2015-2016第一学年自控试题-a卷-试题答案_W

1、 北京航空航天大学20152016 学年 第一学期期末机电控制工程基础* 试A 卷（答案）班 级 学 号 姓 名 成 绩 2016 年 1 月 5 日 A一、（本题共 60 分，共 5 小题，每小题 12 分）（1）设函数 f(t)如题一（1）图所示，试求其像函数 F(s)。解：将函数 f(s)分解成多个典型信号叠加的形式，如下图所示：22221111=+0000ttt-1-1-1-1-2-2-2-2222111+000-1-1-1-2-2-2f (t) =f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) +f4 (t) + f5 (t) + f6 (t)f (t ) = 1 + 1 t +

2、(-2) (t - T ) - 2 t t - T ) + 1 (t - 2T ) + 1 t (t - 2T )T对上式进行拉氏变换即可得像函数 F(s)TTF (s) = 1+1- 2 e -Ts2e -Ts + 1 e -2Tss1e-2Ts-+Ts 2Ts 2Ts 2ss= (Ts + 1)(1 - e -Ts )2Ts 2A-1f(t)T2Ttf(t)T2Ttf(t)T2Ttf(t)T2Tf(t)T2Tf(t)T2Tf(t)T2Tt A（2）某质量-弹簧-摩擦系统如题一（2）图所示，图中 f 为黏性摩擦系数，k 为弹簧系数，系统的输入量为力 p(t)，系统的输出量为质量 m 的位移

3、x(t)。试列出系统的输入输出微分方程，并求系统在零初始条件下的传递函数 X(s)/P(s)。 kf题一（2）图解：根据牛顿第二定律，有：d 2 x(t)dx(t )p(t ) - f- kx(t ) = mdt 2dt整理得系统的微分方程为：d 2 x(t)dx(t )+ f+ kx(t ) = p(t )mdt 2dt在零初始条件下，对上式进行拉氏变换有：ms 2 X (s) + fsX (s) + kX (s) = P(s)(ms 2 + fs + k)X(s) = P(s)整理得系统的传递函数为：X (s) =1ms 2 + fs + kP(s)A-2p(t)x(t)m A（3）已知某

4、负反馈系统的闭环特征方程为 s6 + 4s5 - 4s4 + 4s3 - 7s2 - 8s + 10 = 0 ，试用劳斯判据判断系统的稳定性，并求系统实部为正根的个数和纯虚根的值。解：根据劳斯稳定判据列劳斯表：S3 所在的一行出现了全零行，根据劳斯判据，建立辅助方程F(s) = -5s4 - 5s2 + 10对辅助方程求导得： F (s) = -20s3 - 10s1用求导后辅助方程的系数作为 s3 所在一行的系数。 劳斯表第一列中各项系数的符号变化次数为 2，说明该系统有 2 个实部为正的根。纯虚根可由辅助方程求得。 F (s) = -5s4 - 5s 2 + 10 = 0s4 + s 2

5、- 2 = 0解得： s1 = -1,s2 = 1,s3 = - 2 j,s4 =2 j解得两个纯虚根为2 jA-3S61-4-710S544-80S4-5-5100S30000S3-20-1000S2-2.510S1-900S010 A（4）某负反馈系统的开环传递函数为K *G(s) =(s + 1)(s + 2)(s + 4)试证明： s = -1 + j 3 点在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益 K*和开环增益 K。 证明：由系统的开环传递函数可知，系统有 3 个开环极点，无开环零点 P1=-1, p2=-2，p3=-4相角方程为0 - (s - p1 ) + (s - p2 ) + (

6、s - p3 ) = (2k + 1)p将 s = -1 +3 j 代入相角方程的左边有：(s - p ) = p 12(s - p ) = p 23(s - p ) = p 360 - (s - p1 ) + (s - p2 ) + (s - p3 ) = -p满足相角方程。因此，点 s = -1 +3 j 在根轨迹上。K *将 s = -1 +3 j 代入模方程= 1 中，解得 K*=12s + 1 s + 2 s + 4K *K *= 8G(s) =(s + 1)(s + 2)(s+ 4)(s + 1)(0.5s + 1)(0.25s + 1)由K *8K =可得 K=1.5因此，根轨迹

7、增益为K*=12，开环增益 K=1.5。A-4 A1（5）某负反馈系统的开环传递函数为G(s) =，试画出系统的幅相频率特性曲Ts + 1线，并证明幅相频率特性曲线为半圆。解：jG系统的频率特性表达式为：11G( jw) =Tjw + 101A(w) =(Tw)2 + 1j(w) = - arctanTw当w : 0 时， 证明：1 -Tjw1G( jw) =Tjw + 1(Tjw + 1)(Tjw - 1)1 -Tjw=1 + T 2 w21Tw=- j1 + T 2 w21 + T 2 w21= X (w)令 1 + T 2 w2Tw= Y (w)1 + T 2 w2( X (w) - 1

8、 )2 + Y 2 (w) = ( )2 ，为圆心为（1/2,0），半径为 1/2 的圆的方程。由相角的变 122化范围可知，幅相频率特性曲线为半圆。A-5w01/TA(w)12 20j(w)0- p 4- p 2 A二、（本题 20 分，第一小题 7 分，第二小题 4 分，第三小题 4 分，第四小题 5 分） 已知单位负反馈系统的开环传递函数 G(s)所对应的伯德图如题二图所示，G(s)无右半平面的零点和极点。 （1）（2）（3）（4）试写出开环传递函数 G(s)的表达式；概略画出其对数相频特性曲线； 用对数频率稳定判据判断闭环系统的稳定性； 如果系统稳定，试求系统的模稳定裕度 h 和相稳定

9、裕度g。解：由伯德图的起始段可知，系统有 2 个积分环节，系统的开环传递函数为： sK (+ 1)L(w)-40-205G(s) =0s500w550s 2 (+ 1)500由图可知，当w1=5 时， L(w1 ) = 20 lgK - 20n lgw1 20 = 20 lg K - 40 lg5K = 250于是得系统的开环传递函数为：250( s + 1)-40j (w)0w- p 2-pG(s) = 5ss 2 (+ 1)500（3） 由伯德图可知，当wwc 时，相频特性曲线对- p 线的正穿越次数 N+和负穿越次数 N-均为 0，即 N+-N-=0，而系统为最小相位系统，因此，系统稳定

10、。（4） 由于相频特性曲线不会穿越- p 线，因此，h=g = p + j(wc ) = p + arctan 0.2wc - p - arctan 0.002wc相稳定裕度为： = arctan 10 - arctan 0.1= 84.3o - 5.7o = 78.6oA-6 A三、（本题共 20 分，第一小题 10 分，第二小题 4 分，第三小题 6 分） 已知某控制系统的动态结构图如题三图所示， （1） 试绘制出当参数 K 从 0变化时，系统的闭环根轨迹图；（要求写（2） 试求系统闭环稳定时参数 K 的取值范围； 骤）现要求系统工作在欠阻尼状态，且在 r(t)=t 时的稳态误差 ess0.2，试确定满足要求的 K 值范围。 （3）R(s)解：系统的开环传递函数为：jKG(s) =s(s + 3)2系统有 3 个开环极点，p1=0, p2=-3, p3=-3实轴上的根轨迹区段为（-，0， o = - 6 = -20-3-1a3渐近线：= p ;pja312分离点坐标： += 0 ，解得：d=-1，对应 dd + 3的 Kd=4将 s=jw代入闭环特征方程中，得出与虚轴的交点为，w=3，