医用高等数学课件：4 洛必达法则

1、洛必达( )法则,目标：给出计算 0 0 , 型极限的一种方法。 例如：当 0 时， , 0（或 , ），计算极限 lim 0 () (), 法则,定理 4.4 设函数 ,()满足下列条件： 1. lim = lim () =0 2. 在点的某空心邻域内可导，且 0 3. lim () () =或 则 lim () () = lim () () =或,一、 0 0 型未定式,证明：补充定义 = =0后，则 ,()在 , 上满足柯西中值定理条件，即有(,)使 = () () = () () 当时，必有，所以 lim () () = lim () () =或, 法则,注意 应用洛必达法则前，先确认

2、为 0 0 型。 中的可以是常数、无穷、。 若 lim () () 仍为 0 0 型，可再次使用洛必达法则。 应用法则前应尽量化简极限。, 法则,例1 求 lim 0 1 2 解：当0时， 1 2 0 0 ，由法则 lim 0 1 2 = lim 0 12 = 1 1 =1 方法二：利用等价无穷小量 1, 法则,例2 求 lim 1 2 3 6+4 3 2 +1 解：当1时，极限为 0 0 型。由法则 原式= lim 1 6 2 6 3 2 21 = lim 1 12 62 = 12 4 =3 方法二：消去分子分母的公因子 1 2, 法则,例3 求 lim 0 1 cos 2 sin 2 6

3、解：先化简原极限 原式= lim 0 1 cos 2 2 sin 2 2 = lim 0 sin 2 2 1 = 1 4, 法则,例4 求 lim sin 1 ln 1+ 1 解：作变量代换：= 1 , , 0. 原式= lim 0 sin ln (1+) = lim 0 1+ cos =1 完全可用等价无穷小量代换方法解决。, 法则,例5 求 lim 0 sin sin 解： sin sin = sin 1 sin sin 其中当0时， sin 1 sin = lim 0 sin sin sin =1, 法则,例6 求 lim 0 sin 3 解：由洛必达法则 原式= lim 0 1 cos

4、 3 2 = lim 0 sin 6 = 1 6, 法则,思考：求 lim 0 1+2 ln 1+ 2 。 分析：设 = 1+2 ()= ln 1+ 2 分别计算 , ()在=0处的一阶、二阶导数。, 法则,定理 4.5 设函数 ,()满足下列条件： 1. lim = lim () = 2.在点的某空心邻域内可导，且 0 3. lim () () =或 则 lim () () = lim () () =或,二、 型未定式,例1 求 lim + ln , (0) 解：由法则 = lim + 1 1 = lim + 1 =0 意义：对数函数的增长速度（最终）小于任何幂函数。, 法则,例2 求 li

5、m + , (0, 1) 解：分两种情况讨论 01 0 , + 0 lim + lim + 1 ln =0, 法则,1 必有正整数= +1 则有：0 , + 0 lim + lim + = lim + 1 ln = lim + ! ln =0 意义：指数增长（最终）快于幂函数。, 法则,注意：洛必达法则是极限存在的充分条件而非必要条件。也就是说当 , ()同时趋于0或，且极限 lim () () = 有 lim () () = , 法则,而当 lim () () = 不能成立时，并不能确定 lim () () 不存在。, 法则,反例1 ( 0 0 型) 求 lim 0 2 sin 1 . 错解

6、：若不加化简直接对上下求导有 lim 0 2 sin 1 = lim 0 2 sin 1 cos 1 1 继而发现右式极限不存在，但原极限成立，且极限值为0。, 法则,反例2 ( 型) 求 lim sin + sin 错解：直接计算 lim ( sin ) (+ sin ) = lim 1 cos 1+ cos 而右式极限不存在，但原极限存在，极限值为1。, 法则,以上两例提示我们注意洛必达法则的使用条件中的第3条 lim () () =或 通常我们会注意法则的第1条（看极限函数是否为 0 0 型不定式），第2,3条容易忽视。, 法则,从某种意义上说，洛必达法则的使用原则是先试验，再确定。 即

7、先测试下面的极限 lim () () =或 再确定 lim () () =或, 法则,而不能仅看到极限函数 () () 属于 0 0 , 型, 就立刻给出下面的等式 lim () () = lim () () 这是不严谨的(除非已知右式极限存在), 法则,不定式还有 0, 1 , 0 0 , 0 , 等类型，经过变换后都可化为 0 0 , 型，然后求解。, 法则,例1 求 lim 0 + ln 解： lim 0 + ln = lim 0 + ln 1 = lim 0 + 1 1 2 =0, 法则,例2 求 lim 0 + 解： lim 0 + = lim 0 + ln = lim 0 + ln

8、 = 0 =1, 法则,例3 求 lim 0 cos 1/ 2 解：对原式取对数后再计算其极限 lim 0 ln cos 2 = lim 0 tan 2 = 1 2 所以 lim 0 cos 1/ 2 = 1 2, 法则,例4 求 lim 0 1 2 1 sin 2 解： 1 2 1 sin 2 = sin 2 2 2 sin 2 又：当0时， sin 。 所以 原式= lim 0 sin 2 2 4 = lim 0 sin 2 2 4 3, 法则,lim 0 sin 2 2 4 3 = lim 0 2 cos 2 2 12 2 = lim 0 4 sin 2 24 = lim 0 8 cos 2 24 = 8