医科数学C：数学标准化作业详细答案

1、医用数学C第一次标准化作业答案一、填空题 1.； 2.低（阶无穷小）； 3. 1； 4.11 分析 ，则；2分析 ，由于，所以，则。因此，当时，是的低阶无穷小；3分析 因为 ，所以，则，故 ； 又 ；因为在内连续，所以在点连续。从而，即。4分析 因函数在点可导，且，所以二、选择题 5. B ； 6. D； 7.D； 8.C；5分析 ，则 ，所以是的跳跃间断点。故B是正确的。 6分析 因为，所以极限中分式的分子最高次项为90，其系数为；极限中分式的分母最高次项为90，其系数为1。，则。故D是正确的。7分析 函数在点不可导，但在点连续，左、右导数均存在，故A、C是错误的； 函数在点不可导，但曲线在

2、点有切线，且切线垂直于轴，故B是错误的；所以D是正确的。8分析 因为在点可导，所以 存在，故，因此，即。 故C是正确的。三、计算题 9原式.10，得，即；，.11由于在连续，则，从而得，即 。12函数间断点为由于，所以，故为第一类跳跃型间断点；由，故是第二类的无穷型间断点；由，故是第一类可去间断点。13设，因为，在上连续，且，则在上连续，且，所以在内至少存在一点，使即，亦即，在内至少存在一点，使14因在处可导，则在处连续，故存在，即，而， （1） ，=因在处可导， ，从而 （2）由（1），（2）得：。15因函数在点连续，则所以 。16法一 将方程两边同时关于求导：，解得，所以法二 方程可写为：

3、对其两边微分： 则有 医用数学C第二、三次标准化作业（导数的应用自学提纲）答案 一、中值定理4习题：(1)验证函数在1，2上是否满足Lagrange中值定理的条件，并求出适合条件的值。解 因函数是基本初等函数，故在其定义域内连续，则在在 1，2上连续；，则在（1，2）内可导；令，即，则所以在1，2上是满足Lagrange中值定理条件的，为所求。(2)设0ab,证明不等式; 证明 令因函数是基本初等函数，故在其定义域内连续，则在上连续；，则在内可导，由Lagrange中值定理，有，即因，则，所以，即(3)证明 时，证明 设，则故在内可导，且。由Lagrange中值定理推论，有 取，得，所以，即

4、。二、LHosptial法则3习题： 解（1）（2） （3）令，两边取对数；则有 （4）（5）设，两边取对数 ，则 （6）设，两边取对数 ，则有 （7）设函数存在二阶导数，。试求；解 函数存在二阶导数，则、均连续，从而也连续又，则，于是注意：在计算到“”时，不能在用法则这样做是错误的：因为在点不知道是否连续，因此无法得到“”这样的结果（8）设函数具有二阶连续导数，且求。解 函数具有二阶连续导数，则、和均连续，又，于是 ；，其中， ，所以 三、单调性 9习题：（1）求函数的单调区间；解 函数的定义域为，令，则，列表讨论 所以在区间和内单调递增，在区间内单调递减。（2）填表：极值的一阶导数判别法

5、函 数 情 况 一情 况 二情 况 三情 况 四在两侧符号变化 在两侧单调性变化取极值情况取极小值取极大值不取极值不取极值(3)求函数的极值；解 函数的定义域为，且令，得；当时，不存在，列表讨论如下： -10 0不存在取极大值取极小值所以，取极大值为，取极小值为（4）求在区间0，4内的最大值和最小值。解 令 ，则，所以，函数在区间0，4内的最大值为；最小值为。（5）在磺胺药物动物实验中，按的比率给小鼠注射磺胺药物后，小鼠血液中磺胺药物的浓度，可由方程表示，其中（为血中磺胺浓度，（注射后经历的时间：，问何时，小鼠血中磺胺浓度最大，并求其最大浓度值解 ，令 ，得唯一驻点 ；又，则，所以时，取极大值

6、，也是最大值时，的最大值为，即当时，小鼠血中磺胺浓度最大，其最大浓度值为四、 函数曲线的凹凸性和拐点4习题：判定曲线的凹凸性，并求拐点。解 函数的定义域为，令，得，列表讨论如下凸取拐点凹所以该曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的；，则点为曲线上的拐点五、 渐近线2习题：求渐近线（1）； （2）； （3），所以直线为曲线的垂直渐近线；，则直线为曲线的水平渐近线；，则直线为曲线的水平渐近线。 ，则直线为曲线的水平渐近线；，所以直线为曲线的垂直渐近线；，所以直线为曲线的垂直渐近线 ，则直线为曲线的垂直渐近线；，则直线为曲线的斜渐近线六、函数图形描绘2习题：（1） 解 函数的定义域为，为间断点；， ，令

7、，得；令，得；列表讨论如下 取拐点取极小值函数的极小值为；，则点为曲线拐点。，于是点，为曲线上的点；，则为曲线上的垂直渐近线； ，则为曲线上的水平渐近线； 在直角坐标系下，绘出渐近线，描出这些点，根据表中信息，把这些点连成光滑曲线，即为函数的图形（如右图）（2）解 函数的定义域为，为间断点；， ，令，得，；列表讨论如下 取极大值取极小值函数的极大值为，极小值为；，于是，为曲线上点；，则为曲线上的垂直渐近线；，则为曲线上的斜渐近线；在直角坐标系下，绘出渐近线，描出这些点，根据表中信息，把这些点连成光滑曲线，即为函数的图形（如图2）医用数学C第四次标准化作业答一、填空：1； 2. 或；3.； 4.

8、；1解 由，则，即2解 ，将代入上式，得。所以。或，将代入上式，得。所以。3解 ；4解 ；二、选择题 5.B；6.D；7.B；8.A；5. 解 ，则是的原函数。故B是正确的。6. 解 ； ； ；故D是正确的。7. 解 ，故B是正确的。8. 解 。故A是正确的。三、计算：91011 12法1 法2 13法1 法2 法3 14151617 所以 1819 ，20法一法二 21令，则，22法1 令，则 法2令，则 法三 23法1 令，则， 法2 法3 医用数学C第五次标准化作业答 一、选择题 1.C； 2.D； 3.B； 4.C；1分析：因，所以A是正确的；;因由规定，所以B，D是正确的；因，所以C

9、是不正确的。 故选C。2分析：因，而，则，所以A是错误的；，而，则，所以B是错误的；因大小关系不定，且积分区间不同，则，所以C是错误的；因，则，又，由定积分 的几何意义，有，则，所以D是正确的； 故选D。3分析：令，则，当时，；当时，；于是，所以B是正确的。 故选B。4，则是同阶无穷小。所以C正确的。 故选C。二、填空题 5填； 6填； 7填； 8填，；5分析：，则。6分析：因是奇函数，且积分区间为对称区间，则7分析： ，因为分别为连续的奇函数，连续的偶函数，为对称区间，所以，故8分析：由，则，。令，得，。，则，取极大值；，则，取极小值。三、计算 9对方程两边求导 ，则；10。11。12设，则

10、，且，。13令，则，且当时，；时，。 =。14 。15。16 。17是瑕点.。 ； ；所以 。18 。19(1) 。（2）由隐函数求导，则； 故过法线的斜率，故所求法线方程为； 由方程组解得交点坐标为，故所求面积。20（1）。（2）。医用数学C第六次标准化作业一、选择题1C；2D；3C；4B；分析：1若是微分方程 的通解，则是此方程的解，且应含有两个独立的任意常数。A中不含任意常数，B，D中只含一个任意常数，则A，B，D均不正确。所以C是正确。 选C。2由题意：，即，两边积分，即 （）所以 为椭圆。 选D。3A. 方程可写为：，则它不是可分离变量的微分方程； B方程可写为：是一阶线性非齐次微分

11、方程，则它不是可分离变量的微分方程； D方程可写为：是可化为可分离变量的齐次方程，不是可分离变量的微分方程。C方程可写为：，则它是可分离变量的微分方程； 选C。4A是一阶非线性非齐次微分方程，不是一阶线性微分方程； B方程可写为：（将视为函数），它是一阶线性非齐次微分方程，故是一阶线性微分方程； C 是一阶非线性微分方程，不是一阶线性微分方程； D方程可写为：是Bernoulli方程，不是一阶线性微分方程； 选B。二、填空题 5二；6；7；8；5解 方程中未知函数的最高阶导数的阶数为二，故此方程为二阶微分方程。填二。6解 方程可写为：，两边积分，所求通解为。 填。7对应齐次方程 ，即，两边同时

12、积分 ，故，令非齐次方程通解 ， 代入原方程 ，则， 非齐次方程通解 ，将代入上式，得，所求特解为。 填。8令，则，则方程 ，即，两边积分，即，。填。三、计算题9方程可化为 ， 分离变量得 , 两边积分得, 即，于是原方程的通解为。.10原方程可写为 （*）对应齐次方程 ，即，两边同时积分 ，故 ，令非齐次方程通解 ， 代入方程（*） ，则， 所求方程通解 。 11原方程可写为 （*）对应齐次方程 ，即，两边同时积分，得 ，所以。令非齐次方程通解 ，代入方程（*） ，所以 ，所求方程通解 。12原方程为 ，设，则，则原方程 （*）对应齐次方程 ，即，两边同时积分得，则。令非齐次方程通解 ，代入

13、方程（*） ，所以，则非齐次方程通解 ，所求方程的通解 。13法一 设，则，则原方程变形为，两边积分得，令，所以 ，将代入上式，故，即，得，由代入上式，得，则所求解为 。而为增根。法二 设，则，则原方程变形为，即 ，两边积分得，将，代入上式，故，即，所以，两边积分 ，将代入上式，所以 ，即 。14等式两边同时对求导得 ，设，则原方程变形为，即 （*）对应齐次方程 ，两边积分，得 ； 令非齐次方程通解 ，代入方程（*），得，故。因为由已知等式：，代入上式，故，即（舍），所求。15两边同时对求导 ，即，即。由已知等式得，代入上式 ，故所求为 。16方程可写为 ，两边同时对求导 (*)对上式两边同时

14、对求导 ，设，则上式变形为 ，设，则，代入上式得，两边同时积分，得 ，由(*)式得：，得，代入上式 ，即，故。又由已知等式，得，得，故所求解为 ，即。医用数学C第七次标准化作业一、选择题1C；2.A；3.D； 分析1. ； , 故选C.2.对方程两边关于求导:,即 . 故选A.3.因在点偏导数存在，但在点未必可微； 故A是错误的。因在点具有连续偏导数，则在点可微，但反之未然。 故B是错误的。因函数有二阶连续偏导数时，而函数只有二阶偏导数时，未必有；故C是错误的。 因在点可微，则在点一定连续 故D是正确的。 故选D。二、填空题 4.； 5.； 6.；分析：4，则。 故填。 5， 故填。6对方程两边关于求导: ，由对称性：将代入上边两式：，即， 故填。三、7，；8；。9. ； 。10. ，；。11,，。12。13设，而，； 14，=。15对方程两边分别关于求导：，即 （*）所以 ；由对称性 。 对(*)式关于求导： ，即所以。16对方程两边关于求导：，即 ； 17方程可写为：，对方程两边关于求导：，所以，对方程两边关于求导：，所以。18法一：设，；故。法二：对方程两边关于求导：，即 ，对方程两边关于求导：，即