二次微分方程的通解

1、最新资料推荐第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程 ：一、 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中 p、 q 均为常数如果 y1、 y2 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么 y C1y1 C2y2 就是它的通解我们看看能否适当选取r 使 y erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将 yerx 代入方程ypyqy 0得(r 2 pr q)erx 0由此可见只要 r 满足代数方程r

2、 2 pr q 0函数 y erx 就是微分方程的解特征方程方程 r2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0 的特征方程特征方程的两个根r 1、r 2可用公式r1,2pp2 4q2求出特征方程的根与通解的关系(1) 特征方程有两个不相等的实根r 1、 r 2 时函数 y1er1x 、 y2er2 x 是方程的两个线性无关的解这是因为函数 y1r1x、 y2er2 x是方程的解y1er1x(r1r2) x不是常数e又er2xey2因此方程的通解为y C1er1xC2er2 x(2) 特征方程有两个相等的实根r1 r 2 时 函数 y1 er1x 、y2 xer1 x 是二阶常系数齐次线性微

3、分1最新资料推荐方程的两个线性无关的解这是因为y1 er1x 是方程的解又(xer1x )p(xer1x)q( xer1x)(2rxr 2 )er1xp(1xr )er1xqxer1x111er1x(2r1 p) xer1x (r12 pr1 q) 0所以 yxer1x也是方程的解y2xer1 xx 不是常数且2y1er1x因此方程的通解为y C1er1x C2 xer1x(3) 特征方程有一对共轭复根 r1, 2i 时 函数 y e( i)x、y e(i ) x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数 ye xcos x、ye xsin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数 y

4、1 e(i)x 和 y2e(i)x 都是方程的解而由欧拉公式得y1(i)xx(cos xi sinx)eey2e(i)xe x(cos xi sinx)y1y2xxe x cos x1 ( yy)2ecos212y1y22iexsinxe x sinx1 ( yy )2i12故 e xcos x、 y2 e xsin x 也是方程解可以验证y1 e xcos x、 y2 e xsin x 是方程的线性无关解因此方程的通解为y e x(C1cos x C2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 0 的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程2prq 0r第二步求出特征方程的两个根r

5、 1、 r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例 1求微分方程 y 2y 3y0 的通解解 所给微分方程的特征方程为22r3 0 即 (r 1)(r 3)0r其根 r11r23 是两个不相等的实根因此所求通解为y C1e x C2e3x例 2 求方程 y2yy 0 满足初始条件y|x 0 4、 y |x 02 的特解2最新资料推荐解 所给方程的特征方程为r22r 1 0 即 (r 1) 2 0其根 r1 r 21 是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为xy (C1 C2x)e将条件 y|x 04 代入通解 得 C1 4从而y (4 C2x)e将上式对x 求导得xy( C2

6、 4 C2x)e x再把条件 y |x 02 代入上式得 C2 2 于是所求特解为x(4 2x)e x例 3求微分方程 y 2y5y0 的通解解 所给方程的特征方程为25 0r2r特征方程的根为r 11 2i r2 12i是一对共轭复根因此所求通解为y ex(C1cos2x C2sin2x)n 阶常系数齐次线性微分方程方程y(n ) p1y( n 1) p2 y(n 2)pn 1y pny 0称为 n 阶常系数齐次线性微分方程其中 p1p2pn 1pn 都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D 及微分算子的 n 次多项

7、式L(D)=D np1Dn 1 p2 D n 2pn 1 Dpn则 n 阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n p1Dn 1p2 D n 2pn 1Dpn)y 0 或 L(D) y 0注 D 叫做微分算子D0y y Dy yD2y yD3y yDny y(n)分析令 y erx则L(D) yL(D) erx (r n p1r n 1p2 rn 2pn 1rpn)erxL( r)erx因此如果 r 是多项式 L(r)的根则 y erx 是微分方程 L(D) y 0的解n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r ) rnn 1n 2p1rp2 rpn 1 r pn 0称为微分方程L(D) y 0

8、 的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根 r对应于一项Cerx3最新资料推荐一对单复根 r 1 2i 对应于两项e x(C1cos x C2sin x)k 重实根 r 对应于 k 项 erx(C1 C2xCk xk 1)一 对 k重复根 r1 2i 对应于2k 项x(C1 C2xk 1k 1eCk x )cos x ( D1 D2 xDk x )sin x例 4 求方程 y(4) 2y 5y 0 的通解解这里的特征方程为r42r35r2 0即 r 2(r 2 2r5) 0它的根是 r1r 20 和 r 34 1 2i因此所给微分方程的通解为y C1 C2 x ex(C3cos2x C4s

9、in2x)例 5 求方程 y(4)4y 0 的通解其中0解这里的特征方程为440r它的根为 r(1 i)r(1i)1,223,42因此所给微分方程的通解为yxxCsinx)excos xCsin x)e 2 (C cos2 (C12223242二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程方程ypy qy f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中 p、 q 是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解 y Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y y*( x) 之和yY( x) y*( x)当 f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法一、 f(x) Pm(x

10、)e x 型当 f(x)Pm(x)e x 时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此 设特解形式为y* Q(x)e x将其代入方程得等式Q(x) (2 p)Q (x) ( 2pq)Q(x)Pm(x)(1) 如果不是特征方程2prq 0的根 则2q 0 要使上式成立Q(x)应设为 m 次多rp项式Qm(x) b0xm b1xm 1bm 1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定 b0 b1bm并得所求特解4最新资料推荐y*Qm(x)e x(2) 如果是特征方程r2prq0 的单根则2 pq 0 但 2p 0要使等式Q(x) (2p)Q (x)(2pq)Q(x) Pm(x)成立 Q(x)应设为 m 1

11、 次多项式Q(x)xQ m(x)Qm(x) b0xmb1xm 1bm 1x bm通过比较等式两边同次项系数可确定 b0 b1bm并得所求特解y*xQ m(x)e x(3) 如果是特征方程r2prq0 的二重根 则 2pq 0 2 p0要使等式Q(x) (2p)Q (x)(2pq)Q(x) Pm(x)成立 Q(x)应设为 m2 次多项式Q(x)x2Qm(x)mm 1bm 1x bmQm(x) b0xb1x通过比较等式两边同次项系数可确定 b0 b1bm并得所求特解y*x2Qm(x)e x综上所述我们有如下结论如果 f(x) Pm(x)e x则二阶常系数非齐次线性微分方程y pyqyf( x)有形

12、如y*xk Qm(x)e x的特解其中 Qm(x)是与 Pm( x)同次的多项式而 k 按不是特征方程的根、 是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、 1 或 2例 1 求微分方程 y 2y3y3x 1 的一个特解解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数 f( x)是 Pm(x)e x 型 (其中 Pm(x) 3x 10)与所给方程对应的齐次方程为y2y3y 0它的特征方程为2r2r 3 0由于这里0 不是特征方程的根所以应设特解为y* b0x b1把它代入所给方程得3b0 x 2b0 3b1 3x 1比较两端x 同次幂的系数得3b033b032b03b112b03b115最新资料推

13、荐由此求得b01b11于是求得所给方程的一个特解为31y*x例 2 求微分方程 y 5y 6y xe2x 的通解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且 f(x)是 Pm( x)e x 型 (其中 Pm(x) x 2)与所给方程对应的齐次方程为y 5y6y 0它的特征方程为r2 5r6 0特征方程有两个实根r 1 2 r 2 3于是所给方程对应的齐次方程的通解为2x3xY C1eC2e由于2 是特征方程的单根所以应设方程的特解为y* x(b0x b1)e2x把它代入所给方程得2b0 x 2b0 b1 x比较两端x 同次幂的系数得2b012b0 1 2b0 b1 02b0 b1 0由此求得

14、b01b11于是求得所给方程的一个特解为2y*x(1 x1)e2x2从而所给方程的通解为y C1e2x C2 e3x1 (x22x)e2 x2提示y* x(b0x b1)e2x (b0x2b1x) e2x22x(2 b0xb1)22x(b0xb1x)e ( b0x b1x) 2e(b0x2b1x)e2x2b02(2b0x b1) 2(b0x2 b1x) 22e2xy* 5y* 6y*( b0x2 b1x)e2x 5( b0x2 b1x)e2x 6( b0x2b1x)e2x2b02(2b0x222x22 x22xb1) 2 (b0xb1x) 2 e 5(2 b0xb1) (b0xb1x) 2e6

15、(b0xb1x)e2b04(2b0xb1) 5(2b0xb1)e2x 2b0x 2b0b1e2x方程 ypyqy e xPl (x)cosx Pn (x)sinx的特解形式6最新资料推荐应用欧拉公式可得e xPl(x)cosx Pn(x)sinxexeixe ixPn(x)eixe ix Pl( x)22i1 P (x) iP (x)e(i) x1 P( x)iP (x)e(i )x2ln2lnP(x)e(i )x P( x)e(i )x其中 P( x)1(PlPni )P (x)1(PlPni )而 m max l n22设方程 ypyqy( i)x的特解为k(i)xP(x)ey1* x Q

16、m(x)e则 y1* xkQm(x)e( i) 必是方程 ypyqy P(x)e( i) 的特解其中 k 按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0 或 1于是方程ypyqyxxPn(x)sinx 的特解为e Pl(x)cosy*xkQ (x)e(i) xxkQ (x)e(i) xmmxkexQ(x)(cosxi sinx)Q(x)(cosxi sin x)mmxk e xR(1)m( x)cosxR(2)m(x)sinx综上所述我们有如下结论如果 f(x) e x Pl(x)cosx Pn(x)sinx则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)的特解可设为y* xk e xR(1)

17、m(x)cosx R(2)m(x)sinx其中 R(1)m(x)、R(2)m(x) 是 m 次多项式m max l n而 k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0 或 1例 3 求微分方程 y y xcos2x 的一个特解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且 f(x)属于 e xPl(x)cos x Pn(x)sinx型 (其中 02 Pl(x) x Pn(x) 0）与所给方程对应的齐次方程为y y0它的特征方程为r2 10由于这里i2i 不是特征方程的根所以应设特解为y* (ax b)cos2x (cx d )sin2x把它代入所给方程得7最新资料推荐( 3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x比较两端同类项的系数得a1 b0 c 0d439于是求得一个特解为y1xx4s