散型随机

8、变量取值的分散程度 计算公式为,离散型随机变量的方差 (例题分析),【例4】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差,解：数学期望为：,方差为：,几种常见的离散型概率分布,常见的离散型概率分布,二项试验(贝努里试验),二项分布与贝努里试验有关 贝努里试验具有如下属性 试验包含了n 个相同的试验 每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败” 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 试验是相互独立的 试验“成功”或“失败”可以计数,二项分布(Binomial distribution),进行 n

9、 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布 设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为,二项分布,显然， 对于PX=x 0， x =1,2,n，有 同样有 当 n = 1 时，二项分布化简为,二项分布的数学期望和方差,二项分布的数学期望为: E ( X ) np 方差为: D ( X ) npq,二项分布 (例题分析),【例5】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有,泊松分布(Poisson distr

10、ibution),用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数,泊松概率分布函数, 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数,泊松概率分布的期望和方差,泊松分布的数学期望为 E ( X ) = 方差为 D ( X ) = ,泊松分布 (例题分析),【例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求

11、（1）X 的均值及标准差 （2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率 解：(1) E(X)=2.5；D(X) = 2.5=1.581 (2),泊松分布(作为二项分布的近似),当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即,实际应用中，当 P0.25，n20，np5时，近似效果良好,超几何分布,二项分布只适合于重复抽样,但实际中很少采用重复抽样。如何采用不重复抽样，特各次试验并不独立，“成功”的概率也互不相等，而且N很小或样本量n相对于N来说较大时，这时，样本中的“成功”的次数则服从超几何概率分布，记作XH（n,N,M）。,用EXCEL的HYPGEOM

12、DIST函数计算超几何分布概率,例1.从一批含有13只正品, 2只次品的产品中, 不放回任取3件, 求取得次品数为X的分布.,变式:从5名学生(3男2女)中安排2名学生值日, 求安排女生人数X的分布.,例2.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏, 在一个口袋中装有10个红球, 20个白球, 这些球除颜色外完全相同, 一次从中摸出5个球, 摸到4个红球1个白球的就中一等奖, 求中一等奖的概率.,例3.生产方提供50箱的一批产品, 其中有2箱不合格产品, 采购方接收该批产品的准则是: 从该批产品中任取5箱产品进行检测, 若至多有1箱不合格产品, 便接收该批产品, 问: 该批产品被接收的概率是多少?

13、,4.3 连续型随机变量及其分布,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来描述,概率密度函数(probability density function),设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件,f(x)不是概率,概率密度函数, 密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x),概率密度函数, 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数

14、x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积,概率是曲线下的面积,分布函数 (distribution function),连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示 分布函数定义为,根据分布函数，P(aXb)可以写为,分布函数与密度函数的图示,密度函数曲线下的面积等于1 分布函数是曲线下小于 x0 的面积,连续型随机变量的期望和方差,连续型随机变量的数学期望为 方差为,均匀分布,均匀分布(uniform distribution),若随机变量X的概率密度函数为 称X在区间a ,b上均匀分布 数学期望和方差分别为,正态分布,正态分布(normal distribut

15、ion),1.描述连续型随机变量的最重要的分布 2.可用于近似离散型随机变量的分布 例如: 二项分布 3.经典统计推断的基础,概率密度函数,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x ) = 总体均值,正态分布函数的性质,概率密度函数在x 的上方，即f (x)0 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的标准差来区分。 决定曲线的高度，决定曲线的平缓程度，即宽度 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交 正态曲线下的总

16、面积等于1 随机变量的概率由曲线下的面积给出, 和 对正态曲线的影响,正态分布的概率,概率是曲线下的面积!,标准正态分布(standardize the normal distribution),一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,标准正态分布函数,标准正态分布的概率密度函数,任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布的分布函数,标准正态分布,标准正态分布表的使用,将一个一般的转换为标准正态分布 计算概率时 ，查标准正态

17、概率分布表 对于负的 x ，可由 (-x) x得到 对于标准正态分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1 对于一般正态分布，即XN( , )，有,标准化的例子 P(5 X 6.2),标准化的例子P(2.9 X 7.1),一般正态分布,用EXCEL中的NORMDIST函数计算正态分布的概率 用EXCEL中的NORMSINV函数计算概率为a时标准正态分布的反函数,正态分布(例题分析),【例】设XN(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-12)=1- P(2 X)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1X 3)= P(X

18、 3)- P(X -1) = (3)- (-1)= (3) 1-(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| X | 2) = P(-2 X | 2)= (2)- (-2) = (2)- 1-(2)=2 (2)- 1=0.9545,正态分布 (例题分析),【例】设XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10) 解： (1),(2),数据的正态性评估,用SPSS绘制正态概率图:,超几何分布,超几何分布,设一批产品共N件，其中有M件不合格，从中按不放回任意取出n件，其中不格品数X是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，min（n

19、，N），可以导出X的分布列为： x=1，2，3，min（n，N） 这种概率分布称为超几何分布。 当N很大，n相对较小时，超几何分布近似于二项分布。,返回,超几何分布(举例),【例】假定有10支股票,其中有3支购买后可以获利,另外7支购买后将会亏损.如果你打算从10支股票中选择4支购买,但你并不知道哪3支是获利的,哪7支是亏损的. 求:(1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大? (2)3支能获利的股票中有2支被你选中的概率有多大?,解:设N=10，M=3，n=4,二项分布的正态近似,二项分布的正态近似,当n 很大时，二项随机变量X近似服从正态分布Nnp , np(1-p) 对于一个二项随机

20、变量X，当n很大时，求 P(x1Xx2)时可用正态分布近似为,为什么概率是近似的,增加的部分与减少的部分不一定相等,二项分布的正态近似（实例）,【例】100台机床彼此独立地工作，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的8%。求 (1)任一时刻有7080台机床在工作的概率 (2)任一时刻有80台以上机床在工作的概率 解：设X表示100机床中工作着的机床数，则XB(100,0.8)。现用正态分布近似计算，np=80，npq=16 (1),(2),4.3由正态导出的几个重要的分布,4.3.1 2分布 4.3.2 t分布 4.3.3 F分布,由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(He

21、rmert)和卡皮尔逊(KPearson) 分别于1875年和1900年推导出来 设 ，则 令 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即 当总体 ，从中抽取容量为n的样本，则,4.3.1 2分布(2 distribution),分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U2(n1)， V2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布,2分布(性质和特点),(c2)分布(图示),用EXCEL中的CHIDIST函数

22、计算c2分布的右尾概率 用EXCEL中的CHIINV函数计算概率给定右尾概率和自由度时相应的反函数值c2值,4.3.2 t 分布( t distribution),t 分布的提出者是WILLIAM GOSSET，由于他经常用笔名“student”发表文章。用t表示样本均值标准化后的新随机变量，因此称为t 分布，也称学生分布。,t 分布( t distribution),t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，t分布也逐渐趋于正态分布,利用EXCEL中的TDIST函数可以计算给定t值和自由度时t分布的概率值，利

23、用TINV函数可以计算给定概率和 自由度的相应的t值。,由统计学家费舍(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一个字母来命名的 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为,4.3.3 F分布(F distribution),F分布(图示), 不同自由度的F分布,利用EXCEL中的FDIST函数可以计算给定F值和自由度n1和n2时F分布的右尾概率，利用FINV函数可以计算给定右尾概率与自由度n1和n2时的相应的F值。,4.4 样本统计量的概率分布,4.4.1 三种不同性质的分

24、布 4.4.2 样本统计量的抽样分布,4.4.1 三种不同性质的分布,总体分布 样本分布 抽样分布,总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的 可以假定它服从某种分布,总体分布(population distribution),一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布,样本分布(sample distribution),样本统计量的概率分布 是一种理论概率分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,

25、抽样分布 (sampling distribution),抽样分布 (sampling distribution),4.4.2 样本统计量的抽样分布,样本均值的抽样分布 样本比例的抽样分布 抽样方差的抽样分布,样本均值的抽样分布,容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布 一种理论概率分布 进行推断总体总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,样本均值的抽样分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,