费马点与中考试题

1、识别“费马点” 思路快突破例1 探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PAPBPC的值为ABC的费马距离. 如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCDBCDAACBD.此为托勒密定理.（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点.求证：PBPCPA.根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任

2、取一点P，连结PA、PB、PC、PD.易知PAPBPCPA（PBPC）PA ；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为ABC的费马距离. （3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.（1）平面内一点P到ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离

3、之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120的三角形，分别以 AB，BC，CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1，ACB1，BCA1，然后连接AA1，BB1，CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合.可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是例2 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB；

4、当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.EA DB CNM思路探求：略； 要使AMCM的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将AMCM转化为一条线段，连接AC即可获取； 要使AMBMCM的值最小，由例3积累的知识经验：点M应该是ABC的费马点.由例3中（2）的求解示范，只要连接CE即可获得CE为AMBMCM的值最小.这样获到M点至少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得BM=BN，将三条线段转化到CE上去，问题化为两点之间线段最短.根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过E

5、点作EFBC交CB的延长线于F. 设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，由勾股定理得（）2（xx）2，解得即可.简答：略；当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. FEA DB CNM如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. 理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长. 过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍