17 四种命题(二)反证法.ppt

1、1.7 四种命题,（二）反证法,2020年9月24日星期W,原命题若p则q,逆命题 若q则p,否命题,逆否命题,互逆,互逆,互否,互否,四种命题的相互关系,互为逆否,互为逆否,复 习 回 顾,1互为逆否的一对命题，同真或同假。 2互逆的一对命题，不一定同真假。 3互否的一对命题，不一定同真假。,1：下列结论错误的是（ ） （A）原命题为真，其逆命题不一定为真 （B）原命题为真，其否命题不一定为真 （C）逆命题为真，否命题就一定为真 （D）原命题为真，逆否命题不一定为真,2:一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中( ) （A）真命题的个数一定是奇数 （B）真命题的个数一定是偶数 （C

2、）真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 （D）上述判断都不正确,练 习,D,B,3、判断命题“若m0,则 x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.,解：原命题的逆否命题是“若x2+x-m=0无实数根， 则m0.”, x2+x-m=0无实数根, =1+4m0.,m- 0,即“若x2+x-m=0无实数根，则m0.”是真命题.,【提问】初中我们学过反证法，你能回答出用反证法证明命题的一般步骤吗？,（l）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论 正确,复 习 回 顾,【问题】,某校高一年级有367名

3、学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日,分析：这个问题若用直接证法来解决是有困难的， 我们可以运用反证法,运用反证法证明这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”，也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”，从这个反设出发就会推出这367人就会有不同的367天过生日，这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾产生这个矛盾的来源是由于开始的反设，因此反设不成立，这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论,反证法证题的步骤： 1 ； 2 ； 3,反设,归谬,结论,例 题 解 析,例1、用反证法证明：如果ab0，那么

4、,分析：运用反证法证明这道题时，怎样进行反设？ 的反面是否仅有 ？,证明：假设 不大于 ，则 因为a0,b0，所以,这些都同已知条件ab0 矛盾 所以,例2、用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分,已知：如图，在O中，弦 AB、CD相交于 P点， 且 AB、CD不是直径求证：弦AB、CD不都被P点平分,分析：“弦AB、CD不都被P点平分”的 反面是“弦AB、CD都被P点平分”， 因而反设是“假设弦AB、CD都被P点平分”,证明：假设弦AB、CD都被P点平分， 由于P点不是圆心O，连结OP，由垂径 定理的推论得OPAB, ,OPCD,这样 过P点有两条直线与OP都垂直与垂线的性质矛盾

5、,，,所以，弦AB、CD不都被P点平分,这道题用反证法证明的另外一种方法 连结 AD、BD、BC、AC 反设仍是“弦AB、CD能被P点平分” 因为 AP=PB, CP=PD ，所以四边形 ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边 形必是矩形，则其对角线AB、CD必是圆O的直径，这与假设矛盾，所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立,证明：假设两个方程都没有实数根，则10, 20 从而120 又12（p124q1）+（p224q2） = p12+p224(q1+q2) 由已知p1p2=2(q1+q2)可知 12p12+p222p1p2=( p1-p2 )20， 这样与相矛盾，所以假设不成立 所以所

6、给的两个方程中至少有一个有实数根,例3、若p1p2=2(q1+q2)，证明：关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中，至少有一个方程有实数根。,点评：对于证结论是“至少”，或“至多”的命题，宜用反证法,1. 已知下列三个方程: x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0.若至少有一个方程有实数根，求实数 a的取值范围.,练 习,分析: 本题的正面共有7种情况，因此，正面解太 复杂；而反面只有一种情况，因此，采用反证法 的原理来解决本问题，使过程大大简化.,1初步理解反证法的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性。初步掌握用反证法证题的一般步骤：