13函数的性质

1、1.3 函数的基本性质,1.3.1函数的单调性,一、函数单调性定义,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,1增函数,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,2减函数,2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；,注意：,1.必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.,例1.下图

2、是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？,解:函数y=f(x)的单调区间有,其中y=f(x)在区间-5, -2), 1, 3)上是减函数， 在区间-2, 1), 3, 5 上是增函数.,-5, -2), -2,1), 1, 3), 3, 5.,二.典例精析,例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。,证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则,由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0,又k0,于是,所

3、以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.,取值,定号,结论,例3.证明：函数 在 上是增函数.,证明：在区间 上任取两个值 且,，且,所以函数 在区间上 是增函数.,思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？,取值,判号,定论,三、判断函数单调性的方法步骤,取值： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差：f(x1)f(x2)； 变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； 定号：（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,四、归纳小结,3.函数单调性的证明，证明一般分五步

4、： 取 值 作 差 化简 判号 下结论,2.会利用函数图像找出函数的单调区间,1.函数单调性的定义,Monday, September 28, 2020,（二）,1.3.1单调性与最大(小)值,设函数f(x)的定义域为,如果存在实数M满足:,(1)对于任意的xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M.,则称M是函数的最大值(maximum value),1.函数的最大值：,构建数学,上面我们从直观的感受知道了最值的概念,下面给出严格的定义.,2.函数最大值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的xI,都有f(x)M,注意:1.函数最大值首先应该是某一个函数值,即存在x0I

5、,使得f(x0) = M；,(1)对于任意的xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M.,则称M是函数的最小值(minimum value),设函数f(x)的定义域为,如果存在实数M满足:,2.函数的最小值：,函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标,好象有一种一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景.,想一想,请大家思考, 是否每个函数都有最大值,最小值？举例说明.,一个 函数不一定有最值.,有的函数可能只有一个最大(或小)值.,如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的,但取最

6、值时的自变量可以有多个.,归纳总结,例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?,数学运用,例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?,解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.,则函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳

7、时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.,数学运用,由二次函数的知识,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:,答:烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.,例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?,函数有最大值,【1】求函数y=x2-2x-1的值域和最值. (1) x0, 3 (2) x(2, 4 (3) x-2, -1,ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)=2.,值域-2,2,ym

8、ax=f(4)=7.,值域(-1,7,ymax=f(-2)=7.,值域2,7,ymin=f(-1)=2,练一练,例2.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值,解:设x1, x2是区间2,6上的任意两个实数,且x1x2,则,由20,(x1-1)(x2-1)0,于是,因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值.,所以,函数 是区间2,6上的减函数.,当x=2时取最大值,当x=6时取最小值,即,【2】已知函数 求函数的最大值和最小值,练一练,【3】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-,-2上递减,在-2,+)上递增,则f(x)在1,2上的值域_.,21,49,练一练,例3.

9、某种商品进货单价为40元,按单价每个50元售出,能卖出500个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元,其销售量就减少10个,问零售价上涨到多少元时,出售这批货物能取得最高利润.,分析:利润=(零售价-进货单价)销售量.,解:设利润为y元,零售价上涨了x元, 则 y=(50+x -40)(500-10 x),(其中0x50),即零售价上涨到70元时,这批货物能取得最高利润.最高利润为9000元.,0x50, x =20时,y有最大值., ymax= 9000.,课堂小结,1.函数的最大(小)值的定义及几何意义,2.三类函数的最值的求法,利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值.,利用图象

10、求函数的最大(小)值.,利用函数单调性求函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b).,函数在其定义域上的最大值,其几何意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为图象上最低点的纵坐标.,1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大(小)值,2. 利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b);,如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数

11、y=f(x)在x=b处有最小值f(b).,利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,习题课,（三）,1.3.1单调性与最大(小)值,在 上是增函数 在 上是减函数,在 上是增函数 在 上是减函数,在(-,+)上是减函数,在(-,+)上是增函数,一次函数y=kx+b(k0),1.求函数的单调区间;,2.判断函数的单调性(证明);,5.求函数的最值或值域,3.比较函数的大小,函数单调性的应用,4.求参数的取值范围,【例1】函数 y=x2 -2|x|-3 的单调递增区间是_;,-1,0,1,+),-2,1,-1,一、求函数的单调区间,【1】 求函数 y=|x+1|1x| 的单调区间.,解:由 y

12、= | x + 1 |1x |,知,故函数的增区间为1, 1.,练一练,【2】画出函数y = |x2-2x3|的图象.,解:当 x2-2x-30 ,即 x 1 或 x3 时,y = x2-2x3,=( x-1)24.,当 x2-2x30,即 1x3时,y =(x2-2x-3),=(x-1)2+4.,【3】求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.,解:(1)当x0时,y=-2(x-1)+3x=x+2;,(2)当0 x1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2;,(3)当x1时,y=2(x-1)+3x=-x-2.,备课资料,1.函数 的单调减区间为_.,2.函数y=|2x-1|的单调增区间是_.

13、,巩固练习,【例2】证明函数 在,上是减函数.,二、判断(证明)函数的单调性,证明：任取,因此 在 上是减函数.,【例2】证明函数 在,二、判断(证明)函数的单调性,上是减函数.,另解:,向上平移,向左平移,2 个单位,3个单位,所以函数f(x)的递减区间是,练一练,【1】写出函数 的单调区间.,例3.已知函数 对任意实数t都有 比较f(1), f(2), f(3)的大小.,三、利用单调性比较函数值的大小,【1】已知函数f(x)在(0,+)上是减函数,则 的大小关系为_.,练一练,1.设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间2,+)上是增函数,求实数a的取值范围.,解:函数y=x2+2(a-1

14、)x+2的对称轴方程为x=1-a,函数的单调增区间是1-a,+), 2,+)是1-a,+)的一个子集, 1-a2即a-1.,即所求的实数取值范围是a-1.,由二次函数性质知,四、利用函数单调性求参数的取值范围,【1】函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6内递减,则a的取值范围是( ) A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3,D,【2】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-,-2上递减,在-2,+)上递增,则f(x)在1,2上的值域_.,21,39,练一练,【3】已知f(x)是R上的增函数, 若a+b0,则有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).,证明:由a+b0,得a-b,

15、b-a.,又因为f(x)是R上的增函数, f(a) f(-b), f(b)f(-a), ,+得f(a)+f(b) f(-a)+f(-b).,练一练,分析:设,则,确定 正负号的关键,是确定,的正负号.,由于x1, x2在同一区间内,要使 则需,要使 则需,例5.求函数 的最大值.,五、求函数的最大(小)值或值域,例5.求函数 的最大值.,解:任取x1, x2 , x1, x22,4,且x1 x2,当 时,所以函数f(x)在2,4上是减函数.,同理函数f(x)在4,10上是增函数.,五、求函数的最大(小)值或值域,解：函数,在2,4上是减函数.,所以f(x)在2,4上有最大值,函数,在4,10上

16、是增函数.,所以f(x)在4,10上有最大值,所以函数f(x)在2,10上的最大值是,例.函数f(x)是定义在(0,+)上的递减函数,且f(x) f(2x-3),求x的取值范围.,解: 函数f(x) 在(0,+)上为减函数,x的取值范围是.,解之, 得,六、利用函数单调性解不等式,【例】求f(x)=x2-2ax+2在 2,4 上的最小值.,解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2, 当a2时,当2a4 时，,当a4时, f(x)min=f(2)=64a;,f(x)在 2,4 上是增函数, f(x)min=f(a)=2a2.,f(x)在2,4上是减函数., f(x)min=f(4) = 1

17、88a.,七、有关最值讨论题,课堂小结,1.函数单调性的定义：,图象法,定义法,2.函数单调性的判定：,3.函数单调性的应用：,(1)设元:对任意x1,x2D,且x1x2 (2)作差:f(x1)-f(x2) (3)变形 (4)判号 (5)定论,*求函数 的单调区间.,若函数f(x),g(x)在给定的区间I上具有单调性, (1)k0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性； (2)若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性. (3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数. (4)若f(x)0,g(x)0,且f(x

18、)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)也是增(减)函数;若f(x)0,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)是减(增)函数.,4、单调性性质规律总结:,复合函数：,y=fg(x),令 u=g(x),则 y=f(u),内函数,外函数,y=fg(x),原函数,以x为自变量,以u为自变量,以x为自变量,5、复合函数的单调性,复合函数单调性结论：,当内外函数在各自定义域内同增同减时,原函数增;,当内外函数在各自定义域内一增一减时,原函数减.,函数的奇偶性,书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟,少 壮 不 努 力 ，老 大 徒 伤 悲,成功=艰苦

19、的劳动+正确的方法+少谈空话,引 例,1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2),f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-1)=f(1),f(-x)=(-x)2=x2 f(-x)=f(x),思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？,偶函数的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=f (x),图像特征:关于y轴对称.,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数

20、(even function).,1. 偶函数的概念,2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2), f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8 f(-2)= - f(2),f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1),f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x),思考 : 通过练习,你发现了什么规律?,(-x,-y),(x,y),奇函数的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=-f (x),图像特征:关于原点对称.,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那

21、么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).,2.奇函数的概念,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,(1)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立.若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立.,(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,注意事项,注意：,(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.,(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是

22、，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称),(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.,(4)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,注：1.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.,例1.判断下列函数是不是偶函数,（1）不是 （2）不是,例2. 函数 是定义在 上的偶函数,则该函数的值域是_.,例3.判断下列函数的奇偶性,定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.,2.奇偶函数图象的性质:,(

23、2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数,.,奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性. 简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.,如:f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,求方程f(x)=0的所有实根之和,例3.已知f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x22x,求当 x0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.,解:f(x)是奇函数,f(-x)=f(x).,当x0时,f(x)=x22x,当x0时,-x0,f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,即 -f(x)= (x2+2x), f(x)=-x2-2x.,例1. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(