2013《二次函数》复习提纲

1、二次函数复习提纲一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()例：（2012泰安）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限考点：二次函数的图象；一次函数的性质。解：抛物线的顶点在第四象限，m0，n0，

2、m0，一次函数的图象经过二、三、四象限，故选C3、二次函数图像的画法（五点法）：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。图像参考： 二、二次函数

3、的解析式（1）二次函数有四种表达形式二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a0），x取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a0，b是常数，b0），x取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a0，c是常数，c0），x取任意实数。二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a0，b是常数，b0，c是常数，c0），x取任意实数。（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：（a0）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在

4、时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式（a0）。如果没有交点，则不能这样表示。例:（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）ABCD考点：二次函数图象与几何变换。解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：故选A三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考

5、虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为

6、何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值分析：（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2；最后根据三角形的面积公式可以求得SACG=SA

7、EG+SCEG=（t2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，SACG的最大值为1；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上解答：解：（1）A（1，4）（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4抛物线过点C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1，抛物线的解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3（2分）（2）A（1，4），C（3，0），可求直线AC的解析式为y=2x+6点P（1，4t）（3分）将y=4t代入y=2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+（4分）点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4GE=（4）（4t）=t（5

8、分）又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2，即SACG=SAEG+SCEG=EG+EG（2）=2（t）=（t2）2+1（7分）当t=2时，SACG的最大值为1（8分）（3）t=或t=208（12分）（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）点评：本题考查了二次函数的综合题其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增

9、大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上，0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）例1（2012兰州）抛物线y2x21的对称轴是( )分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴解答：解：抛物线y2x21的顶点坐标为(0，1)，对称轴是直线x0(y轴)，故选C例2（2012烟台

10、）已知二次函数y=2（x3）2+1下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线x=3；其图象顶点坐标为（3，1）；当x3时，y随x的增大而减小则其中说法正确的有（ ） A1个B2个C3个D4个考点：二次函数的性质。分析：结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可解答：解：20，图象的开口向上，故本小题错误；图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；当x3时，y随x的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有共1个故选A例3（2012德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，那么c的取值范围是（） A

11、c=3 B c3 C1c3 D c3考点：二次函数的性质。分析：因为当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0，有题意可知当x=3时，y=9+3b+c0，所以联立即可求出c的取值范围解答：解：当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0，当1x3时，总有y0，当x=3时，y=9+3b+c0，联立解得：c3，故选B五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根

12、这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物

13、线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：例1（2012杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A2B3C4D5考点：抛物线与x轴的交点。分析：根据抛物线的解析式可得C（0，3），再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐

14、标，再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论，求得k的值，即可求出答案解答：解：根据题意，得C（0，3）令y=0，则k（x+1）（x）=0，x=1或x=，设A点的坐标为（1，0），则B（，0），当AC=BC时，OA=OB=1，B点的坐标为（1，0），=1，k=3；当AC=AB时，点B在点A的右面时，AC=，则AB=AC=，B点的坐标为（1，0），=1， k=；当AC=AB时，点B在点A的左面时，B点的坐标为（，0），=，k=；所以能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条； 故选B点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，此题要能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点，结合等腰三角形的性质和勾股定理

15、列出关于k的方程进行求解是解题的关键例2：（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（ ） A B3 C D9考点：抛物线与x轴的交点。解：抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3，a0.，即，一元二次方程有实数根，=，即，即，解得，m的最大值为3故选B六、确定二次函数关系式的基本题型1二次函数关系式设为：y=ax2（a0）例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点，所以，不妨设二次函数的解

16、析式：y=ax2（a0），因为，AB=20，所以，FA=FB=10，因为，CD=10，所以，EC=ED=5所以，点A的坐标为（-10，），点C的坐标为（-5，），所以，= a（-10）2=100a，= a（-5）2=25a，因为，EF=3，所以，-=3，所以，25a -100a=3，解得：a=-，所以，所求函数的解析式：y=- x2。小结：当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=ax2（a0）把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；解方程，求得a值；把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

17、2二次函数关系式设为：y=ax2+bx（a0）例2、（2008年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式解：（1）所以，抛物线的开口向下，顶点为，对称轴为直线。（2）令，得：，解得：，所以，球飞行的最大水平距离是8m（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为1

18、0m所以，抛物线的对称轴为，顶点为（5，），设此时对应的抛物线解析式为：y=ax2+bx（a0），因为，抛物线经过点（10，0），所以，100a+10b=0，即10a+b=0，因为，抛物线经过点（5，），所以，25a+5b=，即5a+b=，解得：，b=， 所以，二次函数的解析式是：。小结：当知道抛物线经过原点，且抛物线与x轴相交，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx（a0）把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a、b的二元一次方程组；解方程组，求得a、b值；把a、b的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。3二次函数关系式设为：y=ax2+c（a

19、0）例3、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图3所示，上方可看作是一个经过、三点的抛物线，以桥面的水平线为轴，经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱）米，米（1）求经过、三点的抛物线的解析式。（2）求柱子的高度。解：因为，抛物线的对称轴是y轴，所以，设二次函数解析式为：y=ax2+c（a0）， 因为，二次函数图象过点C（0，1），所以，c=1，因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱），且米，所以，点F的坐标是（-4，2），所以，16a+1=2，解得：

20、a=，所以，二次函数的关系式是：y=x2+1；（2），因为，OD=8米，设点A的坐标是（-8，y），所以，y=（-8）2+1=5，因此，柱子的高为5米。小结：当知道抛物线的顶点在y轴上，和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=ax2+c（a0）把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a，c的二元一次方程组；解方程组，求得a、c值；把a、c的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4二次函数关系式设为：y=a(x-h)2（a0）例4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，0），且过点B（3，4）求该二次函数的解析式。解：

21、设二次函数解析式为：y=a（x-1）2， 因为，二次函数图象过点B（3，4），所以，4a=4，解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2，即y=x2-2x+1。小结：当知道抛物线的顶点坐标：M（h，0）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2a0）把点A的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；解方程，求得a值；把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。5.二次函数关系式设为：y=a(x-h)2+k(a0）例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）

22、求该二次函数的解析式。解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2-4， 因为，二次函数图象过点B（3，0），所以，4a-4=0，解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。七 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）、1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为2，二次函数图象的平移图象平移示意图一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x- h）2+k的图象y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（

23、x- h）2y=a（x- h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移图象的平移方法1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x- h）2+k的形式 即y=ax2bxc 图1y=ax2x y O y= a（x）2y= a（x）2+= a（x2x）= a x22x（）2（）2= a（x）22、图象的平移的方向和大小根据的正（负）将其图象向左（右）平移|个单位；再根据的正（负）将其图象向上（下）平移|个单位，即可得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图1所示平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆)说明： 函数

24、中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右。向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。3.直线斜率： ， b为直线在y轴上的截距。4、直线方程：两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: 此公式有多种变形 牢记点斜 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距5、设两条直线分别为，： ： 若，则有且。 若6， 点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 7，抛物线中， a b c,的作用 （1）决

25、定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧. 口诀 - 同左 异右 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴； ,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .例1（2012乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（1，0）设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A0t1B0t2C1t2D1t1考点

26、：二次函数图象与系数的关系。分析：由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1把点（1，0）代入y=ax2+bx+1，ab+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围解答：解：二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（1，0），易得：ab+1=0，a0，b0，由a=b10得到b1，结合上面b0，所以0b1，由b=a+10得到a1，结合上面a0，所以1a0，由得：1a+b1，且c=1，得到0a+b+12，0t2故选：B例2：（2012潜江）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交

27、点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有（）A3个B2个C1个D0个考点：二次函数图象与系数的关系。分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a0，根据图象与y轴交点可得c0，再根据二次函数的对称轴x= ，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b0，根据a、b、c的正负即可判断出的正误；利用b2a=0时，求出a2b+4c0，再利用当x=4时，y0，则16a+4b+c0，由知，b=2a，得出8a+c0解答：解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x= 0，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对称轴是x=1， =1，b+2a=0，故错误；a0，b0，