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文档简介

1、欧拉公式,新授课,问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表,规律：,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,9,8,15,（欧拉公式）,简单多面体：,表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。,观察下列几何体是否满足欧拉公式：,问题2：如何证明欧拉公式,问题2：如何证明欧拉公式,思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为,思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, nF边形，各个面的内角总和是多少？,(n1-2) 1800+ (n2-2) 1800+ (nF-2) 1800=(n1+n2+nF-2F） 1800,

2、思考3： n1+n2+nF和多面体的棱数E有什么关系,n1+n2+nF=2E,多边形内角和=（E-F）3600,问题2：如何证明欧拉公式,思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？,2（m-2) 1800+(V-m) 3600=(V-2) 3600,（E-F）3600= (V-2) 3600,即V+F-E=2,问题3:欧拉公式的应用,1、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种。计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,例2、有没有棱数是7 的简单多面体？,解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。,根据欧拉公式得 V+F=E+2=9,因为多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情形：,V=4，F=5或V=5，F=4。,但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体,例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数。,例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成

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