第八节极值与最值.ppt

1、回顾：一元函数 y = f (x) 的极值概念：,总有,（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻 近范围的所有点的函数值进行比较。,（2）（极值存在的必要条件）若 f (x) 在极值点 处可导，则导数一定为 0 ，反之不成立。,（3）（驻点为极值点的充分条件）,设,存在，则有,（1）如果,（3）如果,，则,为 f ( x ) 的极小值；,（2）如果,，则,为 f ( x ) 的极大值；,，定理失效。,定义 ：设 z = f ( x , y ) 的定义域为 D，,总有,总有,是 D 的一个内点，,若存在点 的一个去心邻域,极大值和极小值统称为极值 ；,一、 多元函数的极值,例如 :,在点 (0

2、,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,使函数取得极值的点称为极值点 ；,同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念,极值点必是D 的内点 ；,结论：二元函数的极值点是其曲面在某个领域的最高（低）点,问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？,定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：,证明: 如果取y=y0，则函数f(x,y0)是x的一元函数,同理有,极值点的几何意义： 若曲面z=f(x,y)在点 处有切平面，则切平面,使函数的各偏导数同时为0的点，称为驻点.,成为平行于xo

3、y坐标面的平面,说明：,具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。,极值点也可能是偏导数不存在的点。,极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.,例如,有驻点( 0, 0 ),例：,解：,得驻点,该函数无极值。,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,则f(x,y)在(x0 ,y0)处取得极值的条件如下：,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,求极值的步骤,第一步 解方程组,得一切驻点;,例1.,求函数

4、,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 求二阶偏导数及判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,例2. 讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,解,例3,令,代入上式，解得驻点为,得,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f

5、在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,求可微函数最大值和最小值的一般方法：,（1）求函数在 D 内的所有驻点；,（2）求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；,（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上 的最大值，最小者就是最小值。,在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。,把它折起来做成,解: 设折

6、起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,解：,得唯一驻点,（2）在 D 的边界上,所以当,断面的面积最大。,解,如图,解：设箱子的长、宽、高分别为x、y、z, 容量为V， 则V=xyz, 设箱子的表面积为S， 则 S=2(xy+yz+zx),例6. 要造一个容量一定的长方形箱子，问选择怎样的尺寸，才能使用的材料最少？,解得唯一驻点,根据实际问题可知S一定存在最小值 ，并一定在D 内部取得，

7、所以当,S 取得最小值，此时用料最省。,解,由,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,例：求表面积为,解： 设长方体的长、宽、高分别为 x , y , z , 体积 为V , 则问题可描述为：,求体积,在约束条件,下的最大值,转化为无条件极值问题。,而体积为最大的长方体体积,(1) 若z=f(x,y)在 取得极值，则有,(2) 若在 的某一邻域内，f(x,y)与均有连续的一阶偏导数，而,方法2 拉格朗日乘数法.,由隐函数存在定理可知，

8、确定一个单值可导且具有连续导数的函数,所以，z=f(x,y)在 取得所求的极值，即相当于函数 取得极值，由一元函数取得极值的必要条件,有,而 ，用隐函数求导公式，有,代入上式得：,(3) 令,由(1)、(2)、(3)式得:,此即在 取极值的必要条件,（1）构造拉格朗日函数（Lagrange） ：,其中 为参数，称之为拉格朗日乘子,（2）联解方程组，求出问题的所有可能的极值点。,求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值。,（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。,拉格朗日乘数法：,推广,拉格朗日乘数法可推广到

9、多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可能点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,例8.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、

10、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,例9：在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点,则该点到平面的距离为,问题1：在约束条件,下，求距离d的最大最小值。,由于d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1 转化为下面的等价问题：,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,求得两个驻点：,对应的距离为,问题2：在条件,下，求函数,的最大最小值。,（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距 离和最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,例10：求,在条件,解：,下的极值，,其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。,（

11、1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,由对称性知，x = y = z ，,代入最后一个方程解得,这是唯一可能的极值点,（3）判断：,设条件,所确定的隐函数为,代入目标函数中得,它有唯一驻点 ( 3 a , 3 a ),经计算可得,所以， ( 3a , 3a ) 是函数 u = x y ( x , y ) 的极小值点,从而原条件极值问题有极小值点 ( 3a , 3a , 3a),对应的极小值为,解,可得,即,例12 求坐标原点到曲线C： 的最短距离。,解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，,解得,和,综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短

12、距离，可知最短距离为1。,另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,提问,解答,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习,则,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点 动画开始或暂停,备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最