5-例题与习题

1、最新 料推荐第五章相似矩阵和二次型正交矩 的性 ：若A, B 是正交矩 ， A 1 (AT ) 也是正交矩 ；要点和公式1 向量的内 a1b1a 2b2的内 定 n 向量 , a nbn, T T a b a ba b1 12 2n n向量内 的性 （ , 是 n 向量， k 数） , , k, k , , , , , 0 ，等号成立当且 当 0 ., 2 , , (Cauchy-Schwarz 不等式 )2 向量的 度a1定 n 向量 a2的 度 (范数 )为a n,T a12a22an2向量 度的性 0 ，等号成立当且 当 0 k k (三角不等式 )3 正交向量非零向量 ,正交的充要条件

2、是： , 0 零向量与任何向量正交非零正交向量 是 性无关的 次 性方程 Ax=O 的解集 (解空 )是由与 A 的行向量都正交的全部向量构成的集合一 两两正交的 位向量 , , , 称 正交 位向量 ，即12r，1,若 ijij0,若 ij若正交 位向量 , , 是向量空 的基， 称之 12r范正交基。4 正交矩 定 若 A 方 ，且 ATAT或A1T)，E (或 AAE ，A 称 A 正交矩 . AB 也是正交矩 ； A 1 或1n 方 A 是正交矩 的充要条件： A 的 n 个列向量 (或行向量 )是一个正交 位向量 ( 即 Rn 的一个 范正交基 ).4 矩 的特征 和特征向量定 设

3、A 是方 ，若 Ax= x ( 其中 是数， x 是非零向量 )， 称数 是 A 的特征 ，非零向量 x 是 A 的 于 (或属于 )特征值 的特征向量 .凡是使得 AE 0 的 都是矩 A 的特征 ；A 的属于特征 0 的全体特征向量是 ( A0 E ) xO 的解集合中除零向量外 的全体解向量， 其最大无关 含有n R(A 0 E)个 性无关的特征向量 .n 角 或上 (下)三角 的特征 就是其 n 个主 角元 .设 n 方 A 的全部特征 1, 2 , , n ， 12ntr ()Atr( A)是 A 的 n 个主 角元之和，称 A 的迹 12nA若 , 都是 A 的属于特征 0的特征向

4、量， kk (其中121122k1, k2 任意常数，但 k kO)也是 A 的属于特征 0 的特1 122征向量.设 0 是方 A 的一个特征 ， 是 于特征 0 的特征向量， ，k 0 是 kA 的一个特征 ； m0 是 Am 的一个特征 ； ( 0) 是 ( A)的一个特征 ； 其中，(x)c xkcx k 1c xc是关于 量 xkk110的 k 次多 式，( A)ckAkck1Ak 1c Ac E 10若 A 可逆， 01 是 A1 的一个特征 .并且 仍是以上各矩 分 属于 k 0,0m , ( 0 ) , 01 的特征向量 .A 和 AT 有特征 相同 ( 特征多 式相同 )，但

5、特征向量不一定相同。如果0 是 n 方 A 的一个 k 重特征 ， k n- R(A- 0E)，即， k属于0 的 性无关的特征向量的最大个数 .方 A 的属于不同特征 的特征向量是 性无关的.设 A 有 m 个不同的特征 : 1 ,2,m ，属于 i 的 性无关的特征向量有 r i 个 (i=1,2,m)， 所有 些向量 (共 r1 r2rm 个)构成的向量 是 性无关的 .5 相似矩 定 若 P-1AP=B (其中 P 是可逆矩 )， 称 A 和 B 相似 .矩 的相似关系也是一种等价关系，具有反身性、 称性、 性1最新 料推荐若存在可逆矩 P，使得 P-1AP= B (即 A 和 B 相

6、似 )， P-1 (kA) P=kB (即 kA 和 kB 相似 ) P-1 AmP=Bm( 即 Am 和 Bm 相似 )； P-1(A) P= (B) 即 (A)和 (B)相似 若 A 可逆， B 也可逆，且 P-1A-1P=B-1(即 A-1和 B-1 相似 )相似矩 有相同的特征 ， 但特征向量不一定相同。若 A 和 B 相似， R(A)=R(B)； AB6 矩 可 角化的条件矩 A 可 角化是指： 存在可逆矩 P，使得 A 和 角 相似，即 P-1 AP=n 方 A 可 角化的条件： A 有 n 个 性无关的特征向量( 充分必要条件 ) ； 每个特征 的重数= 于 特征 的 性无关的特

7、征向量的最大个数 ( 充分必要条件 ) ； n 方 A 有 n 个互异的特征 ( 充分条件 ) ； n 方 A 是 称矩 ( 充分条件 ) .若 n 阶 方 阵 A 可 对 角 化 (P-1AP= ) ， 则 对 角 阵d i a( g1, 1, n ) 的主 角元就是A 的 n 个特征 ；可逆 x T Ax yT (C T AC ) y d 1 y12d2 y22d n yn2或者 ， n 称矩 A， 找可逆矩 TC，使得 C AC成 角 ： CTAC =diag( d1, d2, dn). 于任一 n 元二次型 f ( x , x , x)xT Ax，存在正交 1 2nx= Qy (Q 为

8、 n 正交矩 ) ，使得xT AxyT (QT AQ ) y1 y122 y22n yn2或者 ， 任一n 称矩 A，存在正交 Q，使得Q T AQdiag (1,2 ,n )其中 角 diag ( 1, 1 , n ) 的主 角元就是A 的 n 个特征 ；正交 Q 的 n 个列向量是 于各特征 的正交 位特征向量 . 于任一 n 元二次型 f ( x1, x2 , xn )xT Ax ， 存在可逆的 性 x= Cy (C 为 n 可逆矩 )，使得x T Ax yT (C T AC ) y d1 y12d2 y22d n yn2或者 ， 任一n 称矩 A，存在可逆 C，使得C T ACdiag

9、 (d1, d2,dn )(注：用不同的可逆 性 化二次型 准形，其 准形一般是不同的 )P 的 n 个列向量是 于各特征 的 性无关的特征向量.7 称矩 称矩 的特征 都是 数 . 称矩 于不同特征 的特征向量相互正交. 于 n 称矩 A，必存在正交矩 Q，使得Q 1AQQT AQ diag ( ,1,n)1其中 角 diag ( 1, 1, n ) 的主 角元就是A 的 n 个特征 ；正交 Q 的 n 个列向量是 于各特征 的正交 位特征向量 .10 性定理 性定理： 于一个二次型， 不 作怎 的可逆 性 使之化 准形，其中正平方 的 数 p (正 性指数 )和 平方 的 数 q ( 性指

10、数 )都是唯一的 . 于 n 元二次型xTAx，若正、 性指数分 p 和 q， 存在可逆的 性 x= Cy，使得x T Ax yT (C T AC ) y y12y 2py p21y 2p q (*)或者 ， 任一 n 称矩 A，存在可逆 C，使得C T ACdiag (1, 1,1, 1,0, ,0)p个q个n ( p q )个8 合同矩 定 若 CT AC B(其中C是可逆矩 ， 称A和B合同.)矩 的合同关系也是一种等价关系，具有反身性、 称性、 性 .若矩 A 和 B 合同， R( A)R( B) .9 化二次型 准形(*) 式称 二次型的 范形， 即 准形的系数只在中取 .11 正定

11、二次型的判定条件定 如果 任意的非零向量x，恒有二次型Tx Ax 是正定二次型，A 是正定矩 ； 于 n 称矩 A，以下命 等价：1, -1, 0 三个数Tx Ax0， 称定 n 元二次型是n 元二次 次多 式nnf (x1, x2 , xn)aij xi x j(双重 加号表示法，其中aij =aji )i1 j1xT Ax矩 表示法，其中x( x1, x1,xn )T ，A ( aij )n n 是 n 称矩 化二次型 准形是指： 找可逆的 性 x=Cy (C 为 n 阶可逆矩 )，使一般的 n 元二次型成 平方 之和： xTAx 是正定二次型(或 A 是正定矩 )； xTAx 的 准形的

12、n 个系数全大于零(或 A 的正 性指数 n，亦即 A 合同于 E)；存在可逆矩 P，使得 A=PTP； A 的 n 个特征 全大于零. A 的 n 个 序主子式的 全大于零.2最新 料推荐附：其它的有定二次型定义 T如果对任意的非零向量x，恒有二次型x Ax 0，但至少存在一TT个非零向量x0，使得 x0 Ax 0=0，则称 x Ax 是半正定二次型， A是半正定矩阵；如果对任意的非零向量x，恒有二次型TTx Ax0，则称 x Ax 是负定二次型， A 是负定矩阵；如果对任意的非零向量x，恒有二次型xTAx 0，但至少存在一个非零向量 x0，使得 x0TAx 0=0，则称 xTAx 是半负定

13、二次型， A是半负定矩阵 .对于 n 阶实对称矩阵 A，以下命题等价： xTAx 是半正定二次型 ( 或 A 是半正定矩阵 )； A 的正惯性指数 =R(A)=rn，即 A 合同于 diag (1,1, 0,0) ；r 个nr 个存在降秩矩阵P，使得 A= PTP；A 的 n 个特征值0，但至少有一个等于零；A 的 n 个顺序主子式的值0，但至少有一个等于零.对于 n 阶实对称矩阵A，以下命题等价： xTAx 是负定二次型(或 A 是负定矩阵 )；xTAx 的标准形的n 个系数全小于零(或 A 的负惯性指数为n，亦即 A 合同于 E)；存在可逆矩阵P，使得 A= PTP；A 的 n 个特征值全

14、小于零.A 的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零.对于 n 阶实对称矩阵A，以下命题等价： xTAx 是半负定二次型 (或 A 是负正定矩阵 )； A 的 负 惯 性 指 数 =R(A)=rn ， 即 A合 同 于d i a( g1,1, 0,0) ；r个nr个存在降秩矩阵P，使得 A= - PTP；A 的 n 个特征值0，但至少有一个等于零；A 的奇数阶顺序主子式0，偶数阶顺序主子式0，但至少有一个等于零 .3最新 料推荐典型 型1 向量的内积、长度、正交性 内积的运算例 1 已知TT，求 , , , , =(2, 1, 3, 2) ,=(1, 2, -2, 1)解 , 2 21

15、233 223 2 , 122 2( 2) 31210 , 2 1 1 2 3 ( 2) 2 1 0 , 323212322 7TT与 正交 .练习 1 设 =(1, - 2, 3) ,=(2, - 1, 0) ，求实数 ，使得 +答案 由+ ,=0，得 = -4/5例 2 设 1, 2, 3 和 1, 2 是两个线性无关的向量组，且 i, j=0 (i=1,2,3; j=1,2)，证明： 1, 2, 3, 1, 2 线性无关 .分析 根据线性相关性的定义， 先设 k1 1+k2 2+k3 3+ 1 1+ 2 2= O，然后利用内积的运算性质证明：其中的 k1, k2, k3, 1, 2 必全

16、部为零 .证设有一组数k1, k2, k3 和 1, 2，使得k1 1+k2 2+k3 3+ 11 +2 2=O (*)即，k1 1+k2 2+k3 3=- 1 1- 2 2.由于 i ,j=0 (i=1,2,3; j=1,2)，故k1 1 +k2 2+k3 3, k1 1+k2 2+k3 3 = k1 1+k2 2+k3 3, - 1 1- 2 2= - k1 1 1 , 1 - k1 2 1 , 2 - k2 1 2, 1- k2 2 2,2- k3 1 3, 1 - k3 2 3, 2=0 (即， k11+k2 2+k33 与自身的内积为 0)于是， k11 +k2 2+k3 3= O

17、，又因为1,2, 3 线性无关，所以k1=k2=k3=0.将 k1 =k2=k3=0 代入 (*) 式，得 1 1+22.=O，因为 1,2 线性无关，故 1= 2=0.由于 k1=k2=k3= 1= 2=0，因此1, 2, 3, 1, 2 线性无关 . 施密特正交化方法施密特正交化方法是指：将一组线性无关的向量， ，, ， 1 2r作特定的线性运算，构造出与原向量组等价的正交单位向量组.其步骤如下：将 ， ，, 正交化： 1 2r取 ；11 , 21 22, 111, , 313233, 1 , 21122 , , , 1r1r2rrrr, 1, 2 , r 11122r 1r1以上所得向量

18、， ，, 是两两正交的； 12r再将 ，, 单位化：12r11 ,22, ,rr12r于是， ， ，,是与， ，, 等价的正交单位向量组 .12r 1 2r利用施密特正交化方法，可将向量空间的一组基规范正交化( 即构造出一个规范正交基)1113例 3已知11，0 ，31 ，是R的一组基，用施密2011特正交化方法，构造出R3 的一组规范正交基 .解1取 111,0 , 1111122112 1 1 0221, 1102111/ 21 3, 13, 2 12111/ 21133, 1,223 / 2311221011再将 ， 单位化，可得R3 的一组规范正交基，12311211311111, 1

19、, 1122633022311111练习 2把 1，0，0，1 正交单位化 .1020314101011/ 21 / 61 / 121 / 2答案 1/ 2， 1/6 ，1/12，1/ 21/ 2003 /1202 /61 /121 / 2 求非零向量，与已知的向量组1，2， , m 正交问 设 ， , 是一组 n 维列向量，如何求与它们正交的非零12m向量？答 根据“齐次线性方程组Ax =O 的解集合是与A 的行向量都正交的全部向量” ，以T， T，T为行向量构造矩阵 , 12m4最新 料推荐T A 是正交矩阵1TTT A 是方阵，且A A= E (或者 AA = E)A m n2 A 可逆

20、，且 A-1 =ATTn A 的列向量组 (或行向量组 )是正交单位向量组的规范正交基 )m(即 R然后解齐次线性方程组Ax =O，可得基础解系， 则基础解系的任意 非于是，可以根据或验证A是否为正交矩阵.,零线性组合都是与 ， , 正交的非零向量 .12m例 6 证明：若 A 是正交矩阵，则A 的伴随矩阵 A* 也是正交矩阵 .证一 由于 A 是正交矩阵，故A 可逆，且 A 1ATAA*A E (伴随矩阵的性质 )A*A A 1A A T例 4TT( A * )T( A AT )T A A设 1 =(1, 1, -1) ,2=(1, -1, -1) ，求与 1, 2 正交的非零向量 .于是，

21、 ( A* ) T A *A 2 AATA 2 ET011x10解建立齐次线性方程组x1*T*1，即x2由于 A1 或1 (正交矩阵的性质 )，故) E ， 即 AT0110( A )( A12x3是正交矩阵解方程组，得基础解系1证二 由于 A 是正交矩阵，故A 可逆，且 A 1AT .0AA*A EA*A A 1A AT1于是， ( A* )1( A A 1)1A 1 A于是， k(k0) 是与 , 正交的全部非零向量12( A* )T( A A T ) TA A112由于 A1 或1 ，故 ( A* )1( A * ) T ， 即 A* 是正交矩阵 .练习 3 设 11, 21111, 3

22、,练习 4 设 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵， AB 可逆，且 AB=BA，1113证明： ( AB )( AB )1 是正交矩阵 .求与 , , 正交的单位向量 .提示 A 是对称矩阵ATA123B T答案 1(4, 0,1, 3) TB 是反对称矩阵BAB=BA( A B )( A B ) ( A B)( A B)26利用以上条件证明( AB)( AB)1T ( AB)( AB)1 E 成立例 5 设=(1, 1, 1)T，求两个非零向量， 与共同构成一正交向量组 .Tx1122解 建立齐次线性方程组0 ，即 (1,1,1) x20333xx3练习 5 设 A212，验证 A 是对称阵

23、、正交阵、对合阵 .33311221333解之，得基础解系1, 0，它们都与 正交12201(注：若矩阵 A 满足 A =E，则称 A 为对合矩阵 ).再将 , 正交化，得T；提示 (1)需验证 A= A121 , 1(2)需验证列向量组 ( 或行向量组 ) 是正交单位向量组； 1； 121 1(3)若 A 是对称的正交矩阵，则必有2T1122 , 12A =A A=E，即 A 是对合阵0111则 , ,构成一个非零正交向量组 .例 7 已 知正交 矩 阵 的前 三行 为：T- 1/2, - 1/2, - 1/2)，121=(1/2, 注 (1)由于基础解系不是唯一的，所以本题答案也不唯一.2

24、T=(- 1/2, 1/2, - 1/2, - 1/2)，3T=(- 1/2, - 1/2, 1/2, - 1/2)，求矩阵 A.(2) 若有一组向量都与正交，则，用施密特方法将这组向量正交分析 正交矩阵的行向量组是正交单位向量组，因此，需求出与化后仍然与正交 .1T, 2T, 3T 正交的单位向量 .2 正交矩阵以下命题互为充分必要条件：5最新 料推荐T1111x101/ 41 / 402222得基础解系 1, 0.1解 建立方程组Tx0，即1111x201222222x3001T011113x40所以， k k (k , k 不同时为零 ) 是对应于122的全部22221 12211特征向

25、量 .1 当 31 时，解 ( AE ) x1解方程组，得基础解系1111101r1于是， k(k0) 是与 1TTT,2 ,3k(k 0) 单位化，得1k14k 211因此所求的正交矩阵为1111222211112222或1111222211112222AE030010正交的全部非零向量，再将41400011得基础解系 0113121所以， k (k0)是对应于1 的全部特征向量 .133331111010练习 6 求矩阵 A440的特征值和特征向量 .2222212111122221111答案 A 的特征值为1232(三重特征值 )，属于该特征2222值的全部特征向量是11111/ 202222k1k0(k ,k不全为零 )21 21013 矩阵的特征值和特征向量 求“数值”矩阵的特征值和特征向量 求“抽象”矩阵的特征值和特征向量对于“数值” 型的 n 阶方阵 A，求特征值和特征向量的步骤如下：对于“抽象”的 n 阶方阵，常用方法是：解特征方程 A E0 ，得 A 的全部特