sd 第10章 多自由度体系2020

1、结构动力学中南大学土木工程学院桥梁工程系主讲教师：韩建平石岩E-mail： 个人主页：兰州理工大学土木工程学院结乡吉构构动砌力力学学第10章 多自由度运动方程Chapter10Formulation of the MDOF Equations of Motion本章提要 10-1 多自由度体系运动方程 10-2 多自由度体系自由振动 10-3 多自由度体系动力特性 10-4 模态分析注意事项310-1 多自由度体系运动方程什么是多自由度体系？工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如多层建筑结构、大跨桥梁结构、空间网架结构等等。为合理反映振动过

2、程中惯性力的影响，需要采用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确定体系的变形。45单自由度体系：惯性力阻尼力恢复力外荷载m u& +cu& +k u =p (t )多自由度体系：惯性力阻尼力恢复力外荷载f I+ f D +f s =p (t )Mu& +C u& +K u = p (t )预备知识若矩阵A存在常数满足：Ax =l x则称为矩阵A的特征值，x为矩阵对应特征值 的特征向量。问题求解：转化为线性代数方程6(A -lI )x=0上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零A -lI =0NN矩阵A一般将有N个特征值，对应N个特征向量10-2 多自由度体系的自由振动多自由度体系无阻尼自由

3、振动的方程为：7M u& +K u =0其中：M、K为NN阶的质量和刚度矩阵u和是N阶位移和加速度向量0是N阶零向量设多自由度体系在进行自由振动时也是在作简谐振动，多自由度体系的振动形式可写为：u = u (t ) =f表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。简谐振动的频率，相位角。上式对时间求两次导数可得：8u& =u&(t ) =-w 2 f sin( w t+ q )将位移向量u和加速度向量代入无阻尼自由振动方程：u& = -w 2 f s in(w t + q )u = f s in (w t + q )M u& +K因为sin(t+)为任意的，可以消去，因此

4、，9(K - w2 M)f =0上式是关于的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振频率的关系 ，称为运动方程广义特征值问题。由广义特征值可解得和。(K - w2 M)f =010方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于零 ：K - w2 M=0是一关于的多项式，称为频率方程。将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：k11 k21k N1- w 2 m11- w 2m21M- w 2 mN1k12 k22k N 2- w 2 m12- w 2m22M- w 2 mN 2Lk1NLk2 NOLkNN- w 2 m1N0- w 2m2n=M- w 2 mNN对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程

5、是关于2的N次方程，11a N (w2 ) N+ a N-1 (w2 ) N -1+ L +a1w 2+ a0= 0由此可以解得N个正实根（122232N2）。n(n=1, 2, , N)即为体系的自振频率。其中量值最小的频率1叫基本频率(相应的周期T1=2/1叫基本周期)。从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。把相应的自振频率n代入运动方程的特征方程得到振型12(K - w2 M)f = 0nnn=1n, 2n , , Nn T体系的第n阶振型 。 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性

6、相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令1n=1，才能确定其余的值。 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，F = f fw10L0140W = M0w2LMO0L0或MwN w =wTn 123w ,w ,w其中，n 第n阶自振频率，n第 n阶振型。和也分别称为振型矩阵和

7、谱矩阵。145 DOF with uniform mass and stiffness5 DOF Base Isolated155 DOF with uniform mass and stiffness16算例10-1如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。(统一单位制：质量：吨，力：千牛，长度：米） 结构模型及各刚度元素：17算例10-1结构的质量阵、刚度阵：2.000 M = 01.50 001.018 k11k12k13 3000- 12000kK =k21k 2223 =- 12001800- 600k31k32k33 0- 600600算

8、例10-1运动方程的广义特征值问题：202.00 3000- 1200M = 0K = - 12003000 - 2w 2- 12000(K - w 2 M )f = - 1200051800 - 1.5w 2频率方程：B= w 2600K - w2 M = 0B 3 -5.5 5 B 2+ 7.5 B- 2 = 0B 3 - 5 .5 B 2 + 7 .5 B - 2 = 0算例10-1 由频率方程206002Bn = w n得到三个根 ：B1利用关系式= 0 .3 5 1 5 ,B 2=1 .6 0 6 6 ,B 3=3 .5 4 2 0w1w222w3= 2125.202w3 = 46.

9、100可得结构的三个自振频率：=210.88w1= 14.522=963.96w2= 31.048(rad / s)n算例10-1 求振型：(K -w2 M)f n= 021设3n=1，则ff 1n 1n fn=f2n =f2 n 则振型方程为：5 -f3n 12 Bn- 20f1n 0600- 23 - 1.5B- 1f = 0n2 n 0- 11 -Bn 101n算例10-15 - 2 B- 20f022n振型方程：600- 23 - 1.5Bn- 1f2n =00- 11 -Bn 10以上三个代数方程中仅有两个是独立的，可以采用任意两个方程求得1n和2n，通过观察发现，用第一个方程和第三

10、个方程求解将避免求联立方程组。由第一个方程：f1 n=2f 2 n(5 -2 B n )由第三个方程：f 2 n = 1一阶振型：将B1=0.3515(1=14.522rad/s)代入上式得f=2 0.6485 /(5 -2 0.3515) =0.30180.301811 f = 0.6485f21= 1 -0.3515 =0.648511算例10-1=2ff1 nf 2 n = 1二阶振型：B2=1.6066(2=31.048rad/s)23f= 2 (-0.6066) /(5 -2 1.6066) =-0.6790- 0.679012f= 1 - 1.6066 =-0.6066- f2 =

11、 0.6066122三阶振型：B3=3.5420(3=46.10rad/s)f= 2 (-2.5420) /(5 -2 3.5420) =2.43952.4395 13f= 1 -3.5420 =-2.5420- f3 = 2.5420123算例10-10.3018- 0.6790 2.4395 24f= 0f= - 0.6066f= - 2.542012131算例10-1从以上给出的振型图看，对层间模型，振型特点为：一阶振型不变符号，二阶振型变一次符号，三阶振型变二次符号。以上给出的振型的求解公式是解耦的，不用求联立方程组， 这只有当结构是层间模型时，即特征方程的系数矩阵是三对角阵时才可以实

12、现，一般情况下，当特征方程的系数矩阵不为三对角阵时，必须解联立方程组才可获得结构的振型。25算例10-2确定由两个梁单元构成的结构的自振频率和自振周期，梁的弯曲刚度均为EI。忽略轴向变形，采用集中质量法, 梁的质量集中到梁端, 而梁成为无质量梁。结构模型及自由度：26算例10-2质量阵：M =3m0 27m0刚度阵：K =6EI 8- 37 L3- 32 广义特征值问题：(K - w 2 M )f 48EI -218EI7mL32= 7L33mw-7L3f1 =6EI8 - 3w6EI- 3f1 =018EI12EI2 f 7L3 7mL3f 0-7L37L3- mw 2 - 32 -6EIw

13、 2 2 l = 7mL3 w 26EI8 - 3l- 3f1 =0- 32 - l f02 算例10-28 - 3l- 3f1 =6EI2w37mLl =028- 32 - l f02 频率方程：(8 -3l )(2 -l ) - 9 = 03l 2- 14 l+ 7 = 0l1= 0 .5 6 9 5,l 2= 4 .0 9 7 2频率方程的两个根为：EImL3= 1.8742wEI,mL31w= 0.69876lw =自振频率为：算例10-28 -3ln3- 32 - lf1n f =0029n 2 n 令1n=1，由特征方程的第一式得：f2 n= (8 -3l n)f1n/ 3将1(1

14、=0.5695)代入上式，得到21=2.097 将2(2=4.0972)代入上式，得到22=-1.431 结构的两阶振型为：f= 1,f= 112.0972-1.431算例10-21- 1.4321f= ,12.0971f= 结构振型图：30模态分析(特征值/振型分析)概念及原理( K - w 2 M) f =0 方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于零 ：K - w 2 M = 0(1) 振型是结构振动反应中最容易发生的变形形态；(2) N个自由度体系具有N个振动频率和对应的振型； (3)振型曲线与轴线的交点数目=振型号减1；10-3多自由度体系的动力特性1）振型参与系数M u +C

15、u +K ug(t)ug(t)M u +C u +K u =- M I ug(t )Ni将物理坐标以振型坐标表述u(t )N= gi i =1fqi(t )带入运动方程得到：i(M gifqi(t ) +C gifqi(t ) +K gifqi(t )=- M I ug(t )i =1iij左乘 T，并利用振型正交性得到如下方程：g+ f T ngf + g= - f T j M jqj(t )j i =1C iqi(t )ij K jqj(t )jM I ug(t )振型参与系数假定：对阻尼项仍满足正交条件：fT n C fij i =1qi(t )=g j C jqj(t )则有：一系列单

16、自由度解耦方程： （j1，2，N）gj M jqj(t ) +gjC jq(t ) + gK qT左右同时除以Mj，则方程变为： （j1，2，N）gq (t ) + g2.0x w q(t ) + g2f Tjjjjj振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ，不需要知道阻尼矩阵C定义振型参与系数j基本性质f TM I f TM I g=j=jFg =1jTM jfM f两边同时除以振型参与系数j ，得到：（j1，2，N）q (t ) + 2.0x w q (t ) + w 2j利用反应谱法，可求得主坐标最大位移或（绝对）加速度反应：q=S, q+ u=S(j =1,2,3,N )j ,maxd jjg

17、 maxajjj10-3多自由度体系的动力特性2）振型的正交性：振型的正交性是指不同振型向量满足以下条件：f TmM f n= 0,wf mT 即振型关于质量阵M和刚度阵K正交，也称为加权正交。36K f m= w2mM f m对于两个频率n和m，及其振型n和m分别满足：37K f n= w n2 Mf nn式两边同时前乘mT式两边同时前乘 Tmf TK f n= w n2 f T Mf nf K Tnf m= w2f M Tmnf mm等式两边同时取转置f K TTf = w2f M TTmnmmf nf K Tmf n= w2f M Tmmf nM和K均为对称矩阵f K Tf = w2f

18、M Tmnnmf n38mf TK f n= w m2 f TM f nm以上两式相减得：mw(w2 -2 )f T Mf n= 0mn当mn时（即mn）：Tf mMf n= 0,m nmf TK f n= w m2 f TM f nmf TmK f n= 0,m nf TmM f = 0,nf TmK f = 0,nwwmm w wnn例题10-1振型正交性的检验结构的质量阵和刚度阵分别为：2.000 5- 20 M = 01.50 K = 600- 21800- 139001.00- 11 而振型为：0.3018- 0.67902.4395f= 0.6485f= - 0.6066f= -

19、2.5420112121关于质量阵的正交性：f T M f4012= 0.30180.64852 1001.50-0-10.67900.6066001= 0.60360.9728-1-0.67900.60661= 0.000055关于刚度阵的正交性：f T K f41125- 20 -0.6790= 0.30180.64851600- 23- 1- 0.60660- 11 1= 0.21200.3419-0.3015-0.67900.6066 6001= -0.00498 600对于其它振型之间的正交性同理可以检验42例如 ：f 1M f 3= 0Tf T M f = 023f T K f =

20、 013Tf 2K f 3= 0例题10-2振型正交性的检验结构的质量阵和刚度阵分别为：43M =3m0 = m 30K =6EI 8- 37 L332m01-0而振型为：f = 1f= 112.0972-1.431例题2振型正交性的检验M = m 30K =6EI 8- 3f= 1f= 1017 L3- 32 12.0972-1.431关于质量阵的正交性：1f T Mf2= (12.097)3001m=(1-关于刚度阵的正交性：f T K f= (12.097) 8- 31( 6EI )= (1.7091.194)1( 6EI )12- 32 -1.4317L3-1.4317L3= (1.7

21、090 - 1.7086) 6EI 07L344如果把振型和自振频率满足的方程nnK f n= w2 Mf nK= f TnnK f nM= f TnnM f nn两边同时前乘nT，则有： 其中：nM K n=nw可以得到表达式：K n=w2 M这与单自由度体系自振频率的计算公式一样。有时称Mn和Kn为振型质量和振型刚度。振型正交性的证明方法：n （1）功的互等定力(Betti定律)；n （2）矩阵运算；n （3）分布参数体系(18-4)。46振型正交性的物理意义：n （1）某一振型的惯性力不会在其他振型上做功，从能量的角度来说，某一振型做简谐振动的能量不会转移到其他振型上。n （2）与某一振

22、型相关的等效静力在经历其他阶振型位移时所做的功为零。47多自由度体系的自由振动:振型和频率n 所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。n 当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。n 多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性， 和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。48多自由度体系的自由振动：简单总结n 与单自由度结构体系相比，两者之间相同的是都存在自振频率，但多自由度体系有多个自振频率，N个自由度，则一般存在N个

23、自振频率。n 新的内容是出现了振型的概念，对应N个自振频率。所谓振型就是结构按某一阶自振频率振动时，结构各自由度变化的比例关系。n 多自由度体系的振型和频率一样，是结构重要特性。n 借助于计算机，已发展了多种行之有效的数值算法求解大规模结构体系的自振频率和振型（称模态分析）。49补充说明：多自由度体系共振自振频率：如果外力频率等于结构某阶自振频率时，多自由度系统也会发生与单自由度系统类似的共振现象。结构的振型：是结构振动反应中最容易发生的变形形态，而第一阶振型又是所有振型中最易于出现的。5010-4 模特分析实例演示和注意事项模态(振型、自振特性)分析的实例演示：0、背景51某三层现浇钢筋混凝

24、土框架结构民用房屋，场地的钻孔地质资料见表1。设防烈度为8 度，设计基本地震加速度为0.30g，设计地震分组为第二组。结构的阻尼比为=0.040。框架柱截面尺寸为500500mm，框架梁截面尺寸为250600mm。结构第一层重力荷载代表值为6500kN，第二层和第三层的重力荷载代表值均为6000kN。梁柱混凝土强度等 级均为C35，主筋用HRB335级钢，箍筋采HPB235级钢。底层层高为3.8m，第二层和第三层层高为3m。（1） 模态分析解析解结构相关参数：52（2）软件分析(MIDAS、SAP2k、OpenSees)1）注意的问题(1) 表1中每层的刚度是单根柱子假设两端固定计算得来的，3

25、根柱子并联，即K=3*12EI/l2。(2) 由于刚度计算时假设两端固定，故在建模时需约束3个质点出的转动自由度。(3)软件分析时一般输入的是截面和材料特性，但本例中是3根柱子并联，故需要通过刚度一致的等效计算，将3根柱子划算成单根柱子的截面。本例中，换算后的柱子截面大小为0.658m0.658m。532）MIDAS按图2所示的简化图建立4个节点、3个单元的模型，赋予集中质量。 注意MIDAS中质量的单位，当体系单位为N和m时，对应的质量单位为N/g，其实等同于kg，可通过在“查询-质量统计表格”来验证。3） SAP2000分别采用梁单元和弹簧单元建立模型，弹簧单元的好处在于不需要输 入截面和

26、材料特性，直接输入每层的刚度即可。4） OpenSees建立采用梁单元的2D和3D模型。54（3）软件分析结果1）周期计算结果如表3所示，可见基于OpenSees和SAP2000弹簧单元的计算结 果最接近解析解。周期结果对比解析解OpenSees 3D梁单元OpenSees 2D梁单元MIDAS梁单元SAP2000梁单元SAP2000弹簧单元第1阶0.3830.38250.38250.40660.39810.3824第2阶0.1220.1220.12200.12890.12830.1220第3阶0.0770.0770.07700.08200.08130.0770552） 振型表3为振型2D模型

27、计算得到的振型坐标，通过对顶点归一化，如表4所示，可见与解析解完全一致。振型如图3所示(源自MIDAS)。表3 振型坐标节点2节点3节点4第1阶0.0433190.0588630.067146第2阶-0.07358-0.013410.063027第3阶-0.044360.07972-0.03898表4 归一化振型坐标节点2节点3节点4第1阶0.6450.8771第2阶-1.168-0.2131第3阶1.138-2.0451相关内容链接：/post/16.html56Matlab求解程序：function M=lumpMass(m)%该函数计算集中质量结构的质量矩阵；%结

28、构的各层质量m，m是一个1*n的向量；%形成的质量矩阵为n*nM=diag(m);function K=stiffnessShear(k)%该函数计算平面剪切型结构的刚度矩阵；%结构的各层剪切刚度k，k是一个1*n的向量；%形成的刚度矩阵为n*ncn=length(k); K=zeros(cn); for i=1:cn-1;K(i,i)=k(i)+k(i+1);K(i,i+1)=-k(i+1);K(i+1,i)=-k(i+1);end K(cn,cn)=k(cn);%三层框架模态分析计算主程序：% 刚 度 N/m; 质 量 kg m=10.8*104,10*104,10*104; %输入楼板质

29、量M=lumpMass(m); %计算质量矩阵k=10.77*107,21.88*107,21.88*107; %输入刚度K=stiffnessShear(k); %计算刚度矩阵syms W %定义变量频率ww=double(solve(det(K-M*W2),Real,true); %计算圆频率Locate=find(w0); %找到小于0的元素的位置w(Locate)=; %删除小于0的元素w=sort(w); %圆频率矩阵从小到大排列T=2*pi./w; %计算周期%计算振型（解齐次方程组）v=reshape(w,1,length(M); ww=diag(w*v); %取对角元素得圆频率

30、平方for i=1:1:length(M)r(i)=rank(K-M*ww(i,1); %计算矩阵得的秩Z(1:1:length(M),i)=null(K-M*ww(i,1),r(i); %振型end%将第三层的位移定为157for j=1:1:length(M) ZM(1:1:length(M),j)=Z(1:1:length(M),j)/Z(length(M),j);endMatlab求解程序：% 绘制振型图 %输入楼层高度H=0 3.8 6.8 9.8;add=zeros(1,length(M); ZMM=add;ZM;subplot(221) plot(ZMM(1:1:length(H

31、),1),H)axis(-10 10 0 10) ; %第一振型图title(第一振型图) hold onx=0 0 0 0;plot(x,H,-r) subplot(222)plot(ZMM(1:1:length(H),2),H)axis(-10 10 0 10); %第二振型图title(第二振型图) hold onx=0 0 0 0;plot(x,H,-r) subplot(223)plot(ZMM(1:1:length(H),3),H)axis(-10 10 0 10); %第三振型图title(第三振型图) hold onx=0 0 0 0;plot(x,H,-r)58模态(振型、自

32、振特性)分析的注意事项：1、什么是结构的动力特性？什么是振型，有何特征？ 振型：结构体系自由振动时的位移形态。 N个自由度体系有N个不同的振型。当结构按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为振型。 自振频率（周期）：当结构按某一振型振动时的频率。 对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。 结构的自振频率与振型是相互对应的。 结构的振型和自振频率是结构的固有特性，因此在介绍结构动力特性时，首 先提及的就是结构的自振频率和振型。 结构的自振周期从第1阶到N阶，依次减小(柔刚)。59 振型曲线与轴线的交点数目=振型号减1。2、振型是结构振动反应中最容易发生的变形形态； 模态分析是动力

33、分析的基础，是验证动力模型正确性的常用方法(1) 工程背景南盘江大桥由主桥（(120+220+120)m的三跨连续刚构桥）+ 引桥（4*4 0m标准简支T梁）组成。主桥桥墩为混凝土双薄壁墩，其中1号墩88m，2号墩85m；引桥桥墩为钢筋混凝土空心墩，其中3号墩39.72m（交接墩），4号墩54.546m，5号墩 54.546m，6号墩50.056m。(2) 自振特性(周期)模型验证(不同软件)结构或构件间的耦合作用61周期振型描述主桥主桥+引桥（MIDAS）主桥+引桥（OpenSees）主桥主桥+引桥13.873.893.87主桥和主墩沿横桥向振动主桥沿横桥向振动22.482.672.71主桥

34、绕横桥向的二阶振动全桥沿纵桥向振动32.162.492.49主桥和主墩沿纵桥向振动主桥绕横向的二阶振动41.472.452.47主桥Z向振动主桥和引桥沿纵桥向振动51.461.701.75主桥沿横桥向三阶振动引桥沿横桥向振动60.921.601.61主桥沿Z向振动引桥沿纵桥向振动70.901.531.57主桥沿横桥向四阶振动主桥和引桥沿横桥向振动80.731.521.53主桥沿Z向振动主桥和引桥沿横向三阶振动90.631.501.46主桥沿横桥向五阶振动主桥Z向振动100.571.371.38主桥和主墩沿纵桥向振动引桥沿横桥向振动(3) 自振特性(振型)主桥主桥+引桥第1振型第2振型62第3振

35、型第4振型第5振型63第6振型第7振型第8振型64第9振型第10振型653、模态分析通常是线性分析支座模拟：板式橡胶支座-线性弹簧单元模拟；活动盆式(滑板)支座-双线性理想弹塑性弹簧单元模拟；LRB-双线性弹簧单元模拟；双线性弹簧单元：等效刚度等效阻尼66Plastic(Wen)Rubber Isolator一次刚度屈服强度r=k2/k1屈服指数204、周期和振型是结构的固有特性，只与M/K/边界有关(1) 工程背景京杭运河大跨度连续梁拱桥（62+132+62）m，连续梁拱桥是连续梁 和钢管混凝土拱肋的组合体系。主梁粱体采用变高度单箱单室、直腹板截面，拱肋截面为钢管混凝土组合截面。连续梁拱桥（62+132+62）m总体布置(2) 自振特性(周期)全桥(无支撑)振型阶数T/MIDAST/OpenSees全桥振型的描述12.2952.322拱肋的横向振动21.3231.335拱肋的二阶横向振动31.0341.05主桥