2.111 曲线的参数方程.ppt

1、2.1 曲线的参数方程,1、参数方程,一、概念的引入,已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。 如图所示，某游客现在P0点（其中P0点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过t秒，该游客的位置在何处?,方程、是否是圆心在原点， 半径为r的圆方程？为什么？,例一个质点P开始时位于x轴正半轴的点P0处，按逆时针方向绕原点O以匀角速度作圆周运动，其中|OP|=r,求此质点P的坐标与时刻t的关系。,若要表示一个完整的圆，则t与较为 合适的取值范围是什么？,变数t（或 ）在以上范围内取值时， 可以表示一个完整的圆。,二、参数方程的定义,一般地，平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点的坐

2、标x,y都是某个变量t的函数， 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点P（x,y）都在曲线C上，那么方程组就叫做曲线C的参数方程。 变量t叫做参变量或参变数，简称参数。,相对地,x,y满足的方程F(x,y)=0叫做曲线的普通方程.,几点说明：,普通方程是相对相对参数方程而言的，反 映的是变量x,y的直接关系； 参数方程是在直角坐标系下曲线方程的另 一种形式，反映的是变量x,y的间接关系； 普通方程和参数方程是同一曲线的两种不 同形式，他们之间可以互相转化,二、普通方程和参数方程的互化,例1、将下列曲线的参数方程化为普通方程,练习、将下列曲线的参数方程化为普通方程,例2、作下列参数方程所表

3、示的曲线,练习、作下列参数方程所表示的曲线,化为普通方程。,A圆 B双曲线 C椭圆(无左顶点) D椭圆(无下顶点),例3、将普通方程x2+y2-4y=0化为参数方程,按下列条件，把x2+y2-2ry=0（r0）化为参数方程: (1)以曲线上的点与圆心的连线和x轴正方向的夹角为参数 (2)以曲线上的点与原点的连线和x轴正方向的夹角为参数,【例4】 化下列参数方程为普通方程， 并画出方程的曲线,【例5】将下列曲线的参数方程化为普通方程， 并指出方程所代表的曲线形状,2.1 曲线的参数方程,2、几种曲线的参数方程,引入参数的目的： 两个变量转化为一个变量来解决数学问题； 刻画的点比较明显简洁； 有些

4、曲线上x,y的直接关系很难表示出来,1、写出经过定点P（3,1）且该直线的一个方 向向量为（1，-1)的直线的参数方程。,2、写出经过定点P（3,1）且倾斜角为 的直线l的参数方程。,一、直线的参数方程,如果直线经过点，且的一个方向向 量为（u,v),设(x,y)是上任意一点，此时的参 数方程可写为,例题：求直线l 上到 点P（-1，2）的距离等于2的点的坐标。,例题：直线l的参数方程为： 求过点P（,-1）且与平行的直线m在y轴 上的截距,一、直线的参数方程,如果的倾斜角为，且的一个方向向量为 （cos，sin）（0），此时方程 可写为,例1、写出经过定点P（3，1），且倾 斜角为的直线l的

5、参数方程。,练习：1、写出倾斜角为150度，且经过点（-1，2）的直线的参数方程,2、若直线l的参数方程为 求直线l经过的点、参数、斜率和倾斜角。,二、圆的参数方程,如果圆C的圆心为（xo,yo）,半径为r则此时方程可写为,例、已知点A（x，y）在圆C： 上运动，求x+y+的最大值,例1、已知点A（x，y）在圆C： 上运动，求x+y的最大值,2、在圆x2+y2-2x=0上求一点P，使P到 直线x+y+1=0的距离最大。,练习：求椭圆的两个焦点坐标,三、椭圆的参数方程,椭圆的参数方程为,例3,已知P（x，y）是椭圆 上的一个动点，求 的最大值,例.椭圆上任意一 点P（除短轴端点外）与短轴的两个端

6、 点的连线交x轴于点M，N， 求证：,*四、双曲线的参数方程,双曲线的参数方程为,练习：求直线 与双曲线 的交点的坐标,例,求双曲线 的焦点坐标和渐近线方程。,*五、抛物线的参数方程,抛物线的参数方程为,例,抛物线y2=4x上求一点，使点P到直线 l：4x-3y+3=0的距离最短，并求此时 距离的最小值,2.1 曲线的参数方程,3、参数方程的建立,例：以原点为圆心、R为半径做一个 圆，设定点A的坐标是（2R，0）, B为圆上任意一点，M为线段AB的 中点，求点M轨迹的参数方程。,六、参数方程的建立,例、一木棒AB的两端A、B各在相互垂直 的两杆上滑动，且AB=8cm，求AB的中点 P的轨迹的参

7、数方程。,在三角形AB中,ABC=90o,|AB|=|BC|=4, 顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴（包括 坐标原点）上移动，求顶点C的轨迹方程 （A、B、C按逆时针方向排列）,等边三角形的边长为a，当它的两个顶点分别在x轴、y轴的正方向上移动时， 求第三个顶点的轨迹的参数方程。,例5、设炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，求弹道的轨迹方程（不计空气阻力等因素）,6、一物件作斜抛运动，初速度为40米/秒， 抛射方向与水平方向成45o角， 求这物体运动的轨迹的参数方程 （不计空气阻力等因素）,例4、已知炮弹运动轨迹的参数方程是 设vo是定值，可以变动，当为何值时， 炮弹的射程最大？最大值是多少

8、,思考,（1）若圆的一般方程为 ，你能写出它的一个参数方程吗？ （2）根据引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为t0，高度为h0，则经过时间t该游客的位置在何处？你能否建立合适的参数方程，确定游客的具体位置？ （3）例题1的直线，你能否建立出其他的参数方程,在三角形ABC中,ABC=90o,|AB|=|BC|=4, 顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴（包括 坐标原点）上移动，求顶点C的轨迹方程 （A、B、C按逆时针方向排列）,例2、一木棒AB的两端A、B各在相互垂直 的两杆上滑动，且AB=8cm，求AB的中点 P的轨迹的参数方程。,等边三角形的边长为a，

9、当它的两个顶点分别 在x轴、y轴的正方向上移动时，求第三个顶点 的轨迹的参数方程。,例3、设炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，求弹道的轨迹方程（不计空气阻力等因素）,一物件作斜抛运动，初速度为40米/秒， 抛射方向与水平方向成45o角，求这物体 运动的轨迹的参数方程 （不计空气阻力等因素）,参数的选择,求曲线的参数方程时, 参数可以选时间,角,斜率,线段长 等能反映出问题的物理意义或几何意义 一般的，被选作参数的量，应满足以下两条 (1)选定的参数可以确定曲线上所有点的位置 (2)选定的参数t和x、y的相互关系比较明显，能较容易的列出x、y与t之间的函数关系,以原点为圆心、R为半径做一个圆，设定点A的坐标是（2R，0）,B为圆上任意一点，M为线段AB的中点，求点M轨迹的参数方程。,参数方程化为普通方程的基本方法是“消去参数”。 再消去参数时要注意变量x、y的取值范围，使化成的普通方程和参数方程等价。,五、参数方程的应用,例2、已知炮弹运动轨迹的参数方程是 设vo是定值，可以变动，当