高中数学 第二章 解析几何初步 2.1 直线与直线的方程 2.1.3 两条直线的位置关系学案 北师大版必修

1、1.3两条直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(重点)2.能根据直线平行或垂直，求直线方程.(重点)基础初探教材整理两条直线的位置关系阅读教材P70至P71“例11”以上部分，完成下列问题.l1l2l1l2l1、l2的倾斜角1、2间的关系12|21|90图示斜率间的关系(若l1，l2的斜率都存在，设l1：yk1xb1，l2：yk2xb2)若l1，l2的斜率都存在，则l1l2k1k2且b1b2(如图所示)；若l1，l2的斜率都不存在，则l1l2(如图所示)或l1与l2重合若l1，l2的斜率都存在，则l1l2k1k21(如图所示)；若l1，l2有一条直线的斜率不存在，则l1l2另一

2、条直线的斜率为0(如图所示)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴.()(2)斜率相等的两条直线一定平行.()(3)若k1k21，则两直线必不垂直.()(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率k1，k2满足k1k21.()【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型两条直线平行与垂直的判定判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由.(1)l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)l1：3x6y140，l2：2xy20；(3)l1：x2，l2：x4；(4)l1：y3，l2：x1.【精彩点拨】利用两直线的斜率和在坐标轴上截距的关系来判断.【自主解答】

3、(1)将两直线方程分别化为斜截式：l1：yx，l2：yx.则k1，b1，k2，b2.k1k2，b1b2，l1l2.(2)将两直线方程分别化为斜截式：l1：yx，l2：y2x2.则k1，k22.k1k21，l1l2.(3)由方程知l1x轴，l2x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1l2.(4)由方程知l1y轴，l2x轴，则l1l2.已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1k21时，l1l2；当k1k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1l2；(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存

4、在，则它们垂直.再练一题1.两直线2xyk0和4x2yk0(k0)的位置关系为()A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合【解析】直线2xyk0的斜率为2，在y轴上的截距为k；直线4x2yk0的斜率为2，在y轴上的截距为，因为k0，所以k，所以两直线平行.【答案】B利用平行、垂直关系求直线方程 已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程.【精彩点拨】本题可以依据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出斜率后用点斜式来写出直线方程，也可以直接设出与已知直线平行或垂直的直线，然后用待定系数法求得.【自主解答】法一：(1)由l：3x

5、4y200，得kl.设过A点且平行于l的直线为l1，则kl1kl，所以l1的方程为y2(x2)，即3x4y140.(2)设过点A与l垂直的直线为l2.因为klkl21，所以kl2，故直线l2的方程为y2(x2)，即4x3y20.法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x4ym0.由点A(2,2)在直线l1上，得3242m0，解得m14，故直线l1的方程为3x4y140.(2)设l2的方程为4x3ym0.因为l2经过点A(2,2)，所以4232m0，解得m2，故l2的方程为4x3y20.过点A(x0，y0)且与直线AxByC0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法：(1)先求斜率(斜

6、率存在时)，再用点斜式求直线方程.(2)与AxByC0平行或垂直的直线方程设为AxBym0或BxAym0，再利用所求直线过点A(x0，y0)求出m，便可得到直线方程。再练一题2.已知直线l的方程为3x2y120，求直线l的方程，l满足：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直.【解】(1)由l与l平行，可设l方程为3x2ym0.将点(1,3)代入上式，得m9，所求直线方程为3x2y90.(2)由l与l垂直，可设l方程为2x3yn0.将(1,3)代入上式，得n7，所求直线方程为2x3y70.探究共研型利用直线的平行与垂直求参数探究1试确定m的值，使过点A(m1,0)，B

7、(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行.【提示】kAB，kCD.由于ABCD，即kABkCD，所以，所以m2.探究2ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，试确定m的值，使ABC是以A为直角顶点的三角形.【提示】因为A为直角，则ACAB，kACkAB1，即1，解得m7.已知直线l1：2x(m1)y40与l2：mx3y20.(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值. 【导学号：】【精彩点拨】利用两直线平行或垂直的条件建立关于m的方程即可求解.【自主解答】(1)法一：l1l2，A12，B1m1，C14，A2m，B23，C22，即解得m3或m2.法二：

8、当m1时，直线l1的斜率k1，在y轴上的截距b1；直线l2的斜率k2，在y轴上的截距b2.l1l2，且，解得m3或m2.当m1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2，显然不平行.综上可知，当m3或m2时，直线l1与l2平行.(2)若l1l2，则有2m(m1)30，即5m30，解得m.1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论.2.当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10或A1C2A2C10；l1l2A1A2B1B20.再练

9、一题3.已知两直线方程l1：9xya20；l2：ax(a2)y10.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行.【解】由题意知A19，B11，C1a2，A2a，B2a2，C21.(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即9(a2)a(1)0，a.故当a时，直线l1与l2相交.(2)若l1l2，则有即当a时，l1与l2平行.1.已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k()A.3B.3C.D.【解析】因为直线lAB，所以kkAB3.【答案】B2.过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不正确【解析】过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2.因为k1k21，所以两条直线垂直.【答案】A3.若直线2ay10与直线(3a1)xy10平行，则实数a等于_.【解析】因为两直线平行，所以3a10，即a.【答案】4.经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_.【解析】由已知得(4)1，解得m.【答案】5.求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(1，4)，与直线2x3y