高中数学 第三章 空间向量与立体几何备考学案 新人教A版选修

1、备考学案三 空间向量与立体几何一、空间向量的概念与运算1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作6方向相同且模相等的向量称为相等向量7求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点O为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以O起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则8求两个向量差的运算称为向量的减法，它

2、遵循三角形法则即：在空间任取一点O，作，则9实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍10设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：；结合律：11如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线12向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使13平行于同一个平面的向量称为共面向量14向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则15已知两个非零向量

3、和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：16对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作17已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为018等于的长度与在的方向上的投影的乘积19若，为非零向量，为单位向量，则有； ，； 20向量数乘积的运算律： ；例1：如图所示，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于()AabcBabcCabcDabc例2：已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为()A60B30C135D45二、空间向量的坐标与坐标运算1若，是空间三个两两垂直的向量，则对

4、空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，为向量在，上的分量2空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得3若三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底4设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标

5、系中的坐标5设，则若、为非零向量，则若，则，则例1：已知空间四点A(4，1，3)、B(2，3，1)、C(3，7，5)、D(x，1，3)共面，则x的值为()A4B1 C10D11例2：已知a(1，2，y)、b(x，1，2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1Bx，y4Cx2，y Dx1，y1例3：已知a(2，4，x)、b(2，y，2)，若|a|6，ab，则xy的值是()A3或1B3或1C3D1例4：已知空间三点A(0，2，3)、B(2，1，6)、C(1，1，5)（1）求以、为邻边的平行四边形面积；（2）若|a|，且a分别与、垂直，求向量a的坐标三、立体几何中的向量方法1在空间中，取一定点作

6、为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量2空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点3空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置4直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量5若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，6若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，7若空间不重合的两个平面，

7、的法向量分别为，则，8设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有9设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有10设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为，则11点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算12在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为13点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为例1：在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，给出下列结论：直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；

8、平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)其中正确的个数为()A1个B2个C3个D4个例2：平面的法向量u(x，1，2)，平面的法向量v，已知，则xy_例3：在正四棱锥PABCD中，底面正方形边长为3，棱锥的侧棱长为5，E、F、G分别为BC、CD、PC的中点，求证：（1）EFPA；（2）EF平面PBD；（3）直线PA与平面EFG不平行例4：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC平面BEF例5：如图，在四棱锥PA BCD中，ABCD，ABAD，AB4，AD2，CD2

9、，PA平面ABCD，PA4（1）求证：BD平面PAC；（2）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC所成角的正弦值例6：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点（1）求证：B1EAD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3）若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长例7：三棱柱ABCA1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点（1）求证：平面AB1D平面ABB1A1；（2）求点C到平面AB1D的距离参考答案：一、空间向量的概念与运算例1：【答案】B【解析】()abc例2：【答案】D

10、【解析】ab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cosa，b11cosa，b0，cosa，b0a，b180，a，b45二、空间向量的坐标与坐标运算例1：【答案】D【解析】(2，2，2)，(1，6，8)，(x4，2，0)，A、B、C、D共面，、共面，存在、，使，即(x4，2，0)(2，26，28)，例2：【答案】B【解析】a2b(2x1，4，4y)，2ab(2x，3，2y2)，(a2b)(2ab)，例3：【答案】A【解析】|a|6，|a|236，416x236，x216，x4又ab，ab44y2x0，x2y20当x4时，y3，当x4时，y1，xy1或3例4：解：（1）由题中条件可知

11、(2，1，3) ，(1，3，2)，cos，sin，以、为邻边的平行四边形面积：S|sin，7（2）设a(x，y，z)，由题意得，解得，或a(1，1，1)或a(1，1，1)三、立体几何中的向量方法例1：【答案】C【解析】DD1AA1，(0，0，1)；BC1AD1，(0，1，1)，直线AD平面ABB1A1，(0，1，0)；C1点坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，对，错例2：【答案】【解析】，uv，xy例3：解：设AC与BD的交点为O，PABCD为正四棱锥，PO平面ABCD，且ACBD，以O为原点，OB，OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，正方形ABCD边长为3，OBOC3

12、，又PC5，OP4，点A(0，3，0)、B(3，0，0)、C(0，3，0)、D(3，0，0)、P(0，0，4)（1）E、F分别为BC、CD的中点，点E(，0)、F(，0)，(3，0，0)，(0，3，4)，0，EFPA（2）显然(0，3，0)为平面PBD的一个法向量，0，EF平面PBD（3）G为PC中点，点G(0，2)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，取n(0，1，0)，n30，PA与平面EFG不平行例4：解：如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形，点A(0，0，0)、B(2，0，0

13、)、C(2，2，0)、D(0，2，0)、P(0，0，2)又E、F分别是AD、PC的中点，点E(0，0)、F(1，1)(2，2，2)、(1，1)、(1，0，1)，2420，2020，PCBF，PCEF又BFEFF，PC平面BEF例5：解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则点A(0，0，0)、D(0，2，0)、B(4，0，0)、P(0，0，4)、C(2，2，0)、Q(2，0，2)（1）(4，2，0)，(0，0，4)，(2，2，0)，0，880，BDAP，BDAC，又APACA，BD平面PAC（2）(0，2，2)设平面PAC的一个法向量为n(x，y，z)，则，n(1，0)设直线QC与平面PAC所

14、成的角为，则sin|cos，n|故直线QC与平面PAC所成角的正弦值为例6：解：（1）以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如下图）设ABa，则点A(0，0，0)、D(0，1，0)、D1(0，1，1)、E(，1，0)、B1(a，0，1)，故(0，1，1)，(，1，1)，(a，0，1)，(，1，0)011(1)10，B1EAD1（2）假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，使得DP平面B1AE此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得，取x1，得平面B1AE的一个法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP（3）连接A1D、B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1DB1CA1D，AD1B1C又由（1）知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面