根轨迹法习题和答案

1、.第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为K *G(s) H (s)(s1)(s2)(s4)试证明 s11j3 在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K * 和开环增益 K 。解若点 s1 在根轨迹上，则点s1 应满足相角条件G (s)H ( s)(2k1)，如图所示。对于 s1j3 ，由相角条件G(s1 )H (s1)0(1j31)( 1j 32)(1j34)0362满足相角条件，因此s1j3 在根轨迹上。1将 s1 代入幅值条件：G(s )H （ s）K*1111 j 3 11 j 3 2 1 j 3 4解出 ： K *12， KK *3824-2已知单位反馈系统的开环传递函数如下，

2、试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出b2 时系统的闭环传递函数。（1） G (s)20（2） G (s)10(s 2b)4)(sb)s(s 2)(s b)(s解(1) G (s)b(s4)b(s 4)s24s 20(s 2 j 4)(s 2j4).G (s)20(s)s26s281 G (s)(2)G (s)b(s22s20)b(s 1j19 )(s 1j 19)s(s22s10)=s(s1j3)(s 1j3)(s)G (s)10(s4)1 G(s)s34s214s404-3已知单位反馈系统的开环传递函数G (s)2s，试绘制参数b 从零变(s 4)(sb)化到无穷大时的根轨迹，

3、并写出s=-2 这一点对应的闭环传递函数。解b(s4)G (s)6)s(s根轨迹如图。s2 时 b4 ，(s)2s2ss210s16(s 2)(s8)4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 G(s)k(2)k (s1)1)(0.5s1)G (s)1)s(0.2ss(2sk*(s5)(4)k * (s1)(s 2)(3) G(s)2)(s 3)G (s)s(ss(s 1)解 G (s)K10Ks(s 5)(s 2)s(0.2s 1)(0.5s 1)三个开环极点： p10 , p22 , p35 实轴上的根轨迹：, 5,2,0.a 渐近线：a 分离点：025733(2k1),

4、331110d d 5 d 2解之得： d10.88 ， d 23.7863 (舍去 )。 与虚轴的交点：特征方程为D (s) s37s210s 10 k 0ReD( j)7 210k0令)3100Im D( j10解得k7与虚轴的交点（0，10 j ）。根轨迹如图所示。K (s1) K (s1)G(s)1)1s( 2s2s(s)2根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 分离点：, 1 ,0.5,0111dd0.5d1解之得： d0.293,d1.707 。根轨迹如图所示。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：5, 3 ,2,0.0 23 ( 5)a0 渐近线：2( 2k1)a22 分离点：1111d

5、d 2d 3d 5用试探法可得 d0.886。根轨迹如图所示。(4) 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0, 1,-1,-2分离点： 1111dd 1d 1d 2求解得： d10.37， d 21.37根轨迹如图所示。4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为kG(s)s(0.02s1)(0.01s1)要求： (1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值；(3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。解(1) G (s)k5000k1)(0.01s1)s(s 50)(s 100)s( 0.02s实轴上的根轨迹： 0, -50,-100,-分离点： 1110dd 50 d10

6、0求解得 d121.13， d 278.87 渐近线：a50， a60 o，180 o.根轨迹如图所示。(2) 系统临界稳定时 k * 750000， k 150(3) 系统临界阻尼比时 k*48112 .5， k 9.624-6已知系统的开环传递函数为G(s) H(s)2k*，要求绘制根轨迹并确8ss(s20)定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。解G(s)H(s)K8s 20)s(s2 实轴上的根轨迹：,0 渐近线：aa0 (4 j2)( 4 j2)833(2k1),33分离点：1110dd4j 2d4j2解之得： d2,d3.33。与虚轴交点： D (s)s38s220sk把 s

7、 j代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：Re(D ( j)k 8 2Im( D ( j)20300解得：025k0k160起始角：由相角条件p 263， p 363。.根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时14.8 k*16， 所以 0.74 k 0.84-7 单位反馈系统的开环传递函数为G(s)k (2s1)，(s 1) 2 (4 s 1)7试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值范围。解 ：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0.5，7 / 4 渐近线：aa117 / 4( 0.5)128(2k1)22 与虚轴交点：闭环特征方程为D(s)4 s31 s2( 2k10 )

8、sk10777把 s j代入上方程，Re(D( j)K11 20令7Im( D( j)(2K10)4307702解得：，9K1K7根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K 值范围为 1 K 9 7 。4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。K（s）2G(s)H (s)4s9) 2(s2.解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, 2 渐近线：2j 52j 5(2)2a33(2k1),a33221 分离点：d2j 5d2d 2 j 5解之得： d3.29d0.71 (舍去 )与虚轴交点：闭环特征方程为D (s)(s24s 9)2K（s）02把 sj代入上方程，Re

9、(D ( j)4342812K0令3Im( D ( j) (72K)80解得：21K96起始角：90（2 p1290 ） （2k1）解出p145 ,p2135根轨迹如图所示。4-9已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和 T 为变化参数的根轨迹。(1)G (s)1/ 4(s a)0 ； (2)G (s)2.6s2 (s， a， T 01)s(0.1s 1)(Ts 1)解 (1)G (s)a / 4s(s0.5) 2 实轴上的根轨迹：(，0). 渐近线：a1/ 3， a60o ，180o 分离点： d1/ 6根轨迹如图所示。(2)Ts 2(s10)G (s)10s26s2 实轴上的根轨迹：(

10、，0) 起始角终止角：2(180otg 1 1) tg 1 1(p 90o ) 180o55解得起始角p78.7 o2 z 0 o(tg 1 1tg 1 1 )180o55解得终止角z90 o根轨迹如图所示。4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹，并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的值。G(s)H (s)k (s1)(s1) 2 (s18)解实轴上的根轨迹：18， 1分离点： d14.22 ， d 26.28渐近线： a7.5，a90 o. 与虚轴交点： s1,21.86 j ， k *37.7根轨迹如图所示。d1 处 k *116.6 ， d

11、2处 k *117.6 ， k k*/ 18结论：6.48 k 6.53时所有根为负实根，k2.095时系统稳定。4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数 T 的变化对系统动态性能的影响。解： G(s)100s220sTs3作等效开环传递函数*1 T (s220s 100)G(s)s3根轨迹绘制如下：（注意： k *1/ T ) 实轴上的根轨迹：(, 10,10,0 分离点：32解得 d30 。dd10根据幅值条件，对应的T0.015。 虚轴交点：闭环特征方程为D ( s )Ts 3s 220 s1000把 sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：R

12、e(D ( j)10020Im( D ( j)20T 3010解得：T0.2 起始角：60p1.参数 T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)从根轨迹图可以看出，当0T0.015 时，系统阶跃响应为单调收敛过程；0.015 T 0.2 时，阶跃响应为振荡收敛过程； T 0.2 时，有两支根轨迹在 s 右半平面，此时系统不稳定。若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：G (s)Ts 3s220s100三条根轨迹中两条起于-10，一条起于，均终止于原点 实轴上的根轨迹：( , 10 ,10,0 分离点：3230 。dd解得 d10其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-

13、10 处为两个开环极点，原点处为3 个开环零点，根轨迹方向与图中一样。4-12控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹( k *0 )。解此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 实轴上的根轨迹：, 2 , 1, 分离点：312d 1d解得d0.5 起始角：根据相角条件，mnij 2ki 1j 1.得p160 ， p260 ， p3 180 。根轨迹如图所示。4-13设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)k (1s) ，试绘制其根轨迹， 并求出s(s2)使系统产生重实根和纯虚根的k值。解 由开环传递函数的表达式知需绘制0 根轨迹。 实轴上的根轨迹：2,0 ,1,) ；111 分离点：d2d1d解得： d10.732, d 22.732将 sd10.732 ,s