高等数值分析作用――欧拉法与阿达姆斯法

1、求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法， 单步法主要有欧拉法和Runge- Kutta 法，多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以最常用的Runge- Kutta 法和Adams 法分别作为单步法和多步法的例子，对两种方法进行分析比较。Euler 法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法，但其局部截断误差仅为，是一阶方法，为了达到更高的精度，我们构造了RK 法通过构造高阶单步法来提高精度，而较高的精度意味着计算结果更加精确，误差随着的减小迅速减小，考虑常微分方程：常用的多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以Adams 法为例介绍多步法，其中Adams

2、法又包括显式Adams 法和隐式Adams 法。显式Adams 法:Adams- Bashforth 公式：公式（2.7）又称为Adams 外插公式2。为方便计算，改用函数值表示后差：因（2.7）或（2.8）是显式公式，所以又称它们为显式Adams 公式, 易见显式Adams 公式（2.7）或（2.8）是线性步公式。常用的四阶显式Adams 公式为2隐式Adams 法称（2.10）为Adams-Moulton 公式所用的牛顿向后插值多项式基点为，而积分区间为，故上式又称为Adams 内插公式，该式为隐式公式，故又称为隐式Adams 公式。这是一个关于的隐式方程，在计算中，需要将式（2.12）写

3、成显式格式，但一些方程难以求出其显式格式，这就需要将四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法结合起来，用显式公式（2.9）作为预测，然后用隐式公式（2.12）作校正，构造Adams预测- 校正公式2式（2.13）为四阶公式，式中的初始值除y0 已给定， y1， y2， y3 常用四阶RK法计算四级RK 法每前进一步需要计算四个函数值，对N级RK法，每计算一步，函数f 需要计算N次。因此，对给定的N，我们总是希望构造阶数最高的方法，记是N级RK法所能达到的最高的阶数，已经得到下面的结果4：由此可见，当时， ，从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法。对于显式Adams 法，已知， ， 和，把它们

4、代入到式（2.9）右端，就可以直接得到，因而是一个四级四阶的方法，应用公式时需要提供主y0， y1， y2 和y34 个初始值，通常也是由经典RK公式提供。同样，对于四阶隐式Adams 法，式（2.12）是一个三级四阶的，应用该公式需要提供3 个初始值y0， y1 和y2，通常由经典RK公式提供。对四阶RK法，用测试方程分析其精度假设yn 是已知的， yn+1 的精确值为：一步迭代的误差与h5 成比例，即局部截断误差为。3.2.2 多步显式Adams 法的局部截断误差是故，显式Adams 法的局部截断误差的阶为。式（2.9）的局部截断误差为利用牛顿后插值多项式的余项表达式，可得隐式Adams

5、公式的局部截断误差的阶为，因此式（2.12）的局部截断误差的阶为，对照显式公式的局部截断误差阶为，可见同样步隐式公式较之显式公式更为精确，其局部截断误差阶高一阶。四阶四阶RK法的局部截断误差为，而四级四阶显式Adams 法的局部截断误差也为为，这同三级四阶隐式Adams 法的精度是一样的。由此可见，相同精度条件下，隐式Adams 法的步数更少一些。欧拉法对于初值问题，先进行离散化，将区间a，b做n等分，得到各个离散节点，式中，设为方程的解，则在点（xi，yi）处的泰勒展开式为当有界且h充分小时，可忽略高阶无穷小量，可将上式写成上式即为常微分方程初值问题的欧拉公式.利用它可由已知的初值y0出发，

6、逐步算出y1 ，y2 ，yn。欧拉公式具有递推性，在计算yi+1时只要用到前一步所得结果yi一个信息就够了，因此属于单步法或一步法。欧拉公式可分为显式（向前）欧拉格式，和隐式（向后）欧拉格式。它们的表达式分别如下：显式欧拉格式：隐式欧拉格式：阿达姆斯法用前面若干个节点的函数值和导数值的线性组合来计算的近似值，这种方法称为线性多步法。其常用算法主要是阿达姆斯法，分为显示格式和隐式格式。显式阿达姆斯法当k=0时，即为显式欧拉格式，其局部截断误差为当k=4时，其局部截断误差为上式称为阿达姆斯四步显式方法，是一种最常用的多步算法。隐式阿达姆斯法局部截断误差为当k=0时，即为隐式欧拉格式，局部截断误差为

7、当k=3时，局部截断误差为上式称为三步四阶阿达姆斯法隐式算法。精度和收敛性一般的，整体截断误差和收敛速度要比局部截断误差低一阶。显式欧拉方法的局部截断误差为其精度为一阶，整体截断误差为，收敛速度为隐式欧拉方法的局部截断误差为其精度为一阶，整体截断误差为，收敛速度为阿达姆斯四步显式方法的局部截断误差为，其精度为四阶，整体截断误差为，收敛速度为阿达姆斯三步隐式方法的局部截断误差为，其精度为四阶，整体截断误差为，收敛速度为通过上述比较，显然与欧拉方法相比，阿达姆斯法的精度更高，收敛速度更快，但是计算工作量更大，求解难度高。相同步数下，阿达姆斯隐式方法的精度比显式更高；相同精度下，阿达姆斯隐式方法的步数比显式更少。稳定性稳定区域：能保证该算法稳定的的取值范围。其中，稳定区域越大，意味着该算法的稳定性越好。显式欧拉方法的稳定区域为隐式欧拉方法的稳定区域为，是绝对稳定的（无条件）因此，隐式欧拉方法的稳定性比显式欧拉方法的好。k=3时的显示阿达姆斯方法稳定区域