高中数学 知识模板复习讲义 合同变换 苏教版必修

1、江苏省姜堰市溱潼中学高中数学 知识模板复习讲义 合同变换 苏教版必修51. 合同变换的概念定义 如果平面上一个图形(即点集)和另一个图形, 它们的点之间能建立这样的一一变换: 中任意两点的距离总等于中与之对应的两点的距离, 那么由变换为, 就叫做合同变换. 通俗的说: 一个图形通过运动, 能够变成和它自己完全叠合的图形, 这种运动的变换, 叫做合同变换, 或称为正交变换.定义 两个能够完全叠合的图形, 叫做全等形, 或叫做合同图形.2. 合同变换的性质图形经过合同变换, 仍得合同图形. 合同的图形具有反身性、对称性和传递性. 又由合同变换的定义知, 两个不同点的像也是不同点(这由获知), 故可

2、推得合同变换具有如下性质:性质1 合同变换是一一变换.性质2 合同变换的逆变换也是合同变换.性质3 两个合同变换的乘积也是合同变换.性质4 合同变换把共线点变成共线点.证明 设,则由合同变换的定义有所以 这就表明, 三点共线且之间.性质5 合同变换把直线变成直线、把射线变成射线，把线段变成线段，把角变成角.性质6 两条相交直线的交角, 经过合同变换, 等于这两条对应直线的交角.证明 设, 并且设. 由定义知对应线段的距离相等,即有所以 从而 .由上述定义和性质可知, 合同变换有两个基本不变量: 即两点间的距离和两直线的交角. 它有如下基本不变性: 点的共线性、直线的共点性、平行性，以及点与直线

3、的结合性.3 合同变换群在同一个平面上, 两个合同的图形若的环绕方向和的环绕方向相同, 则称为定向相同, 若两者环绕的方向相反(一个为顺时针方向, 一个为逆时针方向),则称为定向相反. 平面上的合同变换, 如得定向相同者, 叫做第一类合同变换; 如得定向相反者, 叫做第二类合同变换.由于两个合同变换的乘积仍为合同变换, 且合同变换的逆变换仍为合同变换, 所以平面上所有合同变换所组成的集合, 构成一个群, 叫做平面上的合同变换群.第一类合同变换所组成的集合, 也构成一个群, 叫做运动群, 它是合同变换群的子群.由于两个第二类合同变换的乘积不是第二类合同变换, 所以第二类合同变换不构成群.合同变换

4、有第一、第二之分，相应的合同变换图形也可分为两类. 若两个合同变换图形的对应三角形是定向相同的, 则叫做真正合同(或本质相等); 若两个合同图形的对应三角形是定向相反的, 则叫做镜像合同(或镜照相等).平移平移的概念定义 如果平面上图形经过变换得, 向量, 那么这个变换叫做平面上的平行移动，简称为平移, 记作.叫做平移距离, 的方向叫做平移方向.(如图) 一个向量决定一个平移, 相等的向量决定相同的平移, 长度为零的向量(零向量)决定的平移是幺变换. 因此, 要平移一条直线,只要在直线上任取两点作直线段, 并且取, 则直线即为平移直线所得的直线.(如图) 要平移一个圆, 只要先平移圆心, 然后

5、作等圆.2 .平移的性质性质1 平移是合同变换, 平移把任意图形变成与它真正合同的图形.性质2 两个平移的乘积是一个平移. 这里, 我们同时证明了平移的乘积合于力的平行四边形法则, 亦即向量的加法法则.性质3 平移的逆变换是一个平移.性质4 非恒等变换的平移没有二重点, 但有无穷多条二重线(这些直线上的点都变了, 但直线的位置没有变), 它们都平行于平移方向. 由性质2和性质3可知,所有平移组成的集合构成一个群,这个群叫平移群, 它是合同变换群的子群. 由于平移的乘法运算适合交换律, 所以平移群是一个交换群.3.平移的应用平移变换可以改变图形的位置, 而不改变图形的形状和大小. 对于需要集中图

6、形中某些分散元素以考察其关系的几何题, 用平移变换常常能收到良好的效果. 施行平移变换时, 要注意平行的元素、平移的方向和平移的距离.例3 试证:两内角平分线相等的三角形是等腰三角形. 我们用平移,将分散的条件集中到关系明显的图形中(如图),结果便昭然若揭.2.旋转(1)旋转的概念 如何作一个图形的旋转图形. 要旋转一个圆, 只要先旋转圆心, 然后作等圆.(2)旋转的性质性质1 旋转是合同变换, 旋转把任意图形变成与它真正合同的图形.性质2 具有同一旋转中心的两个旋转的乘积是一个旋转, 即性质3 旋转的逆变换是旋转变换.性质4 非恒等变换的旋转只有一个二重点, 即旋转中心; 异于点反射与恒等变

7、换的旋转没有二重线. 点反射有无穷多条二重线, 它们都通过反射中心.性质5 在旋转变换下, 直线与其对应直线的交角等于旋转角.性质6 二双点反射的点的连线平行且相等, 但异向.性质7 过点反射的中心的直线, 与一双对称线的交点, 是关于点反射中心的对称点.由性质2和性质3可以知道, 具有同一旋转中心的所有旋转组成的集合, 构成一个变换群,叫做旋转群, 它是合同变换群的子群.由于旋转的乘法运算适合交换律,所以旋转群也是一个交换群.应该注意, 由于平面上两个具有不同旋转中心的旋转的乘积不一定是旋转, 所以在平面上所有旋转组成的集合不能构成一个群.(3)旋转的应用旋转变换, 可以改变图形的位置,而不

8、改变图形的大小和形状. 对于图形具有等边特征的几何题,一般都可以考虑用旋转变换迁移元素的位置. 施行旋转变换时要注意确定旋转中心、旋转角的大小和旋转的方向。3反射（1）反射的概念 通俗地说，把一个图形变成它的轴对称图形的变换，就是轴对称变换。 平面上的反射由反射轴所确定，也可以由一对对应点确定（如图）。（2）反射的性质性质1 反射把线段变成与它相等的线段。性质2 反射是合同变换，反射把任意图形变换成与它镜像合同的图形。性质3 具有同一反射轴的两个反射的乘积是恒等变换。性质4 反射有无穷多个二重点，它们都是反射轴上的点。性质5 反射有无穷多条二重线，它们是反射轴以及垂直于反射轴的直线。应该注意，由于两个反射的乘积不