2013届数学（理）第一轮第15章+第79讲+二阶矩阵、常见的平面变换及.ppt

1、第十五章,选考内容,二阶矩阵、常见的平面变换及矩阵的乘法,第79讲,二阶矩阵与平面向量,【例1】求在矩阵 对应的变换作用 下得到点(2, -4)的平面上的点P的坐标.,【解析】设P点的坐标为(x , y), 则 , 即 ，解得 . 所以P点的坐标为 .,点评,解答这种类型的题，首先分清哪一个是变换前的点，哪一个是变换后的点，然后把点的坐标写成列向量的形式；其次根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则进行解题.,【例2】已知曲线C的方程为 x2+y2=1，伸缩变换和反射变换的矩阵分别为 和 , 求曲线C在和变换下曲线 C的方程，并说明曲线的特征.,常见的平面交换,【解析】设点P(x , y)为曲线C上

2、任意一点，通过变换后对应的点为P(x, y). 由 , 得 ，代入 x2+y2=1， 得 ,即曲线C在伸缩变换的作用下的曲线C的方程为 x2+4y2=1, 其图形为焦点在 x 轴上，中心在坐标原点的椭圆. 又由 ， 得 ， 代入 x2+y2=1, 得 . 故曲线C在反射变换的作用下的曲线C的方程为 x2+y2=1, 其图形仍为圆心在坐标原点，半径为1的圆.,点评,变换是点到点的对应关系，可用点的坐标关系来刻画.矩阵通过变换作用，使曲线方程所对应的图形产生变化.图形的变换依托矩阵这一重要的数学模型，矩阵控制着图形的变换.,【变式练习2】分别给出下列矩阵表示的变换对图中ABC的作用结果，其中A(-

3、3 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0). (1) ; (2) ; (3) ; (4) .,【变式练习2】(1)矩阵 表示横坐标保持不变， 纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故ABC变为ABC，其中A(-3 , 0) , B(0 , -4) , C(2 , 0). (2)矩阵 表示纵坐标不变，横坐 标依纵坐标比例增加的切变变换，故ABC变为ABC，其中A(-3 , 0) , B(2 , 2) , C(2 , 0).,(3)矩阵 表示将图形变换为与之 关于直线 y=x 对称的反射变换，故ABC变为ABC，其中A(0 , -3) , B(2 , 0) , C(0 , 2

4、).,(4)矩阵 表示绕原点逆时针 旋转60的旋转变换，故ABC变为 ABC，其中A , B , C .,变换的复合与矩阵的乘法,【解析】(1)因为AB= , 所以(AB) = , 即向量= 在复合变换作用 下的像为 .,(2)因为 i= , j= , 又()i= , ()j= , 从而,点评,复合变换中先施行右边的变换，再施行左边的变换.,【解析】设B= , 则 , 故 , 解得 . 故B= .,3.已知二阶矩阵M满足 , , 求 .,【解析】设M= . 由 , 得 ，所以a=1, c=0. 由 , 得 ，所以b=1 , d=2.,所以M= . 所以M2= . 所以 .,4.设M= ，N= , 试求曲线 y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程.,【解析】 设(x , y)是曲线 y=sinx 上的任意一点，在矩 阵MN变换下对应的点为(x, y).,则 ， 所以 , 即 . 将其代入 y=sinx，得 y=sin2x，即 y=2sin2x. 即曲线 y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程 为 y=2sin2x.,1.矩阵与向量乘法的意义应以映射与